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第六章 数据的分析
2 中位数与箱线图（第1课时）
一、学习任务分析
在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，针对“研究数据集中趋势和离散程度的量”这一内容，新增了四分位数与箱线图的相关要求，而与二者存在关联的百分位数，也是该部分学习中需同步关注的重要概念。本节是北师大版初中数学八年级（上册）第六章“数据的分析”第2节。本节共2个课时，第1课时学习反映数据集中趋势的量——中位数。与平均数、众数不同，中位数反映的是数据的“位置中心”（即处于数据50％位置的值），其特点是受极端值影响较小，相对稳定。但是当数据量很大或者想要了解数据全貌（数据分布）时，就需要更多能描述数据不同“位置”的量，于是就有了百分位数的概念。把25％分位数、50％分位数、75％分位数等特殊的百分位数统称为四分位数。把25％分位数到75％分位数之间的数据用一个“盒子”来表示，就得到了箱线图。其中，百分位数和箱线图是第2课时的学习内容。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在本章第一节“平均数与方差”中学习了计算一组数据的平均数、众数、方差、离差平方和。初步理解了平均数、众数用于描述数据的集中趋势，方差、离差平方和用于描述数据的离散程度（波动情况）。具备了进一步分析一组数据集中趋势的基本技能。
学生的活动经验基础：在上一节的学习中，学生了解了平均数、众数的概念并会求一组数据的平均数、众数，且初步具备了根据具体问题背景选择合适的统计量来描述数据集中趋势的能力。同时，通过使用方差、组内离差平方和描述数据离散程度的过程，学生能从不同角度分析一组数据，以获得更全面的数据特征。在学习的过程中，学生具有了一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流能力。
三、教学目标
1.在具体情境中理解中位数的意义，知道中位数和百分位数是对数据集中趋势的描述，并会求出一组数据的中位数。
2.在具体情境中感受用不同的统计量描述一组数据的集中趋势，了解学习百分位数的必要性，掌握中位数、百分位数的联系和区别。
3.结合实例感受中位数、众数、百分位数的应用范围，体会其实际应用价值和数据分析的重要性，提高数据分析能力，发展数据观念。
教学重点：在具体情境中理解中位数的意义，知道中位数和百分位数是对数据集中趋势的描述，并会求一组数据的中位数。
教学难点：掌握在具体情境中用不同的统计量来描述一组数据的集中趋势。
四、教学过程设计
【第一环节】情境引入
1.活动内容
某公司员工的月工资如下：
员工 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 杂工
月工资/元 10 000 8 000 5 200 5 000 4 800 4 500 4 500 4 500 2 100
经理：“我公司员工工资收入很高，月平均工资为5 400元。”
职员C：“我的工资是4 800元，在公司算中等。”
职员D：“我们好几个人的工资都是4 500元。”
应聘者：“这个公司员工的工资收入到底怎么样？”
小组合作交流以下问题。
问题1：经理、职员C、职员D描述的数据是否正确？
问题2：这个公司员工的工资收入到底怎么样？
根据上一节的学习，我们知道4 500是众数，5 400是平均数，那4 800是什么数？在职员C的描述中，“中等”的含义是什么
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数。如一组数据1.50，1.50，1.60，1.65，1.70，1.70，1.75，1.80的中位数是（1.65＋1.70），即1.675。
尝试·思考
（1）你认为用哪个数据描述上述公司员工的工资收入情况更合适？
（2）为什么该公司员工工资收入的平均数比中位数高得多？
2.活动目的
通过经理、职员C、职员D三个人分别从不同的角度描述该公司员工的收入情况，引起学生的认知冲突。让学生体会到平均数和众数未必能如实地反映数据的整体趋势，同时感受学习中位数的必要性。在教学过程中，通过独立思考与小组交流，帮助学生理解中位数的实际意义，并且在学习的过程中鼓励学生结合具体例子用自己的语言描述中位数的概念。体会中位数可以用于描述数据的集中趋势。
3.注意事项
要求学生先独立思考，再展开小组交流。在小组交流时，教师需深入小组了解学生的交流情况。同时需引导学生对“经理、职员C、职员D”的描述进行分析，并总结经理、职员C、职员D三人提到的数据是这一组数据中的什么数。
【第二环节】合作探究
1.活动内容
思考·交流
（1）小军是篮球队员，身高1.84 m。如果他所在篮球队队员身高的中位数是1.82 m，那么能说小军的身高在篮球队里是中等偏上的吗？如果他所在篮球队队员身高的平均数是1.82 m呢？
（2）一组数据，如前面提到的1.50，1.50，1.60，1.65，1.70，1.70，1.75，1.80，如果把1.80换成2.20，那么中位数会变吗？平均数会变吗？
（3）众数、平均数和中位数各有哪些特征？与同伴进行交流。
2.活动目的
问题（1）（2）的设置加强学生对中位数与平均数的理解；问题（3）的设置引导学生得出：众数、平均数和中位数都是描述数据集中趋势的统计量。
学生通过观察、分析、讨论，在共享集体思维成果的基础上感受众数、平均数、中位数的概念以及实际应用范围。让学生比较全面、正确地理解众数、中位数、平均数的意义和作用，同时进一步认识到研究数据的必要性，发展数据观念。
3.注意事项
要求学生先独立思考、再展开小组交流。总结中位数、平均数、众数的特点时，需保障学生充分交流、互相补充，并引导学生结合问题情境总结三个统计量的特点。
众数、平均数和中位数都是描述数据集中趋势的统计量。
在一组数据中，当某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量。如选举，通常就是选择名字出现次数最多的那个人，因而可以将当选者的名字当作“众数”。但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义。
在计算平均数时，所有数据都参加运算。平均数能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响。
把一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，这组数据中至少有50%的数据小于或等于中位数，至少有50%的数据大于或等于中位数。因此，中位数也称为第50百分位数或50%分位数，记为m50，其优点是计算简单，受极端值影响小。但仅有中位数，还不能完整地反映数据的分布。为此，通常还可以找出其他p%分位数（记为mp），制作百分位数值表，反映数据的分布情况。
【第三环节】深入探究
1.活动内容
观察·思考
下表是根据世界卫生组织的相关数据制作的14岁学生的身高百分位数值表，你能读懂这张表吗？你能判断自己的身高在同龄人中的大致位置吗？
性别 身高百分位数/cm
m3 m10 m25 m50 m75 m90 m97
男 152.3 156.7 161.0 165.9 170.7 175.1 179.4
女 147.9 151.3 154.8 158.6 162.4 165.9 169.3
2.活动目的
引导学生结合身高百分位数值表，理解百分位数的概念。感知百分位数是对中位数的延伸，也可以用来描述数据的集中趋势，同时体会百分位数的实际意义。
3.注意事项
通过表格里的百分位数，让学生初步感知数据的分布。
【第四环节】巩固练习
1.活动内容
（1）分别找出下列两组数据的中位数。
①5，6，2，3，2； ②5，6，2，4，3，5。
（2）某班进行小组讨论时，把全班学生分为七个学习小组，人数如下：4，5，5，x，6，7，8。已知这组数据的平均数是6，求这组数据的中位数。
（3）完成教科书第163页的“随堂练习”。
某市12月16-31日每日的最高气温（单位：℃）依次如下：
5 3 2 2 2 2 3 3 5 5 -2 -2 -5 -2 -2 -1
（1）求这16天中最高气温的众数、平均数和中位数；
（2）你认为用哪个数据可以较好地描述这16天最高气温的集中趋势？
参考答案：（1）众数为2℃和-2℃，平均数为1.125℃，中位数为2℃。（2）略。
2.活动目的
巩固练习的设置帮助学生进一步认识中位数、众数、平均数的区别和联系。
3.注意事项
依据课程标准对相关内容的定位，仅要求学生类比第50百分位数初步感悟百分位数的意义，故巩固练习环节未设置百分位数相关内容的练习。
【第五环节】课堂小结
1.活动内容
（1）说说平均数、众数、中位数的特点。
（2）在分析一组数据时，你最喜欢选择平均数、中位数、众数中的哪一个？说说你的理由。
2.活动目的
学生自主概括中位数、众数、平均数的特点，感受它们在实际生活中的应用。
3.注意事项
要引导学生使用自己的语言进行总结交流，不强求规范，只需含义表述正确即可。例如，一组数据的中位数不一定出现在数据中，而若数据存在众数，则众数必然是这组数据中的某个具体数值；中位数是一个位置代表值（中间数），它是唯一的；一组数据的众数可以没有，也可以不止一个；（4）三个统计量都反映一组数据的集中趋势：众数反映一组数据的普遍水平，平均数反映一组数据的平均水平，中位数反映一组数据的中等水平。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
基础性作业：完成教科书习题6.2第3题。
2.活动目的
在课后练习中，让学生巩固、运用、延续、深化本节课所学知识。
3.注意事项
在作业练习中让学生感悟反映数据集中趋势的统计量有平均数、众数和中位数，并通过实际题目巩固其在具体情境中选择合适的统计量的能力。
五、教学反思
1.要理解教材、理解学生
依据基础教学素材，教师可以在明确教材设计意图的前提下，根据学生的实际情况进行调整。学生在小学已经学均数，并且普遍掌握较好，因此在本节课教学过程中需重点关注：引导学生感知样本数据、体验平均数、中位数在描述数据中的作用，鼓励学生从不同的角度发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，促使学生提升合作交流、对比分析、实践探索、归纳小结的能力。通过实例，使学生亲身感受统计量在生活中的应用，体会中位数和百分位数是对数据集中趋势的描述，体会数学的应用价值。
2.相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
在给学生提供充分展示自己机会的过程中，可以锻炼学生分析问题、解决问题的能力。课堂教学始终把激发学生学习热情和提高学习能力放在教学首位，通过启发性、激励性语言，以及有效的小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。学生在学习过程中不仅可以获得结果性知识，还可以从多视角、多维度来分析和解决问题，实现从“学会”到“会学”的突破，初步理解通过数据认识现实世界，感知大数据时代的特征，发展数据观念和模型观念。
3.教学思考
怎样选择合适的问题情境，怎样留给学生充分的独立思考时间以及有效的小组交流时间和空间？什么情况下小组合作学习更具实效性？这是教学中持续探索的课题。本节课在每个环节都预设了独立思考和小组交流的时间与空间，其合理性及效果有待实际教学后，大家共同研讨。

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