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第一章 勾股定理
1 探索勾股定理（第1课时）
一、学习任务分析
勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是直角三角形的核心性质。它可以用来解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一。勾股定理把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（，a和b表示一个直角三角形的两条直角边的边长，c表示斜边的边长），它把形和数密切联系了起来，搭建起几何图形与数量关系之间的一座桥梁，很好地体现了“数形结合”的思想，为后续探索三角形边角关系打下了基础，在数学的发展中起着重要的作用。
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第一章“勾股定理”第一节的第1课时，主要通过测量、数格子等方法探索得到勾股定理，为第2课时将问题一般化与证明提供基础和活动经验。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，学生在小学阶段已经学习了一些求解几何图形面积的计算方法，初步掌握用割补的方法求图形的面积。在七年级学习了整式的乘除，懂得用图形的面积表示整式的乘除，同时，学会了利用网格构造平行线和垂线，借助网格计算图形的面积。
学生的活动经验基础：多数学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力，初步积累了探索图形性质的活动经验，学生学习积极性较高。但合作交流能力和探究能力有待加强。
三、教学目标
1.经历探索、验证勾股定理的过程，了解勾股定理的各种验证方法及其内在联系，进一步发展空间观念和推理能力。
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。
3.介绍我国古代关于勾股定理的研究，让学生进一步感受中华优秀传统文化的魅力，增强民族自豪感。
教学重点：探索勾股定理的内容。
教学难点：探寻直角三角形三边数量关系。
四、教学过程设计
【第一环节】创设情境，引发思考
1.活动内容
如图1，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？
教师提问：“这个长度确定吗？为什么？”进一步让学生感受：在直角三角形中，任意两条边确定了，第三条边也就随之确定，三条边之间存在着一种特定的数量关系。我们今天一起探究：直角三角形的三条边之间存在着怎样的数量关系？
2.活动目的
由实际情境引入，激发学生学习欲望，同时自然过渡到勾股定理的介绍，并从大单元的角度提出章节关注点，让学生明晰本章重点要完成的学习内容。
3.注意事项
可以提出章节要求，在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
你是如何获得勾股定理的？
三角形的内角大小是如何影响三角形三边的关系的？反过来呢？
【第二环节】动手实践，发现定理
1.活动内容
思考·交流
（1）在作业纸上画若干个直角三角形，分别测量出它们的三条边的长，看看三条边长度的平方之间有怎样的关系。请你以表格的形式（如下表）记录测量与猜想的过程。与同伴进行交流。
直角边a的长度 直角边b的长度 斜边c的长度 可能的关系
（2）如图2，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三条边长度的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？如果直角三角形如图3所示，结果又如何？你是怎样计算的？与同伴进行交流。
（3）如果直角三角形的两条直角边的长度分别为1.6和2.4，那么上面所猜测的数量关系还成立吗？说说你的理由。
2.活动目的
（1）通过让学生画一画、量一量、算一算，自主探究，初步猜想直角三角形的三条边的数量关系。
（2）这里三个问题有不同的层次。第一个问题，通过测量的方式探究直角三角形三条边的关系，方法最直观，但是测量的误差较大，有时可能影响结果的获得。第二个问题，改为利用方格纸进行探究，为后面拼图验证做好铺垫。此问题中给出的直角三角形，两条直角边都画在方格纸的直角边上且直角边长度选取整数，这时自然就引出了以斜边为边长的正方形面积如何计算的问题。第三个问题，当直角边长度不是整数了，相当于隐去了方格纸，可以引导学生思考刚刚（问题二）的方法是否依然有效。
3.注意事项
（1）在问题二中，学生通过割补、计算，归纳发现直角边长为整数的直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方，于是自然引出问题三。
（2）问题三对学生有一定的挑战性，教师可以先让学生进行小组讨论，如有困难，可以引导学生将方格纸“细分”，以0.1为单位构造正方形网格，将问题转化为直角边长度为整数格的情况；学生也可以利用前面的学习经验，直接拼出如图4所示的图形，计算正方形C的面积（即c2）。
（3）也可以借助几何画板或GeoGebra等其他数学软件，展示不同直角三角形三边的平方关系，让学生充分感知任意直角三角形三边普遍存在的数量关系。
【第三环节】归纳概括，提炼定理
1.活动内容
教师提问：直角三角形的三边之间存在着怎样的数量关系呢？你能否从几何的角度，对这一结论寻找一种新的理解呢？
学生提炼勾股定理：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么有a2＋b2＝c2 。
教师介绍相关知识：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。因此，人们把上面的结论称为勾股定理。勾股定理是中国古代的数学成就之一，历史上其他一些文明古国也都独立地发现了这个定理，加之反映勾股定理内容的图形形象直观，于是有数学家曾建议用这个图形作为与“外星人”联系的信号。千百年来，人们冥思苦想给出近400种关于勾股定理的不同证法。对勾股定理的验证，我们将在下节课进行。有兴趣的同学可以在课后研究，或者阅读一些与勾股定理相关的科普素材，进一步感受这个古老定理的无穷魅力！
引导学生从几何角度，对公式a2+b2=c2寻找一种新的理解。激发学生说出：这个结论意味着，以两条直角边分别为边的正方形面积和等于以斜边为边的正方形的面积。
2.活动目的
学生经历了测量、计算，由特殊到一般的推理过程后，归纳总结，明晰勾股定理的内容。同时通过问题引导学生用数学的眼光观察a2+b2=c2的“式结构”与正方形面积的“形结构”之间的联系，体会数与形的完美融合，感受数学的无穷魅力。
【第四环节】尝试运用，巩固定理
活动内容：
尝试·思考
1.能否解决课程开始的问题
如图5，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？
2.随堂练习1，2
活动目的：对本节知识进行巩固练习，通过应用性问题，
培养学生应用数学的意识。
【第五环节】课堂小结，布置作业
课堂小结
1.活动内容
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）勾股定理的内容是什么？它有什么作用
（2）在探究勾股定理的过程中，我们经历了怎样的探究过程？体会了哪些数学思想方法？
2.活动目的
让学生从不同角度回顾本节课所学习的内容，反思其中的数学思想方法，引发学生进行更深层次的思考，促进学生认知结构与思维品质的优化。
布置作业
1.活动内容
①完成习题1.1知识技能：第1，2，3题。问题解决：第6，7题。
②完成习题1.1数学理解：第4题。
③查找勾股定理的相关资料，与同伴分享交流。
2.活动目的
通过课后作业让学生进一步加强对本节课知识的理解和掌握，以形成知识的条理化和结构化。
五、教学反思
1.设计理念
依据“学生是学习的主体”这一理念，本节课在探索勾股定理的整个过程中，始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习。教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点。
2.突出重点、突破难点的策略
学生已具备一定的分析与归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法，但学生对用割补的方法及面积法证明几何命题的意识和能力还比较弱，对于如何将图形与数量关系有机地结合还很陌生。因此，在教学中让学生直接发现“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”有一定的难度，这就需要由浅入深地设置问题，先从等腰直角三角形入手，引导学生发现规律，再从特殊到一般，探究一般直角三角形是否满足规律。探究活动中，学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决这一问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积，教学中应先引导学生观察网格背景下正方形的面积关系，再思考去网格背景后正方形的面积关系，然后把这种关系表示为边长之间的关系，这个过程不仅有利于学生自然合理地发现定理，而且便于学生验证定理，同时，教师要揭示割补法的实质是图形经过切割、拼补后面积保持不变，这种方法也是证明面积问题常用的方法。

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