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2025-2026学年数学苏科版八年级上册 第1章 三角形 1.4 线段垂直平分线与角平分线（预习讲义）
学习目标
理解线段垂直平分线和角平分线的概念。
会用尺规作图的方法作一条线段的垂直平分线和一个角的平分线。
掌握线段垂直平分线的性质定理和角平分线的性质定理，并能初步运用它们解决简单的几何问题。
体会数学的严谨性和逻辑性，培养空间观念和推理能力。
知识点梳理
一、 线段的垂直平分线
定义： 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 （文字描述：如果一条直线既垂直于线段AB，又平分线段AB，那么这条直线就是线段AB的垂直平分线。）
性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 （文字描述：如图，若直线MN是线段AB的垂直平分线，点P是直线MN上的任意一点，则PA = PB。）
尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段AB。 求作：线段AB的垂直平分线。 作法： （1）分别以点A、B为圆心，大于二分之一AB长为半径画弧，两弧在线段AB的两侧各交于一点（记为点C和点D）。 （2）过点C、D作直线CD。 则直线CD就是线段AB的垂直平分线。 （注意：两弧的半径必须大于二分之一AB长，否则两弧可能没有交点或只有一个交点。）
二、 角的平分线
定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 （文字描述：如果射线OC是∠AOB的平分线，那么∠AOC = ∠COB = 二分之一∠AOB。）
性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （文字描述：如图，若OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，且PD垂直于OA于点D，PE垂直于OB于点E，则PD = PE。这里的距离指的是点到直线的垂线段的长度。）
尺规作图：作角的平分线 已知：∠AOB。 求作：∠AOB的平分线。 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、E。 （2）分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于一点（记为点C）。 （3）画射线OC。 则射线OC就是∠AOB的平分线。 （注意：第二步中，两弧的半径必须大于二分之一DE长，以保证两弧相交于角的内部。）
知识点总结
线段垂直平分线：
核心：垂直且平分。
性质：线上点到线段两端点距离相等（PA = PB）。
作用：提供了证明两条线段相等的一种新方法。
角平分线：
核心：平分角。
性质：线上点到角两边距离相等（PD = PE，距离指垂线段长度）。
作用：提供了证明两条垂线段相等的一种新方法。
尺规作图：
作线段垂直平分线和作角平分线是基本作图，要熟练掌握其步骤和原理。
作图的依据是全等三角形的判定方法（SSS），但现阶段只需掌握作法和图形。
【温馨提示】
在运用性质定理时，要注意“垂直平分线上的点”和“角平分线上的点”这两个条件。
对于角平分线性质中的“距离”，一定要强调是“到角两边的垂线段的长度”。
多动手操作尺规作图，加深对概念的理解和方法的掌握。
巩固练习
一、选择题
1．下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（　　）
A． 作一个角等于已知角
B． 作一个角的平分线
C． 作一条线段的垂直平分线
D． 过直线外一点P作已知直线的垂线
2．如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，OC是内部的一条射线，是射线OC上任意一点，.下列条件：①；②；③；④，其中，能判定OC是的平分线的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
5．根据如图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的(　　).
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．都有可能
6．如图所示的仪器中，OD＝OE，CD＝CE．小州把这个仪器往直线l上一放，使点D、E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是（　　）
A．到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
7．如图，直线m是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB=7，AC=6，BC=8，则周长的最小值是（　　）
A．13 B．14 C．15 D．13.5
8．如图，是的角平分线，是的垂直平分线，的周长为12，则的周长为（　　）
A．16 B． C．20 D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，则OM的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ADC的面积=9，DE=2，则AC的长是　 　．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，DC=AD，BD平分∠ABC，求D到AB的距离等于 　 　 ．
12．如图，中，，，，三条角平分线交于点O．的面积等于9，则的面积　 　．
13．如图，在ABC中，AB，BC的垂直平分线DE，FG相交于点H，连接HA，HB，HC.
（1）若∠BAH=23°， ∠CAH=40°，则∠HBC的度数为　 　
（2）若∠CAH=34°，则∠EHG的度数为　 　
14．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC=5，CD=2，那么AD=　 　．
15．如图所示，已知线段AB=6，现按照以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D；
②连结CD交AB于点P．
则线段PB的长为　 　．
16．如图，若于B，于C，且，，，则　 　.
三、解答题
17．如图，求作一点M，使得MC=MD，且点M到∠AOB两边的距离相等（不写作法，但要保留作图痕迹）．
18．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．
已知：如图13.5.4，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E． 求证：PD＝PE． 分析： 图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等便可证得PD＝PE．
（1）【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明PD＝PE的过程．
（2）【类比探究】
如图②，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，点M，N分别在OB和OA上，连接PM和PN，若∠PMO+∠PNO＝180°，求证：PM＝PN；
（3）如图③，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积为 　 　．
19．如图，，的平分线交于点，．
（1）如图，若，的平分线交于点、交射线于点求的度数；
（2）如图，线段上有一点，满足，若在直线上取一点，使，求的值．
20．已知，点P在的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N，．
（1）补全图，并且保留作图痕迹．
（2）写出∠COD　 　°．△PMN的周长为　 　．
参考答案
1．C
2．A
3．D
4．D
5．B
6．C
7．A
8．C
9．B
10．9
11．2
12．
13．（1）27°
（2）56°
14．3
15．3
16．150°
17．解：点M即为所求，如图所示：
18．（1）证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°，
∵ OC是∠AOB的平分线
∴∠EOP=∠DOP，
∵OP=OP
∴△PEO≌△PDO（AAS），
∴PE=PD；
（2）证明：过点P分别作PE⊥OB，PF⊥OA，
∵ OC是∠AOB的平分线， PE⊥OB，PF⊥OA，
∴PE=PF，
∵∠PMO+∠PME=180°，∠PMO+∠PNO=180°，
∴∠PME=∠PNO
∴△PME≌△PNF（AAS）
∴PM=PN.
（3）18
19．（1）解：平分，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：有两种情况，
当在的下方时，如图：
设，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
；
当在的上方时，如图：
设，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
；
20．（1）解：如图所示：作点P关于OA对称的点C，点P关于OB的对称点D，连接CD交OA于M，交OB于N，
（2）60；15

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