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苏科版八年级数学上册《2.1 平方根》教学设计
一、内容和内容解析
内容：
本节课主要内容是平方根与算术平方根的基本概念、表示方法、性质及其实际应用。学生将通过具体情境理解平方根的定义，掌握求一个数的平方根和算术平方根的方法，并能区分二者之间的区别与联系。此外，学生还将通过图形比较、实际问题等形式，初步体会无理数的存在，为后续学习实数奠定基础。
内容解析：
平方根是实数概念的重要组成部分，是学生从有理数向实数过渡的关键内容。算术平方根作为平方根中的非负解，在实际问题中具有广泛应用。本节课通过正方形面积与边长的关系引入平方根的概念，帮助学生建立数形结合的思想，理解开平方与平方的互逆关系。教学中需注重学生对符号“√”的理解，避免混淆“平方根”与“算术平方根”，并通过典型例题和练习巩固所学知识，培养学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
二、目标和目标解析
目标：
理解平方根和算术平方根的概念，掌握其表示方法。
能正确求出一个数的平方根和算术平方根，并能区分二者。
初步理解无理数的存在，能通过图形或比较大小体会平方根的实际意义。
目标解析：
通过本节课的学习，学生应能准确说出平方根和算术平方根的定义，会用符号“√”表示算术平方根，理解“±√a”表示平方根。学生能通过平方运算验证平方根的正确性，并能解决与面积、边长相关的实际问题。
此外，学生应能通过图形比较初步理解无理数的大小关系，为后续学习实数的大小比较和运算打下基础。
三、教学问题诊断分析
概念混淆：学生容易混淆“平方根”与“算术平方根”，尤其是对“√a”仅表示非负根的理解不清。
符号理解困难：学生对“±√a”表示两个平方根的理解可能存在困难，尤其是在计算中忽略负根。
无理数理解初步障碍：学生对如√2、√3等无理数的存在和大小比较缺乏直观认识，需通过图形辅助理解。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1：
一张正方形纸片的面积为 ，它的边长是多少？
引导学生列出关系式：。
问题2：
若 ，边长是多少？若 呢？
学生容易得出 ，但对于 时，学生可能无法准确表示边长。
问题3：
我们如何表示边长为√2的正方形？它是不是一个数？
引导学生初步认识无理数的存在。
设计意图：
通过实际问题引入，激发学生兴趣，初步建立平方根的概念，为后续学习奠定基础。对应目标1和目标3。
（二）合作探究1：算术平方根的概念形成
教师：我们回到刚才的问题：如果一个正方形的面积是 ，那么它的边长 应该满足什么条件？
学生：。
教师：很好。那么当 时，边长 分别是多少？
学生：1, 2, 3, 4。
教师：这些边长都是正数。在数学上，我们把这个正的边长称为 的算术平方根。谁能用自己的话说说什么叫算术平方根？
学生：就是一个正数的平方等于 ，那个正数就是 的算术平方根。
教师：准确地说：如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫作 的算术平方根。我们用什么符号来表示？
学生：用 表示。
教师：正确。比如 ，。那么 表示什么？
学生：表示平方等于2的那个正数。
教师：很好。现在请大家思考：0有算术平方根吗？是多少？
学生：有，是0，因为 。
教师：那么负数有算术平方根吗？比如 有意义吗？
学生：没有意义，因为没有任何一个数的平方会是负数。
教师：总结得很好。所以我们规定：算术平方根中的被开方数必须是非负数，算术平方根本身也是非负数。
设计意图：通过具体的数字例子，引导学生理解算术平方根的概念，强调其非负性，为后续与平方根的区分打下基础。
（三）巩固练习1
求下列各数的算术平方根：
(1) 81
(2)
(3) 0.81
答案：
(1) 9
(2)
(3) 0.9
填空：
______； ______
答案：9；5
（四）合作探究2：平方根概念的扩展与理解
教师：现在我们考虑方程 。哪些数的平方等于4？
学生：2和-2。
教师：所以这个方程有两个解： 和 。我们把2和-2都叫作4的平方根。谁能总结一下什么是平方根？
学生：如果一个数的平方等于 ，那么这个数就是 的平方根。
教师：很好。那么平方根和算术平方根有什么关系？
学生：算术平方根是平方根中那个正的。
教师：准确地说：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个就是算术平方根。我们用符号怎么表示平方根？
学生：用 表示。
教师：很好。那么0的平方根是多少？
学生：0。
教师：负数的平方根呢？比如-4有平方根吗？
学生：没有，因为任何数的平方都不会是负数。
教师：现在我们来看一个有意思的问题： 和 哪个大？如何比较？
学生：因为 ，所以 。
教师：为什么可以这样比较？
学生：因为平方根函数是增函数。
教师：我们可以这样理解：如果 ，那么 。这个性质很重要，以后会经常用到。
研究3：
通过图形比较√2和√3的大小：
将面积为2和3的正方形叠放，观察边长关系。
设计意图：
通过从特殊到一般的探究方式，引导学生理解平方根的概念，掌握平方根与算术平方根的区别与联系，并通过数形结合的方式理解无理数的大小比较。
（五）典例分析
例1：
求下列各数的平方根：
(1) 100
(2) 625
(3) 0.0081
(4) 2
答案：
(1) ±10
(2) ±25
(3) ±0.09
(4) ±√2
设计意图：
通过典型例题巩固平方根的求法，强调正负两个解，对应目标2。
（六）巩固练方根：
答案：
±0.1；±；0；±√10
求算术平方根：
答案：
4；；√10
解方程：
答案：
设计意图：
通过多层次练习巩固知识点，提升计算能力，对应目标2。
（七）归纳总结
概念 定义 表示 例子
算术平方根 正数 x 满足
平方根 数 x 满足
0 的平方根 0 0
负数的平方根 无 无 无
（八）感受中考
（2024·江苏）若 ，则 ______
答案：±4
（2024·南京） ______
答案：7
（2025·苏州）若一个数的平方根是±5，则该数是 ______
答案：25
（2025·无锡）比较大小：√5 ______ √6
答案：<
设计意图：
通过中考真题训练，帮助学生熟悉考试题型，提升应考能力。
（九）小结梳理
知识点 说明
算术平方根 非负，记为
平方根 两个，互为相反数，记为
0 的特殊性 平方根和算术平方根均为0
负数的平方根 不存在
（十）布置作业
必做题：
求下列各数的算术平方根：
求下列各数的平方根：
解方程：
选做题：
若 ，比较 和 的大小。
一个圆的面积扩大为原来的4倍，半径扩大为原来的多少倍？
五、教学反思
（本节课后填写）

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