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2025-2026学年数学苏科版八年级上册 第1章 三角形 1.3 全等三角形的判定 （预习讲义）
思维导图
学习目标
理解并掌握判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）以及推论角角边（AAS）。
能够运用这些判定方法判断两个三角形是否全等。
经历探索三角形全等条件的过程，体会通过操作、归纳获得数学结论的过程。
在探究和运用全等判定方法的过程中，培养逻辑推理能力和空间观念。
知识点梳理
全等三角形的定义回顾： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形的性质回顾： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。（注：此为性质，非本节判定，但为学习判定的基础）
全等三角形的判定方法： 判定两个三角形全等，不需要像定义那样验证所有的对应边和对应角都相等，只需满足特定的几个条件即可。
判定方法一：边边边（SSS）
文字语言： 三边分别相等的两个三角形全等。（简写成“边边边”或“SSS”）
几何符号语言： 在△ABC和△DEF中， AB = DE， BC = EF， AC = DF， ∴ △ABC ≌ △DEF (SSS)
判定方法二：边角边（SAS）
文字语言： 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。（简写成“边角边”或“SAS”）
几何符号语言： 在△ABC和△DEF中， AB = DE， ∠B = ∠E， BC = EF， ∴ △ABC ≌ △DEF (SAS)
注意： 这里的角必须是两组对应边的夹角。
判定方法三：角边角（ASA）
文字语言： 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”）
几何符号语言： 在△ABC和△DEF中， ∠B = ∠E， BC = EF， ∠C = ∠F， ∴ △ABC ≌ △DEF (ASA)
注意： 这里的边必须是两组对应角的夹边。
判定方法四：角角边（AAS）
文字语言： 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。（简写成“角角边”或“AAS”）
几何符号语言： 在△ABC和△DEF中， ∠A = ∠D， ∠B = ∠E， BC = EF， ∴ △ABC ≌ △DEF (AAS)
说明： AAS可以看作是由ASA推导得出的结论。因为三角形内角和为180度，如果两个角对应相等，那么第三个角也必然对应相等，所以AAS和ASA本质上有联系。
易错点提醒
“SSA”不能判定全等： 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。（即“边边角”情况不成立，这一点在学习中需要特别注意，避免错误使用）。
“AAA”不能判定全等： 三个角分别相等的两个三角形不一定全等，它们可能只是形状相同但大小不同（相似）。
对应关系： 在运用判定方法时，要注意边和角必须是“对应”相等，即相等的边和角在两个三角形中的位置关系要一致。
夹角与夹边： SAS中的“角”必须是已知两边的“夹角”；ASA中的“边”必须是已知两角的“夹边”。
书写规范： 在书写全等表达式时，对应顶点的字母应写在对应的位置上，例如△ABC≌△DEF，表示点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F。
知识点总结
判定两个三角形全等的基本事实和推论有：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）。
这些判定方法的共同点是都需要三个元素对应相等（其中至少有一条边对应相等）。
要根据已知条件选择合适的判定方法。
运用判定方法时，务必注意“对应”和特定条件（如SAS的夹角，ASA的夹边）。
预习建议
认真阅读教材： 仔细阅读课本中关于三角形全等判定的相关内容，包括文字描述、图形示例和例题。
动手操作： 尝试利用直尺和圆规，根据SSS、SAS、ASA的条件分别画出两个三角形，观察它们是否能够重合，加深对判定方法的理解。
勤于思考： 思考为什么SSS、SAS、ASA、AAS能判定全等，而SSA、AAA不能，尝试举反例说明。
做简单练习： 完成教材中的“练一练”或课后简单习题，检验自己对知识点的掌握程度。
记录疑问： 预习过程中遇到的不理解的地方，及时记录下来，带着问题听课，提高课堂学习效率。
巩固练习
一、选择题
1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（　　）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带④去
2．如图，已知，添加哪个条件可以证明的是（　　）
A． B．
C． D．以上都不可以
3．用尺规作△ABC的作图痕迹如下，则此作图的已知条件是（　　）
A．两角及夹边 B．两边及夹角
C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角
4．如图，∠1＝∠2，补充一个条件后仍不能判定△ABC≌△ADC是（　　）
A．AB＝AD B．∠B＝∠D
C．BC＝DC D．∠BAC＝∠DAC
5．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
6．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（　　）
A． B．与互余
C． D．
7．如图，在△ABC中，∠ABC=45° ， BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为（　　） .
A．8 B．10 C．4 D．8
8．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
9．尺规作图作∠AOB的平分线的方法如下：
如图，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA，OB于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大CD长为半径作弧，两弧交于点P，作射线OP.由作法得到△OCP≌△ODP的根据是(　　).
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
10．如图，在中，分别延长边上的中线到．使，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的3倍．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC=a， AC=b， AB=c，下面作法的合理顺序为　 　 (填序号)①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作直线BP，在BP上截取BC=a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形。
12．如图，在中，，，于，于，，，　 　．
13．如图，在中，，高，交于点H．若，，则　 　．
14．在中，，，分别是，边上一点，，，，，，则的长　 　．（用含，，的式子表示）
15．如图，AC＝AD，BC＝BD，则△ABC≌　 　；应用的判定方法是　 　．
16．如图所示，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知AB垂直于河岸BF，在BF上取两点C、D，使CD＝CB，过点D作BF的垂线ED，使A、C、E在一条直线上，若ED＝90米，则AB的长是　 　米．
17．如图，AB=DC，请补充一个条件：　 　使△ABC≌△DCB（填其中一种即可）
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝1.3cm，则BF＝　 　cm．
三、解答题
19．如图，AB⊥CD于点D，E为CD上一点，连结AE，BC，AE=BC，DE=BD
（1）求证：△ADE≌△CDB：
（2）若AD=6，BD=2，求CE的长，
20．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．
（1）如图①，已知：中，，直线经过点于于，求证：；
（2）拓展：如图②，将(1)中的条件改为：中，三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立 如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，直线与BC的延长线交于点，若的面积是12，求与的面积之和.
22．
（1）【问题背景】教材阅读材料告诉我们，全等三角形的三个基本事实是进行演绎推理的重要依据．它们是从静态的角度探索发现的判定方法，其本质与动态的全等三角形定义是一致的，即在这些条件下，两个三角形一定可以通过图形的基本变换（轴对称、平移与旋转）而相互重合．
利用动态的全等三角形定义，上图中的两个三角形可以看作通过轴对称变换得到的全等的是　 　，可以看作通过平移变换得到的全等的是　 　，可以看作通过旋转变换得到的全等的是　 　．（填序号即可）
（2）【问题呈现】在中，为边上一点（不与重合），连接，过点作于点，延长交于点，过点作延长线于点，点为中点，连接．
求证：；
（3）若将（1）中两个全等三角形看作动态变化的两个三角形，那么其中一个三角形可以看作是由另一个三角形通过图形的　 　基本变换而相互重合（填：“轴对称”、“平移”或“旋转”），简述变换的主要过程　 　（包含变换的基本要素）；
（4）直接写出和之间的数量关系．
参考答案
1．B
2．C
3．B
4．A
5．A
6．D
7．A
8．D
9．A
10．B
11．②①③
12．
13．5
14．
15．△ABD；SSS
16．90
17．AC=BD
18．2.6
19．（1）证明：AB⊥CD，
∠ADE=∠BDC=90°
AE=BC，DE=BD，
∴△ADE≌△CDB(HL)
（2）解：∵△ADE≌△CDB，
∴AD=CD=6，
∵DE=BD=2，
∴CE=CD-DE=6-2=4
20．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
21．（1）解：∵，
∴，且，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）成立，证明如下：
∵，
∴，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
（3）同（2）可证，
∴，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴与的面积之和为6．
22．（1）③；②；①
（2）证明： 于点，交直线于点，
，
，
在和中，
，
；
（3）移和旋转；将沿着方向平移到点与点重合，再绕着点将逆时针旋转 得到；
（4）

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