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第五章 二元一次方程组
5.1认识二元一次方程组导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。
2、通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。
3、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。
学习重点：二元一次方程组的含义
学习难点：判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识。
课前自测
1.含有未知数的 叫方程，如： .
2.若方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数为1的整式方程，这样的方程叫 ，如： .
3.满足方程左右两边未知数的值叫做方程的 .
4.若x=2是关于x的一元一次方程ax+2=8的解，则a= .
5.方程x+y=8是一元一次方程吗？ ；
6. 是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）
A 、2 B、-2 C、± 2 D、4
教学过程
一、创设情境、导入新课
小明和小颖课外参加植树活动，他们分别种了若干株绿植，小明比小颖多2棵，如果小颖种植的给小明1棵，那么小明种植的小颖种植的2倍。
情境中有哪些数量关系？
.
（2）设小明种植的绿植x棵，小颖种植的绿植y棵，能得到怎样的方程
.
二、合作交流、新知探究
探究一：二元一次方程的概念
昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元,每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，成年人多少人？儿童多少人？
设他们中有x个成人,y个儿童.你能得到怎样的方程
X+y=8; 5x+3y=34
观察比较
X-y=2; x+1=2(y-1) X+y=8; 5x+3y=34
上面所列方程各含有几个未知数 （2个未知数）
含有未知数的项的次数是多少 （1）
二元一次方程的定义：
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
做一做：
在(1) 2x+3 ；(2) ；(3) ；(4) (5) 5xy=6, (6) x+y=8中，
是方程的有. ,是一元一次方程的有 ，
请写出你所找出的一元一次方程的解 , 二元一次方程有： ,
解析：二元一次方程具备的条件：
①左右两边必须是整式；
②方程中必须含2个未知数；
③未知项的次数为1，而不是未知数的次数为1
探究二：二元一次方程组的概念
昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元,每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，成年人多少
人？儿童多少人？
方程x+y=8,5x+3y=34中x和y的含义相同吗？
相同，方程x+y=8,5x+3y=34中x表示成年人人数,y表示儿童人数。
把两个二元一次方程联立起来,得:
X+y=8
5x+3y=34
像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.
做一做
下列哪些是二元一次方程组？
1) x+y= 2
x-y=1 【 】
(2)
x = y 【 】
(3) x=0
y=1 【 】
z=x+1
2x-y=5 【 】
x-3y=8
xy=6 【 】
3x=5y
2x-y=0 【 】
【强调】判断二元一次方程组的三个要素：含有两个未知数；含有两个未知数1；整式方程。
探究三：二元一次方程的解概念
问题：
（1）x＝6 , y＝2适合方程 x＋y＝8吗
x＝5 , y＝3呢 x＝4 , y＝4呢
你还能找到其他x , y的值适合方程x＋y＝8吗
(2) x＝5 , y＝3适合方程5x＋3y＝34吗
x＝2 , y＝8呢
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
例如: x＝6 , y＝2 是方程x＋y＝8 的一个解,记作
X=6
Y=2
X=1 x=2 x=5
Y=7 y=6 y=3
所以，二元一次方程有无数个解
做一做
1.判断给出的x、y的值是否是方程的解
(1) 2x-3y=6 【 】
5x+2y=8 【 】
在 中，是方程x+y=22的解的有 (填
序号)
探究四：二元一次方程组的解概念
x＝5 ,y ＝3是方程 x＋y＝8的一个解
那x＝5 , y ＝3是否为方程 5x ＋3y＝34的一个解
定义：二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解
例如方程组：x+y=8 的解是 x=5
5x+3y=34 y=3
做一做：
1、方程组 的解是（ ）
A B. C. D.
2、 已知下列三组数值：
A. X= 3 B. x=4 C. x=0
Y=1 y=3 y=2
（1）是方程 2x-y=5 的解的有： .
（2）是方程 x+3y=6 的解有： ，
（3）方程组 2X-Y=5 的解的是: .
X+3Y=6
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．下列各式中，是二元一次方程的为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．若方程 是关于x、y的二元一次方程，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
5．在下列方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（ ）个
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
能力提升：
7、已知关于x,y的方程(n-2)x2m+3+3y5|n|-9=4.
(1)若方程是二元一次方程,求m2+n2的值;
(2)若方程是一元一次方程,求m,n的值或取值范围.
拓展迁移：
8.方程2x-y=3是 元 次方程，它可以变形为 y= ，也可以变形为x = ．
若是关于x，y的二元一次方程组，则a= ， b= , c= ．
10．已知方程组是二元一次方程组，求m的值．
总结反思、拓展升华
认识二元一次方程组
1、二元一次方程：①含有两个未知数 ②所含未知数的项的次数是1
2、二元一次方程组：①共含有两个未知数 ②两个一次方程
3、二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值
4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解
五、【作业布置】
基础达标：
1．下列方程中，是二元一次方程的是(　　)
A．y＝3x－1　　　B．xy＝1　　　C．x＋＝2　　　D．x＋y＋z＝1
2．二元一次方程3a＋b＝9在正整数范围内的解的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是( 　　)
A. B. C. D.
4．已知是二元一次方程组的解，则m－n的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 方程组的解是(　　)
A． B． C． D．
6.若关于x、y的方程xm＋1＋yn－2＝0是二元一次方程，则m＋n＝　 　.
7．若是二元一次方程ax＋by＝2的一个解，则2a－b－6的值是　 　.
8.为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有　 　种.
能力提升：
9.方程 是关于x，y的方程，试问当k为何值时，
方程为一元一次方程？
（2）方程为二元一次方程？
拓展迁移：
10.小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染，“■”和“▲”表示被污染的内容，他着急翻开书后面的答案，这道题的解 你能帮助他补上“■”和“▲”的内容吗？说出你的方法．
11．根据题意列出方程组：
(1) 明明到邮局买0.8元与2元的邮票13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？
将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
课堂作业参考答案：
C
C
B
C
B
D
7、【解析】(1)由题意得2m＋3＝1,
5|n|－9＝1且n－2≠0,
解得m＝－1,n＝－2.
∴m2＋n2＝(－1)2＋(－2)2＝5.
(2)若已知方程是关于x的一元一次方程时,有n－2≠0,2m＋3＝1,且5|n|－9＝0,
解得m＝－1且n＝±.
若已知方程是关于y的一元一次方程时,有5|n|－9＝1,解得n＝±2;
当n＝2时,m为任意实数；当n＝－2时,2m＋3＝0, 即m＝－
综上所述,若已知方程是一元一次方程,m＝－1且n＝±或m＝－且n＝－2或m为任意实数且n＝2.
8、二，一， 2x-3 ，
9、3或2，-2，-3
10、【解析】：依题意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0，
解得：m=5．
课外作业参考答案：
A
C
C
D
D
3
-4
2
9解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：
①，解得k＝－2；
②，无解，
所以k＝－2时，方程为一元一次方程．
（2）根据二元一次方程的定义可知
，
解得k＝2，
所以k＝2时，方程为二元一次方程
10、■＝7，▲＝11
11、（1）解：设0.8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意，得
（2）解：设有x只鸡，y个笼，根据题意
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北师大版（2024）第五章《二元一次方程组》5.1认识二元一次方程组教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 五
课题 认识二元一次方程组 课时 1
课标要求 理解二元一次方程组的概念，从情境问题中抽象出二元一次方程组的模型，扎实掌握二元一次方程组解的具体含义。
教材分析 从教材作用上看，初中阶段方程问题共出现了三次：一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程。本节的概念教学作为多元方程的开端，为二元一次方程组的解法和应用打下基础，既是对一元一次方程内容的充实与提高，又为以后学习一次函数、一元一次不等式组和一般线性方程组做了必要的准备。本节教材编写从现实问题出发，创设了具有趣味性的问题情境以引出二元一次方程的概念；利用“做一做”引发学生自主探究，从而体会二元一次方程解的无穷多性，同时便于学生观察出二元一次方程组的解的公共性，自然导出二元一次方程组解的概念。本节教材的最大特点便是将抽象的数学概念还原回具体的现实生活中，让学生从“现实的、有意义的、富有挑战性的”问题中去自主探索数学知识。
学情分析 学生已经掌握了一元一次方程的有关知识，所以本节课的学习完全可以类比一元一次方程的“元”和“次”去发现并得出二元一次方程的概念。有些同学对于一元一次方程有些遗忘，所以有些地方进行的可能有些慢。另外对于解得表示形式对于他们而言会有点陌生，而且因为方程组的解是其中两个方程的公共解，所以说判断一对数值是否为方程组的解对于学生会有一定的困难。
核心素养目标 1、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。2、通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。3、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。
教学重点 二元一次方程组的含义
教学难点 判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识。
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、课前检测 1.含有未知数的 等式 叫方程，如： 3X+1=13 .2.若方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数为1的整式方程，这样的方程叫 一元一次方程 ，如：13X+4=17 3.满足方程左右两边未知数的值叫做方程的 解 . 4.若x=2是关于x的一元一次方程ax+2=8的解，则a= 3 . 5.方程x+y=8是一元一次方程吗？ 不是 ；6. 是关于x的一元一次方程，则m的值为（ B ） A 、2 B、-2 C、± 2 D、4 完成课前练习题。 复习旧知为认识二元一次方程作知识铺垫
二情境导入 小明和小颖课外参加植树活动，他们分别种了若干株绿植，小明比小颖多2棵，如果小颖种植的给小明1棵，那么小明种植的小颖种植的2倍。（1）情境中有哪些数量关系？小明种植的绿植-小颖种植的绿植=2小明种植的绿植+1=（小颖种植的绿植-1）×2（2）设小明种植的绿植x棵，小颖种植的绿植y棵，能得到怎样的方程x-y=2; x+1=2(y-1) 根据情景中的问题，学生思考。 情景问题中引入新课。
三、探究新知 探究一：二元一次方程的概念昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元,每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，成年人多少人？儿童多少人？设他们中有x个成人,y个儿童.你能得到怎样的方程 X+y=8; 5x+3y=34观察比较X-y=2; x+1=2(y-1) X+y=8; 5x+3y=34上面所列方程各含有几个未知数 （2个未知数）含有未知数的项的次数是多少 （1）二元一次方程的定义：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.做一做：在(1) 2x+3 ；(2) ；(3) ；(4) (5) 5xy=6, (6) x+y=8中，是方程的有（2）（3（4）（5）（6）.是一元一次方程的有 (3) ，请写出你所找出的一元一次方程的解 -8 ，二元一次方程有： （6） ,解析：二元一次方程具备的条件：①左右两边必须是整式；②方程中必须含2个未知数；③未知项的次数为1，而不是未知数的次数为1探究二：二元一次方程组的概念昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元,每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，成年人多少人？儿童多少人？方程x+y=8,5x+3y=34中x和y的含义相同吗？相同，方程x+y=8,5x+3y=34中x表示成年人人数,y表示儿童人数。把两个二元一次方程联立起来,得: X+y=8 5x+3y=34像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.做一做下列哪些是二元一次方程组？ 1) x+y= 2 x-y=1 【是】 (2) x = y 【由于分母出现未知数，故不是】(3) x=0 y=1 【是】 z=x+12x-y=5 【有3个未知数，故不是】 x-3y=8 xy=6 【xy项是2次，故不是】 3x=5y 2x-y=0 【是】【强调】判断二元一次方程组的三个要素：含有两个未知数；含有两个未知数1；整式方程。探究三：二元一次方程的解概念问题：（1）x＝6 , y＝2适合方程 x＋y＝8吗 x＝5 , y＝3呢 x＝4 , y＝4呢 你还能找到其他x , y的值适合方程x＋y＝8吗 (2) x＝5 , y＝3适合方程5x＋3y＝34吗 x＝2 , y＝8呢 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.例如: x＝6 , y＝2 是方程x＋y＝8 的一个解,记作 X=6 Y=2 X=1 x=2 x=5 Y=7 y=6 y=3 所以，二元一次方程有无数个解做一做1.判断给出的x、y的值是否是方程的解(1) 2x-3y=6 【不是】 (2) 5x+2y=8 【是】 2、在中，是方程x+y=22的解的有 ①，②，③，④，⑤ . (填序号) 探究四：二元一次方程组的解概念x＝5 ,y ＝3是方程 x＋y＝8的一个解那x＝5 , y ＝3是否为方程 5x ＋3y＝34的一个解 定义：二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解例如方程组：x+y=8 的解是 x=5 5x+3y=34 y=3做一做：1、方程组 的解是（D）A B. C. D.2、 已知下列三组数值：A. X= 3 B. x=4 C. x=0 Y=1 y=3 y=2（1）是方程 2x-y=5 的解的有： A, B .（2）是方程 x+3y=6 的解有： A, C（3）方程组 2X-Y=5 的解的是: A X+3Y=6 学生独立对问题1、2列出相应的方程,通过观察、比较，小组活动得出二元一次方程的含义完成做一做，类比出二元一次方程组的概念，完成做一做。探究二元一次方程的解的含义完成做一做，类比出二元一次方程组的解完成做一做 经过复习一元一次方程，根据现在中学生的认知特点，快速的引入新课，让学生的兴奋点放在新知的探索和拓展上以身边的问题创设情境，加强学生的认知，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望，通过情境创设，让学生体会到数学就来原于生活，同时又服务于生活。不是枯燥无味的知识。列出相应的方程，突出了重点，自然的把学生带入下一环节。探究过程分为4个部分：1、探究二元一次方程：2、探究二元一次方程组；探究二元一次方程的解：探究二元一次方程组的解，采用旧知引入，观察讨论、类比归纳的方法，
五、课堂练习 基础达标：1．下列各式中，是二元一次方程的为（ C ）A． B．C． D．2．下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（ C ）A． B．C． D．3．若方程 是关于x、y的二元一次方程，则（ B ）A． B．C． D．4．下列方程组中是二元一次方程组的是（ C ）A． B．C． D．5．在下列方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（ B ）个A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．下列方程组中是二元一次方程组的是（ D ）A． B．C． D．能力提升：7、已知关于x,y的方程(n-2)x2m+3+3y5|n|-9=4.(1)若方程是二元一次方程,求m2+n2的值;(2)若方程是一元一次方程,求m,n的值或取值范围.【解析】(1)由题意得2m＋3＝1,5|n|－9＝1且n－2≠0,解得m＝－1,n＝－2.∴m2＋n2＝(－1)2＋(－2)2＝5.(2)若已知方程是关于x的一元一次方程时,有n－2≠0,2m＋3＝1,且5|n|－9＝0,解得m＝－1且n＝±.若已知方程是关于y的一元一次方程时,有5|n|－9＝1,解得n＝±2;当n＝2时,m为任意实数；当n＝－2时,2m＋3＝0, 即m＝－综上所述,若已知方程是一元一次方程,m＝－1且n＝±或m＝－且n＝－2或m为任意实数且n＝2.拓展迁移：8.方程2x-y=3是 二 元 一 次方程，它可以变形为 y= 2x-3 ，也可以变形为x = ．若是关于x，y的二元一次方程组，则a= 3或2， b= -2 , c= -3 ．10．已知方程组是二元一次方程组，求m的值．解：依题意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0，
解得：m=5． 完成课堂练习题 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 认识二元一次方程组1、二元一次方程：①含有两个未知数 ②所含未知数的项的次数是12、二元一次方程组：①共含有两个未知数 ②两个一次方程3、二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解 引导学生对本课知识进行小结。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标： 1．下列方程中，是二元一次方程的是(　A　)A．y＝3x－1　　　B．xy＝1　　　C．x＋＝2　　　D．x＋y＋z＝12．二元一次方程3a＋b＝9在正整数范围内的解的个数是(　C　)A．0 B．1 C．2 D．33. 下列方程组中，是二元一次方程组的是( C　　)A. B. C. D.4．已知是二元一次方程组的解，则m－n的值是(　D　)A．1 B．2 C．3 D．45. 方程组的解是(　D　)A． B． C． D．6.若关于x、y的方程xm＋1＋yn－2＝0是二元一次方程，则m＋n＝　 3 　.7．若是二元一次方程ax＋by＝2的一个解，则2a－b－6的值是　-4 　.8.为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有　 2 　种.能力提升：9.方程 是关于x，y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：①，解得k＝－2；②，无解，所以k＝－2时，方程为一元一次方程．（2）根据二元一次方程的定义可知，解得k＝2，所以k＝2时，方程为二元一次方程拓展迁移：10.小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染，“■”和“▲”表示被污染的内容，他着急翻开书后面的答案，这道题的解 你能帮助他补上“■”和“▲”的内容吗？说出你的方法．参考答案：：■＝7，▲＝1111．根据题意列出方程组：(1) 明明到邮局买0.8元与2元的邮票13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？解：设0.8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意，得将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？解：设有x只鸡，y个笼，根据题意
教学反思
认识二元一次方程组
二元一次方程组的解：
二元一次方程组中各个方程的公共解。
二元一次方程组定义：
①含有2个未知数
②两个一次方程。
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第五章 二元一次方程组
5.1认识二元一次方程组
01
教学目标
02
知识衔接
03
情境导入
04
探究新知
05
课堂练习
07
作业布置
06
课堂小结
01
教学目标
了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。
01
通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。
02
通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。
03
02
知识衔接
1.含有未知数的 叫方程，如： .
2.若方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数为1的整式方程，这样的方程叫 ，如： .
3.满足方程左右两边未知数的值叫做方程的 .
4.若x=2是关于x的一元一次方程ax+2=8的解，则a= .
5.方程x+y=8是一元一次方程吗？ ；
6. 是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）
A 、2 B、-2 C、± 2 D、4
等式
3x+1=13
一元一次方程
13x+4=17
解
3
不是
B
03
情境导入
小明和小颖课外参加植树活动，他们分别种了若干株绿植，小明比小颖多2棵，如果小颖种植的给小明1棵，那么小明种植的小颖种植的2倍。
（1）情境中有哪些数量关系？
小明种植的绿植-小颖种植的绿植=2
小明种植的绿植+1=（小颖种植的绿植-1）×2
（2）设小明种植的绿植x棵，小颖种植的绿植y棵，能得到怎样的方程
x-y=2，
x+1=2(y-1)
03
新知探究
探究一
二元一次方程的概念
昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元
每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，
他们到底去了几个成人，几个儿童呢
设他们中有x个成人,y个儿童.
你能得到怎样的方程
x＋y＝8
5x＋3y＝34
03
新知探究
归纳总结
x－y＝2 x＋y＝8
x＋1＝2(y－1) 5x＋3y＝34
上面所列方程各含有几个未知数
含有未知数的项的次数是多少
答：2个未知数
答：次数是1
二元一次方程的定义：
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
03
新知探究
在(1) 2x+3 ；(2) ；(3) ；(4)
(5) 5xy=6,(6) x+y=8中，是方程的有 ；
是一元一次方程的有___，请写出你所找出的一元一次方程的解__ ,二元一次方程有： ,
(2),(3),(4),(5),(6)
(3)
-8
(6)
解析：二元一次方程具备的条件：
①左右两边必须是整式；
②方程中必须含2个未知数；
③未知项的次数为1，而不是未知数的次数为1
03
新知探究
探究二
二元一次方程组的概念
昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元,每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，成年人多少人？儿童多少人？
方程x+y=8,5x+3y=34中x和y的含义相同吗？
相同，方程x+y=8,5x+3y=34中x表示成年人人数,y表示儿童人数。
03
新知探究
x＋y＝8
5x＋3y＝34
像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
把两个二元一次方程联立起来,得:
注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.
03
新知探究
下列哪些是二元一次方程组？
(1) x+y= 2 (2)
x-y=1 x = y
(3) x=0 (4) z=x+1
y=1 2x-y=5
(5) x-3y=8 (6) 3x=5y
xy=6 2x-y=0
(是)
(不是)
(是)
(不是)
(不是)
(是)
提示：三个要素：含有两个未知数；含有两个未知数1；整式方程。
三个未知数
未知数出现在分母中
xy项是
二次
03
新知探究
探究三
二元一次方程的解概念
问题：（1）x＝6 , y＝2适合方程 x＋y＝8吗
x＝5 , y＝3呢
x＝4 , y＝4呢
你还能找到其他x , y的值适合方程x＋y＝8吗
(2) x＝5 , y＝3适合方程5x＋3y＝34吗
x＝2 , y＝8呢
03
新知探究
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
例如: x＝6 , y＝2 是方程x＋y＝8 的一个解,记作
x＝6
y＝2
……都是x+y=8的解
所以，二元一次方程有无数个解
03
新知探究
1.判断给出的x、y的值是否是方程的解
(1) 2x-3y=6 ( ) (2) 5x+2y=8 ( )
×
√
2.在
中, 是方程x+y=22的解的有 (填序号) .
①
②
③
④
⑤
03
新知探究
探究四
二元一次方程组的解概念
x＝5 ,y ＝3是方程 x＋y＝8的一个解
那x＝5 , y ＝3是否为方程 5x ＋3y＝34的一个解
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
x＋y＝8
5x＋3y＝34
x＝5
y＝3
例如， 的解是
03
新知探究
1.方程组 的解是（　　）
A． B． C． D．
D
2、已知下列三组数值：
B. C.
（1）是方程 2x-y=5 的解的有：
（2）是方程 x+3y=6 的解有：
（3）方程组 的解的是:
x=3
y=1
x=4
y=3
x=0
y=2
2x-y=5
x+3y=6
A、 B
A、 C
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．下列各式中，是二元一次方程的为（ ）
A. B. C. D.
2．下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
C
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．若方程 是关于x、y的二元一次方程，
则（ ）
A. a≠0 B.a≠5 C.a≠-5 D.a≠-2
B
4．下列方程组中是二元一次方程组的（ ）
A. B. C. D.
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5．在下列方程组 、 、 、 ，
是二元一次方程组的有（ ）个
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
B
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7、已知关于x,y的方程(n-2)x2m+3+3y5|n|-9=4.
(1)若方程是二元一次方程,求m2+n2的值;
(2)若方程是一元一次方程,求m,n的值或取值范围.
【解析】(1)由题意得2m＋3＝1,
5|n|－9＝1且n－2≠0,
解得m＝－1,n＝－2.
∴m2＋n2＝(－1)2＋(－2)2＝5.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
(2)若已知方程是关于x的一元一次方程时,有n－2≠0,2m＋3＝1,且5|n|－9＝0,
解得m＝－1且n＝±1.8.
若已知方程是关于y的一元一次方程时,有5|n|－9＝1,解得n＝±2;
当n＝2时,m为任意实数；当n＝－2时,2m＋3＝0, 即m＝－1.5
综上所述,若已知方程是一元一次方程,m＝－1且n＝±1.8或m＝－1.5且n＝－2或m为任意实数且n＝2.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
8.方程2x-y=3是 元 次方程，它可以变形为 y= ，也可以变形为x = ．
9.若 是关于x，y的二元一次方程组，则a= ，
b= ， c= ．
二
一
2x-3
3或2
-2
-3
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
10．已知方程组 是二元一次方程组，求m的值．
【解析】依题意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0，
解得：m=5．
05
课堂小结
认识二元一次方程组
二元一次方程：①含有两个未知数 ②所含未知数的项的次数是1
二元一次方程组：①共含有两个未知数 ②两个一次方程
二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值
二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．下列方程中，是二元一次方程的是(　　)
A．y＝3x－1　　B．xy＝1　C．x＋ ＝2　　D．x＋y＋z＝1
2．二元一次方程3a＋b＝9在正整数范围内的解的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是( 　　)
A. B. C. D.
A
C
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4．已知 是二元一次方程组 的解，则m－n的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 方程组 的解是(　　)
A. B. C. D.
D
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6.若关于x、y的方程xm＋1＋yn－2＝0是二元一次方程，则m＋n＝　 　.
7．若 是二元一次方程ax＋by＝2的一个解，则2a－b－6的值是　 　.
8.为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有　 　种.
3
-4
2
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
9.方程 是关于x，y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？
（2）方程为二元一次方程？
解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以
解得k=-2,或 无解
所以k＝－2时，方程为一元一次方程．
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
（2）根据二元一次方程的定义可知
解得k＝2，
所以k＝2时，方程为二元一次方程
06
作业布置
【综合拓展类作业】
10.小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染 ,，“■”和“▲”表示被污染的内容，他着急翻开书后面的答案，这道题的解 你能帮助他补上“■”和“▲”的内容吗？说出你的方法．
6x＋y＝▲
(2x－3y＝■)
解析：把x=2,y=-1代入方程组得■＝7，▲＝11
06
作业布置
【综合拓展类作业】
11．根据题意列出方程组：
(1) 明明到邮局买0.8元与2元的邮票13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少？
解：设0.8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意，
得

06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
解：设有x只鸡，y个笼，根据题意
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大（2024） 册、章 上册第五章
课标要求 二元一次方程组》是初中数学“数与代数”领域的核心内容，是学生从“一元”向“多元”思维过渡的关键节点，也是后续学习一次函数、线性规划及其他高阶数学知识的重要基础。根据2022版新课标，对《二元一次方程组》的内容要求、学业质量要求可以归纳为以下几点：一、内容要求理解概念： 理解二元一次方程及其解的概念，掌握解法： 掌握二元一次方程组代入消元法（简称“代入法”）和加减消元法（简称“加减法”）*二元一次方程组两种基本解法。思想本质： 理解“消元”是解二元一次方程组的基本思想，即将“二元”问题转化为“一元”问题来解决，体会**化归（转化）**的数学思想。灵活运用： 能根据方程组的特点，选择恰当的、简便的方法求解。应用建模：能根据具体问题中的数量关系，设出两个未知数，列出二元一次方程组，建立数学模型。解决问题： 能通过解所列的方程组，得到实际问题的答案，并根据问题的实际意义检验结果的合理性。问题类型： 能解决包括行程问题、工程问题、配套问题、利润问题、分配问题等在内的各类应用题。二、 学业质量要求（核心素养体现）新课标强调核心素养的落实。本章学习主要体现以下核心素养：运算能力：学生需要完成“实际问题 → 数学模型（方程组）→ 求解模型 → 解释实际结果”的完整建模过程。推理意识： 知道“为什么可以这样解”，而不是死记硬背解题步骤。应用意识： 主动运用所学知识解决生活中的问题，感受数学“有用、有趣”。
内容分析 二元一次方程组是中学数学的重要内容，它是数学解决问题的基本工具，是刻画现实世界的一个最有效的数学模型和重要手段，是一元一次方程的继续和发展，也是学习线性方程和平面几何的基础，同时与一次函数存在密切的联系。它也是学习数学乃至无理化学和其他学科的重要基础。把握好本章学习，有利于激发学生的自主创新、积极探索的热情，培养学生分析问题解决问题的能力。本章教学内容分为三大块;从问题到方程组。选择含有两个未知量的情景，引出二元一次方程组，展现二元一次方程组是刻画现实世界的有效的数学模型，让学生体会数学来源于生活有服务于生活。解方程组，通过学生尝试、比较、探索等方法发现解二元一次方程组的方法（代入法、消元法），体会转化思想。用方程组解决问题，设置具有一定挑战性的问题和思考下的现实问题，用二元一次方程组解决这些丰富多彩具有现实意义的实际问题，既培养学生的方程组的数学模型思想，有培养学生的自主探究解决问题的能力。
学情分析 学生学习了一元一次方程的解法，初步感受了方程的模型思想，积累了用方程解决实际问题的经验。在此基础上，学生进一步研究二元一次方程组的概念、解法和运用。引导学生从熟悉的一元一次方程入手，探究二元一次方程组的概念个解法以及用二元一次方程组解决实际问题，使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数解决问题的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
单元目标 教学目标1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识二元二次方程(组)及其有关概念。2、根据转化思想，抓住“消元”这一基本策略，熟练掌握二元二次方程组的基本解法：代入消元法和加减消元法。3、经历分析和解决问题的过程，体会二元二次方程(组)的教学模型作用，进一步提高运用方程(组)解决实际问题的基本能力。（二）教学重点、难点重点：1、二元一次方程组的两种解法（代入法和加减法）。 这是本章的“工具”，必须让学生熟练掌握。2、列二元一次方程组解应用题。 这是本章的“灵魂”，是数学知识应用于实践的最终体现。难点：1、“消元”思想的理解。 学生容易机械地模仿解题步骤，但难以理解为什么要“消元”以及“消元”的本质是“转化”。2、应用题中“等量关系”的寻找与建立。 这是学生普遍感到困难的地方。当问题涉及两个未知数和多个等量关系时，学生往往不知如何下手，或者找错等量关系。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数501认识二元一次方程组1502二元一次方程组的解法（代入消元）1503二元一次方程组的解法（加减消元）1504二元一次方程组的应用（古题今解）1505二元一次方程组的应用（增收节支）1506二元一次方程组的应用（行程问题）1507二元一次方程组与一次函数1508用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1509三元一次方程组1510解决问题的策略 逐步确定1511回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识二元一次方程组1、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。2、通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。3、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。1、完成课前练习题。2、思考情景中问题。3、学生独立对问题1、2列出相应的方程,通过观察、比较，小组活动得出二元一次方程的含义4、完成做一做，5、类比出二元一次方程组的概念，6、完成做一做。7、探究二元一次方程的解的含义8、完成做一做，9、类比出二元一次方程组的解10、完成做一做11、完成课堂练习12、引导学生课堂总结。环节一：课前检测环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结二元一次方程组的解法（代入消元）1、使学生掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤，学会用代入消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，转化的思想。 3、培养学生探索、观察、分析化归获得数学思想的能力；培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的能力，培养学生学会与他人合作，与人交流思维过程的习惯。 1、回顾知识，唤醒记忆。2、根据情景，学生列出二元一次方程组，3、利用两种方法解二元一次方程组，并验证答案的正确性，4、学生自学例题1并对例题1、2写出检验过程。5、根据“变、代、求、写”的步骤，说一说。5、小组讨论归纳总结出代入消元法。6、拓展提高学习整体代入法。7、学生完成课堂练习。8、课堂总结环节一：知识回顾环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的解法（加减消元）1、使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤，会用加减消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，化归的思想。 3、培养学生学会自主探索，与他人合作， 与人交流思维过程的习惯。1、学生回顾知识。2、尝试用多种方法解二元一次方程。3、观察方程组系数的特点，尝试用加减消元法解二元一次方程组。4、自学例题3，发现未知数的系数相同，直接用加减消元法解二元一次方程组。5、自学例题4，学生小组讨论；当未知数的系数不相等时怎样变成未知数系数的绝对值相等？变换根据是什么？如何使用加法或减法消元。6、判断解方程组过程中的错误，并改正。7、完成课堂练习。8、学生课堂总结。环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的应用（古题今解）1、会用二元一次方程组解决古代算题的实际问题。2、在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界3、经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。1、思考解二元一次方程组的两种基本方法并完成习题2、3。2、回顾小学解决鸡兔同笼的几种方法，并选择你喜欢的方法解答。3、通过小组交流合作,同学之间相互提问、相互补充,用二元一次方程解决鸡兔同笼问题，并由两名学生代表板书解析过程，通过互相评价激发学生学习热情.4、尝试用二元一次方程解古题。5、通过交流合作，学习经典的3个例题，学生参与、讨论、质疑、补充.学生代表板书解析过程，学生评价，相互学习相互促进6、学生完成课堂练习。7、课堂总结环节一：知识回顾环节二：古题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的运用（增收节支）1．会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组。2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力。3．通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性。1、回顾知识，正确写出公式；2、让学生独立完成3个问题。3、分析题中的数量关系填写表格4、题目中有哪些等量关系？5、写出解方程的过程.6、先读题，找出题目中的关键语句（独立完成）7、小组合作：在关键语句中找到3个相关量、2个研究对象建立表格8、尝试用表格的方法分析和解答问题，体验和巩固用表格分析问题的方法。9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组的运用（行程问题）1、用二元一次方程式组解决有关数字问题、行程问题，会用线段图分析数量关系，找到题中的等量关系式。2、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。3、让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。1、完成预习题，从而激发兴趣，进入新课。2、分析题意，完成表格和填空3、找出等量关系。4、试着用方程解决问题.5、弄清题意画线段图分析例题1和2，找出等量关系。6、试着用方程解决问题。7、小组讨论总结、归纳列方程解决问题的一般步骤。8、分析数字问题位置互换后的表示方法，利用数量关系列方程求解9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组与一次函数1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力.3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣.1、回顾知识，完成习题。2、探究一，小组交流讨论4个问题。3、探究小结；x+y=5是二元一次方程，变形成y=-x+5称为一次函数。函数图像上的点都是二元一次方程的解。5、两点法作出一次函数的图像，6、小组交流；方程组的解和相应的两个函数图象的交点坐标有什么关系 7、探究小结：方程组的解就是两直线的交点坐标；8、探究两直线平行于方程组解的关系。9、探究小结：当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元一次方程组有一组解.当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此时对应的二元一次方程组无解.当k1=k2 b1=b2时，两直线重合，无数个交点，此时对应的二元一次方程组无数个解.10、完成课堂作业11、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结。用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1、掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点。2、进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。3、通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。独立完成求解析式。用图像解方程组。理解方程组与一次函数之间的关系。根据情景分析题中的已知条件和所求问题。分析讨论三种解法的优点和缺陷。学生用待定系数法求出一次函数的表达式并归纳待定系数法的方法和步骤。6、完成课堂作业7、引导学生进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结。三元一次方程组1、了解三元一次方程组的概念.会用消元法把“三元”化为“二元”、进而化为“一元”的思想来解三元一次方程组.能根据三元一次方程组的具体特点选择适当的解法.2、通过类比、化归、合作讨论等思想方法，让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法.3、让学生感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.1、问题抢答，激发兴趣。2、完成课前检测。3、根据等量关系列三元一次方程组。4、根据二元一次方程组的概念类比出三元一次方程组的概念5、教师指导解三元一次方程组。6、小组交流讨论例题2、3.方程组的解法。7、小组归纳三元一次方程组的解法及消元时注意的问题。8、完成课堂作业9、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结解决问题的策略 逐步确定1.能从具体问题中抽象出多个限制条件，通过“逐步确定”策略推导符合所有条件的解，培养逻辑推理能力。2.学会将实际问题（如购物选择、物品数量求解）转化为数学条件，立解决问题的模型，提升用数学解决实际问题的能力。3.在逐步筛选符合条件的数值（如《孙子算经》问题）过程中，锻炼基本运算和数值分析能力。4.通过处理多组条件（如密码组合、路径选择），学会有序分析和整合信息，培养综合应用知识的素养。思考问题小组交流：按问题理解；拟定计划；实施计划；回顾与反思四个过程探究问题解决策略：逐步确定。3、完成课堂作业4、引导学生进行课堂总结环节一：情境引入环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结回顾与思考1、梳理本章知识，建立知识体系，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型； 2、通过解二元一次方程组，熟练其解法，体会 “化未知为已知”的化归思想；3、通过问题的解决，提高学生运用数学的能力，促进良好的学习方法和习惯的养成1、展示课前布置的思维导入，说明制作本图的亮点。2、学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系。3、小组交流合作完成5个例题的学习。4、完成课堂作业5、引导学生进行课堂总结。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结
《二元一次方程组》单元教学设计
活动1：复习旧知
活动2：情景导入
活动3：探究新知
任务一：认识二元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：问题导入
活动3：探究新知
任务二：解二元一次方程组（代入消元）
活动4：典例精析
二元一次方程组
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：课前检测
活动3：探究新知
活动4：典例精析
任务三：解二元一次方程组（加减消元）
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：古题导入
任务四：二元一次方程组的应用（古题今解）
活动3：探究新知
活动4：典例精析
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：预习交流
活动2：情境导入
任务五：二元一次方程组的应用（增收节支）支 ）
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：预习交流
二元一次方程组
任务六：二元一次方程组的应用（行程问题）
活动2：情境导入
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：探究新知
任务七：二元一次方程组与一次函数
活动3：课堂练习
活动4：课堂总结
活动1：知识回顾
活动2：探究新知
活动3：典例精析
任务八：用二元一次方程组求一次函数（待定系数法）
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：课前检测
活动3：探究新知
任务九：三元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：情景引入
二元一次方程组
活动2：探究新知
活动3：课堂练习
任务十：解决问题的策略
逐步确定
活动4：课堂总结
活动1：知识架构
活动2：知识梳理
活动3：典例精析
任务十一：回顾与思考
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
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