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第四章 一次函数
4 一次函数的应用（第1课时）
一、学习任务分析
本节是北师大版初中数学八年级（上册）第四章“一次函数”的第四节。本节教材基于学生对一次函数概念的双重认知，既包括从“数”的角度理解其解析式特征，又涵盖从“形”的角度掌握其图象性质。同时，“一次函数的应用”是学生利用函数进行数学建模的起点，也是学生感悟数形结合思想、发展应用意识、培养数学建模核心素养的重要载体。本节课共3个课时：第1课时，以简单实例的图象为背景呈现一次函数模型，通过确定一次函数的表达式，体会函数模型是刻画现实世界的一种重要模型，发展学生数形结合解决问题的能力；第2课时，通过解决以一次函数为背景的相关问题，明确“图”中每个点的实际含义，让学生更加深入地体会一次函数模型中变量间的关系，如k，b的实际含义，培养学生的识图能力和图文转化的能力；第3课时，进一步通过解决涉及两个一次函数之间关系的有关问题，体会函数图象交点的特殊含义等。通过对本节内容的学习，发展学生利用图象分析问题、解决问题的能力，发展几何直观。本节课是本节内容的第1课时。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：学生在七年级上册已经学习了变量间的关系，并对变量间关系的表示方法（表格、关系式、图象）之间的相互转化有了初步认识。在本章前面几节课中，又学习了一次函数的概念、一次函数的图象，初步掌握了一次函数的性质，具备了求解一次函数表达式的基础知识。
学生活动经验基础：在前期相关知识的学习过程中，学生通过丰富的真实情境认识了一次函数的概念，认识了一次函数的图象和性质，了解了一次函数表达式中k和b的实际含义，初步具备了从简单实际问题中抽象出函数模型、从函数图象中获取信息、借助信息分析和解决问题的基本经验。但学生分析问题、解决问题的能力还不够全面和系统，需通过一些实例加以强化培养。
三、教学目标
1.经历分析实际问题中两个变量之间的关系并解决有关问题的过程，发展应用意识。
2.利用一次函数图象分析、解决简单实际问题，发展几何直观。
教学重点：利用一次函数图象分析、解决简单实际问题。
教学难点：利用一次函数图象分析、解决简单实际问题。
四、教学过程设计
【第一环节】创设情境，导入新课
1.活动内容
某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（单位：m/s）与其下滑时间t（单位：s）之间的关系如图所示。
（1）写出v与t之间的关系式；
（2）物体下滑3 s时速度是多少？
2.活动目的
承接上一节“一次函数的图象”，这里的情境问题以图象形式呈现变量之间的关系。考虑到学生尚未学习二元一次方程组，这里选择的是正比例函数关系，以降低难度。
3.注意事项
此问题较为简单，从图象可以判定是正比例函数，因此只要确定k就可得到函数表达式。在得到函数表达式后，求物体下滑3 s时的速度，既可以通过表达式得出，也可以通过图象得出，可以让学生比较这两种方法的差异。
【第二环节】变换情境，建立模型
1.活动内容
思考·交流
确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？与同伴进行交流。
例1 在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）是所挂物体质量x（单位：kg）的一次函数。某弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm。写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度。
解：设y＝kx＋b，根据题意，得
14.5＝b， ①
16＝3k＋b。 ②
将①代入②，得 k＝0.5。
所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5。
当x＝4时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5。
因此，当所挂物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm。
尝试·思考
某根蜡烛燃烧前长30 cm；燃烧时，剩下的长度y（单位：cm）是燃烧时间x（单位：h）的一次函数。当这根蜡烛燃烧2 h时，剩下的长度为18 cm。
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）这根蜡烛最多能燃烧多长时间？
2.活动目的
（1）例1以物理学中的弹簧形变现象为背景，通过文字描述弹簧长度与悬挂物质量之间的变化关系，培养学生从实际情境中提取信息并建立一次函数模型的能力，深化理解函数模型作为刻画现实变量间关系的数学工具的本质特征。
（2）“尝试·思考”栏目从蜡烛燃烧问题出发，提出相应的问题，目的在于引导学生联系生活实际，并运用函数知识解决问题，培养学生的应用意识。
（3）在解决上述例题之后，可以追问“在上述两个问题中，确定一次函数的表达式需要几个条件”，引导学生从“数”与“形”两个维度进行思考：从“数”的角度，一次函数的表达式为y＝k x＋b（k≠0）（需要确定k和b的值）；从“形”的角度，一次函数的图象是一条直线（两点确定一条直线）。通过这种对比分析，不仅让学生理解确定一次函数需要两个条件的本质特征，同时培养他们从不同角度分析问题的能力，并在这一过程中逐步养成良好的学习习惯。
3.注意事项
在该环节中，学生已经掌握了确定一次函数表达式的方法，能较为顺利地解决这两个问题，但是学生对于“先设一次函数的表达式，然后求解其系数，以此确定一次函数的表达式”的本质理解还存在问题。因此，此处教师应当设计适当的问题，如“在上述两个问题中，确定一次函数的表达式需要几个条件”，引导学生思考“待定系数法”的本质，从而将学生引向从“数”和“形”的角度思考问题，发展学生的几何直观与推理能力。
【第三环节】归纳总结，内化模型
1.活动内容
观察上面两个问题解决的过程，有哪些步骤是相同的？你能否归纳出确定一次函数表达式的一般步骤？
求一次函数 表达式的一般步骤 （1）设函数表达式
（2）根据已知条件列出有关k，b的方程
（3）解方程，求k，b
（4）将k，b代回表达式，写出表达式
2.活动目的
通过问题引导学生对所学知识进行总结归纳，形成问题解决的通性通法，培养学生“会用数学的思维思考现实世界”的能力。
3.注意事项
此处教师应给予学生充分的表达机会，让学生自主归纳确定一次函数表达式的一般步骤。每个学生对一般步骤都有自己的认识，教师只需利用追问进行引导即可。同时，教师可以板书自己对一般步骤的理解，与学生的归纳进行互补。
【第四环节】布置作业
1.活动内容
A层（基础巩固）：教科书第96页“随堂练习”第1~3题。
B层（技能掌握）：教科书习题4.4第1题。
C层（能力提升）：
如图，左图是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为10 cm，6个叠放在一起的纸杯的高为14 cm。若设x个叠放在一起的纸杯的高为y cm（如右图），求y关于x的函数表达式。
2.活动目的
A层作业主要帮助学生巩固和掌握从函数图象中提取信息、分析信息、借助信息求一次函数表达式的基本方法。
B层作业主要帮助学生巩固和掌握求解一次函数表达式的方法及一般步骤，同时理解点与一次函数图象的位置及坐标与一次函数表达式之间的关系。
C层作业中的案例区别于课堂例题中直接给出的两个变量之间的一次函数关系，需要学生借助生活经验，从数学的角度观察并确定y是x的一次函数，培养学生将问题情境抽象为数学情境，运用函数知识解决问题的能力，意识到数学是一个能够解决现实问题的重要工具。
五、教学反思
1.创造性地使用教材
教材中提供的引例和例题只是作为教师备课的参考，如本节课的主题为一次函数的应用，而函数是刻画现实世界中变量间关系的一种重要模型，因此在例题选取时，应当尽可能地选取符合学生生活的案例，比如电动汽车在现实生活中已经比较普遍，弹簧是学生物理课中经常接触的器件，纸杯是学生生活中容易接触到的物品。通过解决这些学生常见现象中蕴含的问题，培养学生“用数学的眼光观察现实世界”的能力，进一步培养学生“用数学的思维思考现实世界”的能力。
2.巧设问题链，引发学生的思考
通过精心设计问题链，循序渐进地引导学生探究数学本质。例如“为什么确定一次函数的表达式需要两个条件”这类抽象问题，学生可能因缺乏直接经验而难以回答。此时可采用由浅入深的设问策略：从正比例函数这一特例入手，逐步过渡到一般情形，结合具体问题的解决经验，帮助学生从“数”和“形”两个维度理解。这一过程既能深化学生对数学概念的理解，又能促进其对数形结合、从特殊到一般等数学思想方法的领悟。
3.亟需改进的方面
在问题解决过程中，学生往往容易陷入“就题论题”的思维局限，难以脱离具体情境去思考问题的本质与通用解法。教师应当有意识地引导学生进行两个维度的深度思考：一是“为何要解决这类问题”，二是“解决这类问题的一般方法是什么”，引导学生思考和实践，获得学习和解决问题的经验。

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