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第六章数据的分析
1平均数与方差（第3课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第六章“数据的分析”第1节“平均数与方差”的第3课时，主要是让学生在具体的情境中，逐渐理解离差平方和、方差、标准差等概念及其计算方法，领悟离差平方和、方差、标准差都是刻画一组数据离散程度的统计量，理解一组数据的稳定性与离差平方和、方差、标准差等数值的大小有关。通过本节课的学习，力图使学生数据观念的水平更上一个台阶，提高其统计应用综合能力。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生已经学习过众数、算术平均数、加权平均数等几个刻画数据“平均水平”的统计量，具备了一定的数据处理能力和初步的统计思想，但对一组数据的波动情况并不了解，它们是否稳定，稳定的依据是什么，缺乏直观和理性的认识。
学生活动经验基础：在以往的统计与概率领域内容课程学习中，学生经历了大量的统计活动，感受到了数据收集和处理的必要性，有了一定的活动经验，具备了一定的合作与交流的能力。
三、教学目标
1.通过对数据差异的分析，逐步抽象出刻画数据离散程度的三个统计量——离差平方和、方差、标准差，能求出三个统计量相应的数值，并在具体情境中加以应用。
2.经历表示数据离散程度的三个统计量的探索过程，通过实例体会用样本估计总体的统计思想，培养数学应用能力。
3.通过小组合作活动，培养合作意识；通过解决实际问题，体会数学与生活的密切联系。
教学重点：经历表示数据离散程度的三个统计量的探索过程。
教学难点：对刻画数据离散程度的统计量的理解。
四、教学过程设计
【第一环节】创设情境
1.活动内容
在本节一开始的射击问题中，甲与丁每次的射击成绩如图1所示，他们的平均成绩都是8环，两个人的射击表现一样吗？你对甲、丁的射击表现有什么评价？
（1）你觉得谁发挥得更稳定？你的理由是什么？
（2）你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗？与同伴进行交流。
2.活动目的
通过实际问题情境，让学生感受仅凭已知数据的“平均水平”很难对数据进行分析，进而引出数据离散程度研究的必要性，激发学生学习的欲望以及兴趣。
3.注意事项
学生通过对图1的直观观察，能够发现甲的数据比较稳定，也有学生发现丁的数据中最大值和最小值的差距比较大，还有一些同学比较了每个数与平均数的差值并求和，但这都无法准确地比较两组数据的稳定性。在情境引入、抛出问题之后，教师可以引导学生以小组合作讨论的方式进行探究，给予学生充分自由发表见解的空间。在探究过程中，教师可以适当地提示学生可以从“数”和“形”的角度进行分析。当学生发现在两组数据的平均数相近时难以评价其稳定性，原有的知识与遇到问题情境产生了知识碰撞，从而带着疑问开始新课的学习，为理解方差等概念奠定基础。
【第二环节】探究新知
1.活动内容
在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。
在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画。
离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即
。
方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，即
。
其中，是x1，x2，…，xn的平均数。而标准差则是方差的算术平方根。
2.活动目的
明晰反映数据离散程度的三个统计量——离差平方和、方差、标准差。
3.注意事项
如果学生难以理解，可以再举一些如涉及比赛问题等实例，让学生理解为什么要研究这类问题。
【第三环节】例题示范
1.活动内容
例 计算图1中甲射击成绩的标准差（结果精确到0.01环）。
解：（环），
，
（环）。
所以，甲射击成绩的标准差约为1.04环。
我们也可以用科学计算器计算数据的标准差。
使用科学计算器可以很方便地计算一组数据的标准差，大致步骤是：进入统计计算状态，输入数据，按键得出标准差。
请在你自己使用的科学计算器上探索计算标准差的具体步骤。
具体操作步骤是（以CZ1206某类型为例）：
1.进入统计计算状态，按2ndf STAT ；
2.输入数据然后按DATA ，显示的结果是输入数据的累计个数；
3.按 σ 即可直接得出结果。
2.活动目的
学生通过计算具体实例中的标准差，感受数据相对于集中趋势的偏离情况，巩固新学习的相关概念。在教师的引导下，学生能自主探索用计算器求一组数据的标准差的操作步骤。
3.注意事项
本环节要让学生在计算的过程中逐步理解离差平方和、方差和标准差在刻画数据离散程度方面的运用，并在教师的指导下，自主探索出用计算器求标准差的方法。
【第四环节】应用新知
1.活动内容
思考·交流
计算图2中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较。
图2
（2）丁又进行了几次射击，这时他所有射击成绩的平均数没变，但方差变小了。你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点？与同伴进行交流。
2.活动目的
通过计算方差的练习，巩固提升学生对方差计算的熟练程度，并进一步使学生理解方差对刻画数据离散程度的作用。
3.注意事项
本环节要让学生亲自动手探究，切身体会方差对刻画数据离散程度的作用。
【第五环节】联系生活
1.活动内容：
甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下。
甲队：178 177 179 179 178 178 177 178 177 179
乙队：178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
哪支仪仗队队员的身高更为整齐？你是怎么判断的？
2.活动目的
对本节课所学的知识进行巩固练习。通过学生的反馈练习，教师可及时了解学生对刻画数据离散程度的三个统计量的掌握情况，以便教师及时对学生进行矫正。
3.注意事项
本环节要让学生用自己的话语描述解题的思路与过程，进一步加深对离差平方和、方差和标准差的理解。
【第六环节】课堂小结
1.活动内容
师生互相交流总结，引导学生用“我知道了……”“我发现了……”“我学会了……”“我想我以后将……”的语言小结离差平方和、方差和标准差的运用。
2.活动目的
发挥学生的主观能动性，培养学生归纳总结知识的能力。
3.注意事项
学生踊跃分享切身感受与实际收获：在解决实际问题的过程中，认识到数据“波动状况”的意义和影响，学会运用离差平方和、方差和标准差等方法判断数据的离散程度，并感受到这些知识与实际情境的紧密联系，拓宽应用视野。
【第七环节】作业布置
1.活动内容
（1）在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是，，，。这4人中，成绩发挥最稳定的是（　　）。
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
（2）甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次。经过计算，甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲的方差是1.2，乙的方差是1.8。下列说法中不一定正确的是（　　）。
A.甲、乙射中的总环数相同 B.甲的成绩更稳定
C.乙的成绩波动较大 D.甲、乙的众数相同
（3）为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加全国知识竞赛，李老师在赛前每个月对他们进行一次测验，以下是两人赛前5次测验的成绩。
测验次数 1 2 3 4 5
学生甲 65 80 80 85 90
学生乙 70 90 85 75 80
已知：学生甲5次测验成绩的平均数为80分，方差为70。
①求学生乙5次测验成绩的平均数及方差；
②请你参谋一下，李老师应选派哪名学生参加这次竞赛？请结合所学习的统计知识说明理由。
2.活动目的
通过布置作业，帮助学生深化理解，巩固本节课所学知识。
五、教学反思
离差平方和、方差与标准差均是刻画一组数据离散程度的统计量，对理解一组数据的变化情况起着至关重要的作用。在教学中，对于如何引入这三个统计量的基本概念可采用灵活多变的方法，但切忌将这些概念与公式直接灌输给学生，要让学生体会仅有“平均水平”难以准确地刻画一组数据，通过现有知识与现实问题发生碰撞，激发解决问题的内在动力，主动探索并建构概念。在此过程中，学生认识到“波动状况”的意义和影响，形成一定的统计意识和解决问题的能力，并进一步体会数学的应用价值。

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