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第五单元圆(讲义)
2025-2026学年六年级数学上册人教版
知识点一：认识圆
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：圆的中心位置叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7、在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。
用字母表示为：d＝2r或r ＝
8、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是： 长方形
只有3条对称轴的图形是： 等边三角形
只有4条对称轴的图形是： 正方形;
有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。
知识点二：圆的周长
1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。
2、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π（pai） 表示。
（1）圆周率π是一个无限不循环的小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。
（2）在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。
（3）世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
3、圆的周长公式： C= πd d = C ÷π
或C=2π r r = C ÷ 2π
4、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
如图：
5、区分周长的一半和半圆的周长：
周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法：2π r ÷ 2 即 π r
半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。
计算方法：πr＋2r 即 5.14 r
知识点三：圆的面积
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。
2、扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形
叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导：
圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
因为： 长方形面积 = 长 × 宽
所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径
S圆 = πr × r
圆的面积公式： S圆 = πr2 r2 = S ÷ π
4、环形的面积：
一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．）
S环 = πR －πｒ 　 或
环形的面积公式： S环 = π（R －ｒ ）
5、一个圆，半径扩大到原来的n倍，直径和周长也扩大到原来的n倍。
而面积扩大到原来的n倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
6、两个圆：半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方比。
例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9
7、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大。
8、确定起跑线：
（1）每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。
（2）每条跑道直道的长度都相等，因跑道有宽度，所以各圆周长不相等、
（因此起跑线不同）
（3）每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽度
（4）当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。
9、常用数据
3π = 9.42 5π = 15.7 6π = 18.84
7π = 21.98 9π = 28.26 16π = 50.24
4π = 12.56 8π = 25.12 25π = 78.5
5=25 6=36 8=64 10=100
15=225 11=121 16=256 13=16
【例题1】判断：半径是射线，直径是直线。（ ）
【错误答案】×
【错因】没有理解半径和直径的概念。
【答案】√
【解析】因为半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。直径是通过圆心，两端都在圆上的线段。因此，半径和直径都是线段。
【例题2】判断：半圆的周长比圆的周长小。（ ）
【错误答案】√
【错因】给出的条件不够，没有限定圆的直径。
【答案】×
【解析】本题错在没有限定圆的直径。直径相等的半圆和圆相比，半圆的周长比圆的周长小。但有些半圆的直径远远大于圆的直径，尽管它的周长只有一半，半圆的周长也大于圆的周长。
【例题3】一个圆形纽扣的半径是3cm，它的面积是多少平方厘米？
【错误答案】3.14×3×2=3.14×6=18.84（平方厘米）
答：它的面积是18.84平方厘米。
【错因】本错把r2理解成r×2。
【答案】3.14×32=3.14×9=28.26（平方厘米）
答：它的面积是28.26平方厘米。
【解析】此题错在把32当成3×2计算了。而32=3×3=9。
【例题4】判断：圆心角越大，扇形越大。（ ）
【错误答案】√
【错因】这种说法不对。它忽略了判断扇形与圆心角大小关系的前提条件在同一个圆中，圆心角越大，扇形才越大。
【答案】×
【解析】在同一个圆中，扇形越大，这个扇形所对的圆心角越大。
一、填空题。(每空2分，共24分)
1.下图中，阴影部分的面积是整个圆面积的 ，阴影部分的圆心角是( )°。
2.如图是轴对称图形，它有( )条对称轴，已知图中大圆的直径是16cm，是小圆直径的2倍，每个小圆的面积是( )cm 。
3.一枚1元硬币和一枚大衣纽扣的直径之比是5：4，那么1元硬币和这枚大衣纽扣的周长之比是( ),面积之比是( )。
4.把圆分成若干等份，照图中的样子拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长比原来圆的周长增加了4厘米，这个圆的周长是( )厘米。
5.张爷爷打算种一些蔬菜，用篱笆靠墙围成一个半圆形的菜地，篱笆长12.56米，围成的菜地的面积是( )平方米。
6.一张长方形铁皮，长是12 dm，宽是7 dm，如果要在这张长方形铁皮上剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )dm。
7.把一个上表面半径为30厘米的蛋糕切成大小相同的几份，已经吃掉了4份(如图)，剩下的蛋糕上表面的面积为( )平方厘米，周长为( )厘米。
8.广州圆大厦位于广东省广州市荔湾区白鹅潭经济圈最南端，是一栋高138米、外圆直径146.6米、内圆直径47米的33层的近似圆形建筑(如图)。外圆的周长比内圆的周长多( )米，计算这个圆形建筑正面的面积应列式为( )。(所有结果用含π的式子表示)
二、选择题。(每题2分，共16分)
1.玩丢手绢时小朋友们一般会围成圆形，这是因为( )。
A.同圆中半径都相等 B.半径决定圆的大小
C.圆心决定圆的位置 D.圆的面积比较大
2.下面图形中，对称轴条数最多的是( )。
3.彤彤的自行车前轮半径是0.3m，她骑车从家到超市前轮转动了100圈，从家到超市的距离为( )m。
A.188.4 B.94.2 C.28.26 D.113.04
4.学校要为一个面积为50m 的圆形花坛安装自动旋转喷灌装置，以下几种射程的自动旋转喷灌装置中，选射程为( )的比较合适。(该装置安装于圆心处)
A. 1m B.2m C.3m D.4m
5.如图，逸飞和小橙分别从A、B两点处出发，沿半圆分别走到 C、D点处，两人走的路程相差( )m。
A.2π B.5.5π C.π D.4π
6.如图，两个图形中，涂色部分的( )。
A.周长相等，面积相等 B.周长相等，面积不相等
C.周长不相等，面积相等 D.周长不相等，面积不相等
7.如图，在圆中画一个最大的正方形，圆的直径是10cm，涂色部分的面积是( )。
A.50cm C.28.5cm
8.超市进行投飞镖抽奖的活动，投中最中间的圆是一等奖，投中最中间的圆外面的第一个圆环是二等奖，投中最外面的圆环是三等奖，投中正方形和最外面的圆之间的部分是四等奖，如图所示。已知最小圆的半径为2分米，圆环的环宽都是1分米，获得( )等奖的可能性更大一些。
A.一 B.二 C.三 D.四
三、计算图形中涂色部分的周长和面积。(12分)
四、操作题。(16分)
1.用圆规画一个直径为4cm的圆，标出圆心和半径，再在圆中画一个圆心角是45°的扇形。
2.用圆规和三角尺画美丽的图案。要求：在下面右边的方框内设计2个图案，使得这2个图案的周长与下面左边图中阴影部分的周长相同。
五、解决问题。(32分)
1.如图，工人师傅用铁丝将3根同样粗的钢管捆在一起(如图)，铁丝绕了2圈，已知钢管的外直径是30厘米，如果铁丝的接头处长度忽略不计，至少需要多长的铁丝 (5分)
2.巴黎凯旋门是现今世界上最大的一座圆拱门，如图所示，它的中心拱门高36.6米，宽14.6米。中心拱门(从前面看)可近似看作由一个半圆和一个长方形组成的封闭图形，它的周长是多少米 (6分)
3.有一个直径为10米的圆形旋转木马场地，游乐场管理员准备在它周围增加一条2米宽的环形通道(如图)。这条环形通道的占地面积是多少平方米 (6分)
4.如图，将一块正方形纸板剪去4个大小一样的圆，每个圆的周长均是9.42 cm，这块纸板的剩余面积是多少 (7分)
5.街心公园运来了一批用于装饰的中空石柱，石柱的半径是0.5m，内壁厚度是0.2m。(8分)
(1)如图，一根石柱的横截面面积是多少平方米
(2)工人师傅要把其中一根石柱滚动到墙角堆放(如图所示)，这根石柱要滚动几圈
附加题(10分)
李洋利用木棍和彩纸做了一把折扇(彩纸只贴一面)，如下图所示。这把折扇打开时的最大角度是 ，做这把折扇大约需要多少平方厘米的彩纸 (得数保留整数)
一、填空题。(每空2分，共24分)
1.60
2.1 50.24
3.5:4 25:16
4.12.56
5.25.12
6.21.98
7.1884 185.6
【解析】根据题图可知,把蛋糕切成了大小相同的12份，已经吃掉了4份，还
剩下蛋糕的(12-4)÷12=2/3;根据圆的面积公式S=πr 求出原来蛋糕上表面的面积，然后乘即可求出剩下的蛋糕上表面的面积。根据圆的周长公式S=2πr求出原来蛋糕上表面的周长，然后乘求出剩下蛋糕上表面圆弧的长度，再加上2个半径长度即可求出剩下的蛋糕上表面的周长。
8.99.6π [(146.6÷2) -(47÷2) ]π
二、选择题。 (每题2分，共16分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A D C C C C
C
【解析】最中间圆的面积：3.14×2 =12.56(平方分米)
最中间的圆外面的第一个圆环的面积：2+1=3(分米)
3.14×(3 -2 )= 15.7(平方分米)
最外面的圆环的面积：3+1=4(分米)
3.14×(4 -3 )=21.98(平方分米)
正方形和最外面的圆之间的部分的面积：
(4×2) -3.14×4 =13.76(平方分米)
21.98>15.7>13.76>12.56,所以获得三等奖的可能性更大一些。
三、计算图形中涂色部分的周长和面积。(12分)
1.周长:3.14×4×2÷2=12.56( cm)
面积：3.14×4 ÷2-4×4=9.12(cm )
2.周长:3.14×(4+3)÷2+3.14×4÷2+3.14×3÷2=21.98( cm)
面积：3.14×[(4+3)÷2] ÷2-3.14×(4÷2) ÷2+3.14×(3÷2) ÷2=16.485(cm )
四、操作题。 (16分)
1.画图略。
2.(画法不唯一)
五、解决问题。 (32分)
1.(3.14×30+2×30×2)×2=428.4(厘米)…… 4分
答：至少需要428.4厘米长的铁丝。 1分
2.36.6-14.6÷2=29.3(米)… 1分
14.6×3.14÷2=22.922(米) …2分
22.922+29.3×2+14.6=96.122(米) 2分
答:它的周长是96.122米。… 1分
3.10÷2=5(米) … 1分
5+2=7(米) … 1分
3.14×(7 -5 )=75.36(平方米) … 3分
答：这条环形通道的占地面积是 75. 36平方米。… 1分
4.9.42÷3.14=3( cm) … 2分
3÷2=1.5( cm) … 1分
(3×2) -3.14×1.5 ×4=7.74(cm )… 3分
答：这块纸板的剩余面积是7.74cm 。… 1分
5.(1)[0.5 -(0.5-0.2) ]×3.14=0.5024(m )… 3 分
答：一根石柱的横截面面积是0.5024 m 。… 1分
(2)(9.92-0.5)÷(0.5×2×3.14)=3(圈)… 3分
答：这根石柱要滚动3 圈。 …1分
附加题(10分)
[3.14×20 -3.14×(20-8) ]×(cm )
答：做这把折扇大约需要 268 cm 的彩纸。
【解析】可先求出外圆半径是20 cm，内圆半径是(20-8) cm的圆环的面积，再用圆环的面积乘即可。

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