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2025-2026学年数学苏科版八年级上册 第1章 三角形 1.5 等腰三角形
（预习讲义）
学习目标
理解等腰三角形的概念，能识别等腰三角形的腰、底边、顶角和底角。
掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。
理解等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合（简称“三线合一”）。
知道等腰三角形是轴对称图形，并能说出它的对称轴。
初步学会运用等腰三角形的性质解决简单的问题。
了解等边三角形的概念及其特殊性。
知识点梳理
等腰三角形的相关概念
定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相关名称：
在等腰三角形中，相等的两边叫做腰。
另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角。
腰和底边的夹角叫做底角。
注意：等腰三角形中，底边是唯一的，顶角也是唯一的，底角有两个。
等边三角形（特殊的等腰三角形）：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。它是特殊的等腰三角形，即腰和底边都相等的等腰三角形。
等腰三角形的性质
性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。
性质2（三线合一）：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合。
等腰三角形的对称性：等腰三角形是轴对称图形。
它的对称轴是顶角平分线所在的直线（或者说底边上的中线所在的直线，或者说底边上的高所在的直线）。
等边三角形的特殊性
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60度。
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三条边的中线（或三条边上的高，或三个角的平分线）所在的直线。
知识点总结
等腰三角形是一种特殊的三角形，其核心特征是“两边相等”。
核心性质1——等边对等角：等腰三角形的两底角相等。这是进行角度计算和证明角相等的重要依据。
核心性质2——三线合一：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合。这是解决等腰三角形中线段相等、垂直关系的重要工具。
对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的中线，或底边上的高）所在的直线。
特殊等腰三角形——等边三角形：三边都相等，三个角都相等且为60度，有三条对称轴。
以上知识点是解决等腰三角形相关问题的基础，请务必理解并掌握。
巩固练习
一、选择题
1．下列命题中，假命题是（　　）
A．面积相等的两个三角形全等
B．等腰三角形的两底角相等
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D．直角三角形的两个锐角互余
2．若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（　　）
A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm
3．下列条件不能得到等边三角形的是（　　）
A．有两个内角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形
4．如图所示，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等边三角形．其作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，等边的边长为6，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点 ．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
8．若一个等腰三角形有一个角为110°，那么它的底角的度数为（　　）
A．110° B．55° C．110°或35° D．35°
9．如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，等边的边长为3，点P是边上的一个动点，过点P作于点D，延长至点Q，使得，连接交于点E，则之长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
11．直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角的度数是　 　
12．已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为　 　．
13．如图，将一把含有角的三角尺的直角顶点放在一张宽的纸带边沿上，另一个顶点放在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一直角边与纸带的一边所在的直线成，则三角尺的直角边的长为　 　．
14．如图，AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管　 　根.
15．如图，在中，是的高线．若，则的长为　 　．
16．如图，∠A＝52°，O是AB，AC的垂直平分线的交点，则∠OCB＝　 　．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为　 　．
三、解答题
18．在四边形中，，点E为中点．
（1）如图①，点F为中点．求证：；
（2）在（1）的条件下，若，，则的面积为________；
（3）如图②，若，延长交于点F，且，求的度数．
19．如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求证：CA平分∠BCD；
（3）如图（2），设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．
20．在中，，是上一点，且．
（1）如图，延长至，使，连接求证：；
（2）如图，在边上取一点，使，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，为延长线上一点，连接，，若，猜想与的数量关系并证明．
21．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作一个等腰△ABC，点C在格点上．
（1）在图①中，等腰△ABC的面积为．
（2）在图②中，等腰△ABC的面积为5．
（3）在图③中，△ABC是面积为的等腰钝角三角形．
参考答案
1．A
2．C
3．D
4．B
5．A
6．C
7．B
8．D
9．D
10．B
11．35°
12．7或4
13．6
14．8
15．2
16．38°
17．2
18．（1）证明：∵，E是的中点，
∴，
∵点F为中点，
∴
（2）
（3）解：在和中，，
∵，
，
，，
又，
，
∴∠BEC=∠DEC.
设，
∴由（2）得：，
∴∠DEC=∠BEC=∠ABE+∠BAE=2x°.
∵BF=EF，
∴∠ABF=∠BEF=x°，
∵，
∴，
解得．
∴
19．（1）证明：∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA）．
（2）证明：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，∴∠ACD＝∠E，
∴∠BCA＝∠E＝∠ACD，即CA平分∠BCD；
（3）证明：如图②，过点A作AM⊥CE，垂足为M，
∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD，∴AF＝AM，
又∵∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，
∵AC＝AE，∠CAE＝90°，∴∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵AM⊥CE，∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，∴CM＝AM＝ME，
又∵AF＝AM，∴EC＝2AF．
20．（1）证明：，
，
，
即，
在和中
，
，
；
（2）证明：延长至点，使得，连接，
由得，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
由（1）可 得，
，
，
，
即；
（3）解：，
证明如下：
在上截取，连接，
由可知，均为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又为等边三角形，
，
，
，
．
21．（1）解：如图①中，即为所求；
（2）解：如图②中，即为所求；
（3）解：如图③中，即为所求．

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