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(共34张PPT)
第五章 二元一次方程组
5.3二元一次方程组的运用（古题今算）
01
教学目标
02
知识回顾
04
古题今解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
03
古题导入
01
教学目标
会用二元一次方程组解决实际问题。
01
在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界。
02
经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。
03
02
复习旧知
1.解二元一次方程组的方法？
2.解方程组：
2x + 4y = 94
x + y = 35
3.甲数是乙数的2倍，甲数与乙数的和是12，则甲乙两数分别是多少？
03
古题导入
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国.
03
古题导入
“鸡兔同笼”题为:
今有鸡兔同笼,
上有三十五头,
下有九十四足,
问鸡兔各几何
说一说：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？
你能用小学学过的知识解决这个问题吗？
03
古题导入
假设全部是鸡，则：35×2=70，
94-70=24
4-2=2
兔子只数 24÷2=12，鸡的只数35-12=23
所以兔子12只，鸡23只。
假设全部是兔子，则：35×4=140，
140-94=46
4-2=2
鸡只数 46÷2=23，兔子只数35-23=12
所以兔子12只，鸡23只。
04
新知探究
探究一
应用二元一次方程组解古算题
等量关系：
鸡头+兔头=35,
鸡脚+兔脚=94.
足
头
总数
解：设笼中有鸡x只、兔y只
35
94
2x
x
y
4y
04
新知探究
解：设笼中有鸡x只、兔y只，根据以上分析，得方程组
x+y=35
2x+4y=94
解这个方程组，得
x=23
y=12
所以笼中有鸡23只、兔12只。
04
尝试与思考
列方程求解：
若甲从乙出得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍，若乙从甲出得到5第纳尔（货币单位），则乙拥有的第纳尔是甲的5倍，甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？（选自意大利数学家斐波那奇《计算之书》）
解：设甲原来拥有X第纳尔,乙原来拥有y第纳尔,依题意得
x+7=5（y-7）
5(x-5)=（y+5）
解得：x=8
y=10
答：甲原来有8第纳尔，乙原来有10第纳尔.
05
典例精析
例题1：今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙
余钱五倍，乙得甲十钱，适等，问甲、乙各怀钱几何？
（选自《张丘建算经》）
题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得乙的10钱，
那么甲的钱数比乙剩余钱数多5倍，如果乙得甲的10钱，那么
两人的钱数相等，问甲、乙各带了多少钱？
数量关系：甲+10=6（乙-10）
甲-10=乙+10
05
典例精析
解：设：甲带的钱数是x, 乙带的钱数是y.依题意得
x+10=6(y-10)
x-10=y+10
解得 x=38
y=18
所以甲带的钱数是38钱, 乙带的钱数是18钱.
03
典例精析
例题2：以绳测井
若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.
绳长、井深各几何？
题目大意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？
等量关系
03
典例精析
解：设绳长x尺，井深y尺，依题题意得
x
3
x
4
-y=5, ①
-y=1. ②
解得：
x=48,
y=11.
｛
答：绳长48尺，井深11尺.
03
典例精析
列方程组解古算题：
例题3、“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。牛、羊各直金几何？”
题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”。2头牛、5只羊共价值8两“金”。每头牛、每只羊各价值多少“金”？
5头牛钱＋2只羊钱＝10两
2头牛钱＋5只羊钱＝8两
等量关系
03
典例精析
解：设牛值x两，羊值y两,依题意得
5x＋2y＝10
2x+5y＝8
x=
y=
解得
答：羊值“金” 两，牛值“金” 两。
知识要点1
（1）审题，找两个等量关系；
（2）设两个未知数，
（3）根据等量关系列方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答.
列二元一次方程组解应用题的基本步骤
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．
大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．”
小马说：“我还想给你1包呢！”
大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（　　）
A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1）
C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为 .
3.用一根绳子围绕一个大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺。这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？只列方程组 .
4. 甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为
.
x+y=10
6x+8y=68
3x+4=y
4x-3=y
5x=5y+10
4x=6y
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5、古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银，不知人数不知银. 只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？
解：设人数为x人，银两为y两，依题意得
5x=y-6
6x=y+5
解得
x=11
y=61
答：人数为11人，银两为61两。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6、有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
解：树上鸽子数为x只，树下鸽子数为y只，依题意得
解得：
x=7
y=5
答：树上鸽子数为7只，树下鸽子数为5只，
y-1=(x+y)×
x-1=y+1
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何 ……”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢与布各有多少．设绢有x疋，布有y疋，依据题意可列方程组为( )
A. B. C. D.
B
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
8、已知某电脑公司有A型，B型，C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
{
解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，购 进C型电脑Z台，则可分以下三种情况考虑：
不合题意，应该舍去.
（2）只购进A型电脑和C型电脑，根据题意：
（3）只购进B型电脑和C型电脑，根据题意：
答：有两种方案供校选择，第一种方案是购进A型电脑3台 和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台.
（1）只购进A型电脑和B型电脑，根据题意：
解得
{
解得
{
{
解得
{
{
05
课堂小结
列二元一次方程组解应用题的基本步骤
（1）审题，找两个等量关系；
（2）设两个未知数，
（3）根据等量关系列方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”用你所学知识可知笼中有（ ）
A．12只鸡，23只兔 B．23只鸡，12只兔
C．15只鸡，20只兔 D．20只鸡，15只兔
2．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有数目是（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
B
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3．我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为 .
4、用卖2头牛的钱买4只羊，剩钱400；用卖3头羊的钱买1头牛，剩钱300。问每头牛或羊的价钱分别是多少？设每头牛价钱x，每头羊价钱y,依题意得 .
x=y+5
0.5x=y-5
2x=4y+400
3y=x+300
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5、有几个人一起买一件物品，每人出8元多3元；每人出7元，少4元.问有 人,该物品价值 元.
6、100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉一片瓦，有 匹大马、 匹小马.
7、如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长是 cm,宽是 cm.
7
53
25
75
60
提示：从图中可以知道长是宽的3倍
15
45
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
8.《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为 类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 .
3x+2y=11
4x+3y=26
2x+3y=23
3x+4y=37
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9、某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解:(1)设A货车x辆，B货车y辆，依题意得
解得
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨。
3x+2y=90
5x+4y=160
x=20
y=15
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解:(2)设A货车m辆，B货车n辆，依题意得
20m+15n=190 （m、n均为整数）
解得:
方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；费用：8×500+2×400=4800（元）
方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；费用：5×500+6×400=4900（元）
方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；费用：2×500+10×400=5000（元）
所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元
m= 8 m= 5 m=2
n= 2 n= 6 n=10
Thanks!
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第五章 二元一次方程组
5.3二元一次方程组的运用（古题今解）导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1、会用二元一次方程组解决古代算题的实际问题。
2、在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界
3、经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。
学习重点：能根据具体问题的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．
学习难点：用方程（组）这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程。
预习自测
一、知识回顾
1.解二元一次方程组的方法有 消元和 消元.
2.解方程组：
甲数是乙数的2倍，甲数与乙数的和是12，则甲乙两数分别是多少？
教学过程
一、创设情境、导入新课
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国.
“鸡兔同笼”题为:
今有鸡兔同笼,上有三十五头,
下有九十四足,问鸡兔各几何
说一说：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？
已知条件： .
所求问题： .
隐藏条件： .
你能用小学学过的知识解决这个问题吗？
解法一：假设全部是鸡，则：
所以兔子 只，鸡 只。
解法二：假设全部是兔子，则：
所以兔子 只，鸡 只。
解法三：设鸡有只，兔子（35-x）只，依题意得
所以兔子 只，鸡 只。
解法四：设兔子有y只，鸡（35-x）只，依题意得
所以兔子 只，鸡 只。
二、合作交流、新知探究
探究：应用二元一次方程组解古算题
今有鸡兔同笼,上有三十五头,
下有九十四足,问鸡兔各几何
等量关系： .
解：设笼中有鸡x只、兔y只，根据以上分析，得方程组
所以笼中有鸡 只、兔 只。
尝试与思考
若甲从乙出得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍，若乙从甲出得到5第纳尔（货币单位），则乙拥有的第纳尔是甲的5倍，甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？（选自意大利数学家斐波那奇《计算之书》）
解：设甲原来拥有X第纳尔,乙原来拥有y第纳尔,依题意得
答：甲原来有 第纳尔，乙原来有 第纳尔.
例题1：今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍，乙得甲十钱，适等，问甲、乙各怀钱几何？（选自《张丘建算经》）
题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余钱数多5倍，如果乙得甲的10钱，那么两人的钱数相等，问甲、乙各带了多少钱？
数量关系： .
解：设：甲带的钱数是x, 乙带的钱数是y.依题意得
所以甲带的钱数是 钱, 乙带的钱数是 钱.
例题2：以绳测井;若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？
题目大意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？
数量关系： .
解：设绳长x尺，井深y尺，依题题意得
答：绳长 尺，井深 尺.
例题3、“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。牛、羊各直金几何？”
题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”。2头牛、5只羊共价值8两“金”。每头牛、每只羊各价值多少“金”？
数量关系： .
解：设牛值x两，羊值y两,依题意得
答：羊值“金” 两，牛值“金” 两。
【强调】：列二元一次方程组解应用题的基本步骤
（1）审题，找两个等量关系；
（2）设两个未知数，
（3）根据等量关系列方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答.
三、课堂练习、巩固提高
1．根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．
大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．”
小马说：“我还想给你1包呢！”
大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（　　）
A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1） C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x
2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为 .
3.用一根绳子围绕一个大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺。这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？只列方程组 .
4. 甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为 .
5、古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银，不知人数不知银. 只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？
6、有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
能力提升：
7.《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何 ……”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢与布各有多少．设绢有x疋，布有y疋，依据题意可列方程组为( )
B. C. D.
拓展迁移：
8、已知某电脑公司有A型，B型，C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。
总结反思、拓展升华
列二元一次方程组解应用题的基本步骤：
（1）审题，找两个等量关系；
（2）设两个未知数，
（3）根据等量关系列方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答.
关键：等量关系式
五、【作业布置】
1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”用你所学知识可知笼中有（ ）
A．12只鸡，23只兔 B．23只鸡，12只兔
C．15只鸡，20只兔 D．20只鸡，15只兔
2．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有数目是（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
3．我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为 .
4、用卖2头牛的钱买4只羊，剩钱400；用卖3头羊的钱买1头牛，剩钱300。问每头牛或羊的价钱分别是多少？设每头牛价钱x，每头羊价钱y,依题意得 .
5、有几个人一起买一件物品，每人出8元多3元；每人出7元，少4元.问有 人,该物品价值 元.
6、100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉一片瓦，有 匹大马, 匹小马？
7、如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长是 cm,宽是 cm。
提示：从图中可以知道长是宽的3倍
能力提升：
《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为 类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 : .
拓展迁移：
9、某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元.
课堂作业参考答案：
B
3、
4、
5、解：设人数为x人，银两为y两，依题意得
解得
答：人数为11人，银两为61两。
6、解：树上鸽子数为x只，树下鸽子数为y只，依题意得
解得
答：树上鸽子数为7只，树下鸽子数为5只，
B
8、解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，购 进C型电脑Z台，则可分以下三种情况考虑：
（1）只购进A型电脑和B型电脑，根据题意得
不合题意，应该舍去.
（2）只购进A型电脑和C型电脑，根据题意：
（3）只购进B型电脑和C型电脑，根据题意：
答：有两种方案供校选择，第一种方案是购进A型电脑3台 和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台.
课外练习参考答案：
B
C
3、
4、
7； 53
15； 75
15； 45 （提示：从图中可以知道长是宽的3倍）
9、解:(1)设A货车x辆，B货车y辆，依题意得
解得
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨。
解:(2)设A货车m辆，B货车n辆，依题意得
20m+15n=190 （m、n均为整数）
解得:
方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；费用：8×500+2×400=4800（元）
方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；费用：5×500+6×400=4900（元）
方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；费用：2×500+10×400=5000（元）
所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大（2024） 册、章 上册第五章
课标要求 二元一次方程组》是初中数学“数与代数”领域的核心内容，是学生从“一元”向“多元”思维过渡的关键节点，也是后续学习一次函数、线性规划及其他高阶数学知识的重要基础。根据2022版新课标，对《二元一次方程组》的内容要求、学业质量要求可以归纳为以下几点：一、内容要求理解概念： 理解二元一次方程及其解的概念，掌握解法： 掌握二元一次方程组代入消元法（简称“代入法”）和加减消元法（简称“加减法”）*二元一次方程组两种基本解法。思想本质： 理解“消元”是解二元一次方程组的基本思想，即将“二元”问题转化为“一元”问题来解决，体会**化归（转化）**的数学思想。灵活运用： 能根据方程组的特点，选择恰当的、简便的方法求解。应用建模：能根据具体问题中的数量关系，设出两个未知数，列出二元一次方程组，建立数学模型。解决问题： 能通过解所列的方程组，得到实际问题的答案，并根据问题的实际意义检验结果的合理性。问题类型： 能解决包括行程问题、工程问题、配套问题、利润问题、分配问题等在内的各类应用题。二、 学业质量要求（核心素养体现）新课标强调核心素养的落实。本章学习主要体现以下核心素养：运算能力：学生需要完成“实际问题 → 数学模型（方程组）→ 求解模型 → 解释实际结果”的完整建模过程。推理意识： 知道“为什么可以这样解”，而不是死记硬背解题步骤。应用意识： 主动运用所学知识解决生活中的问题，感受数学“有用、有趣”。
内容分析 二元一次方程组是中学数学的重要内容，它是数学解决问题的基本工具，是刻画现实世界的一个最有效的数学模型和重要手段，是一元一次方程的继续和发展，也是学习线性方程和平面几何的基础，同时与一次函数存在密切的联系。它也是学习数学乃至无理化学和其他学科的重要基础。把握好本章学习，有利于激发学生的自主创新、积极探索的热情，培养学生分析问题解决问题的能力。本章教学内容分为三大块;从问题到方程组。选择含有两个未知量的情景，引出二元一次方程组，展现二元一次方程组是刻画现实世界的有效的数学模型，让学生体会数学来源于生活有服务于生活。解方程组，通过学生尝试、比较、探索等方法发现解二元一次方程组的方法（代入法、消元法），体会转化思想。用方程组解决问题，设置具有一定挑战性的问题和思考下的现实问题，用二元一次方程组解决这些丰富多彩具有现实意义的实际问题，既培养学生的方程组的数学模型思想，有培养学生的自主探究解决问题的能力。
学情分析 学生学习了一元一次方程的解法，初步感受了方程的模型思想，积累了用方程解决实际问题的经验。在此基础上，学生进一步研究二元一次方程组的概念、解法和运用。引导学生从熟悉的一元一次方程入手，探究二元一次方程组的概念个解法以及用二元一次方程组解决实际问题，使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数解决问题的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
单元目标 教学目标1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识二元二次方程(组)及其有关概念。2、根据转化思想，抓住“消元”这一基本策略，熟练掌握二元二次方程组的基本解法：代入消元法和加减消元法。3、经历分析和解决问题的过程，体会二元二次方程(组)的教学模型作用，进一步提高运用方程(组)解决实际问题的基本能力。（二）教学重点、难点重点：1、二元一次方程组的两种解法（代入法和加减法）。 这是本章的“工具”，必须让学生熟练掌握。2、列二元一次方程组解应用题。 这是本章的“灵魂”，是数学知识应用于实践的最终体现。难点：1、“消元”思想的理解。 学生容易机械地模仿解题步骤，但难以理解为什么要“消元”以及“消元”的本质是“转化”。2、应用题中“等量关系”的寻找与建立。 这是学生普遍感到困难的地方。当问题涉及两个未知数和多个等量关系时，学生往往不知如何下手，或者找错等量关系。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数501认识二元一次方程组1502二元一次方程组的解法（代入消元）1503二元一次方程组的解法（加减消元）1504二元一次方程组的应用（古题今解）1505二元一次方程组的应用（增收节支）1506二元一次方程组的应用（行程问题）1507二元一次方程组与一次函数1508用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1509三元一次方程组1510解决问题的策略 逐步确定1511回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识二元一次方程组1、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。2、通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。3、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。1、完成课前练习题。2、思考情景中问题。3、学生独立对问题1、2列出相应的方程,通过观察、比较，小组活动得出二元一次方程的含义4、完成做一做，5、类比出二元一次方程组的概念，6、完成做一做。7、探究二元一次方程的解的含义8、完成做一做，9、类比出二元一次方程组的解10、完成做一做11、完成课堂练习12、引导学生课堂总结。环节一：课前检测环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结二元一次方程组的解法（代入消元）1、使学生掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤，学会用代入消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，转化的思想。 3、培养学生探索、观察、分析化归获得数学思想的能力；培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的能力，培养学生学会与他人合作，与人交流思维过程的习惯。 1、回顾知识，唤醒记忆。2、根据情景，学生列出二元一次方程组，3、利用两种方法解二元一次方程组，并验证答案的正确性，4、学生自学例题1并对例题1、2写出检验过程。5、根据“变、代、求、写”的步骤，说一说。5、小组讨论归纳总结出代入消元法。6、拓展提高学习整体代入法。7、学生完成课堂练习。8、课堂总结环节一：知识回顾环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的解法（加减消元）1、使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤，会用加减消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，化归的思想。 3、培养学生学会自主探索，与他人合作， 与人交流思维过程的习惯。1、学生回顾知识。2、尝试用多种方法解二元一次方程。3、观察方程组系数的特点，尝试用加减消元法解二元一次方程组。4、自学例题3，发现未知数的系数相同，直接用加减消元法解二元一次方程组。5、自学例题4，学生小组讨论；当未知数的系数不相等时怎样变成未知数系数的绝对值相等？变换根据是什么？如何使用加法或减法消元。6、判断解方程组过程中的错误，并改正。7、完成课堂练习。8、学生课堂总结。环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的应用（古题今解）1、会用二元一次方程组解决古代算题的实际问题。2、在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界3、经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。1、思考解二元一次方程组的两种基本方法并完成习题2、3。2、回顾小学解决鸡兔同笼的几种方法，并选择你喜欢的方法解答。3、通过小组交流合作,同学之间相互提问、相互补充,用二元一次方程解决鸡兔同笼问题，并由两名学生代表板书解析过程，通过互相评价激发学生学习热情.4、尝试用二元一次方程解古题。5、通过交流合作，学习经典的3个例题，学生参与、讨论、质疑、补充.学生代表板书解析过程，学生评价，相互学习相互促进6、学生完成课堂练习。7、课堂总结环节一：知识回顾环节二：古题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的运用（增收节支）1．会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组。2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力。3．通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性。1、回顾知识，正确写出公式；2、让学生独立完成3个问题。3、分析题中的数量关系填写表格4、题目中有哪些等量关系？5、写出解方程的过程.6、先读题，找出题目中的关键语句（独立完成）7、小组合作：在关键语句中找到3个相关量、2个研究对象建立表格8、尝试用表格的方法分析和解答问题，体验和巩固用表格分析问题的方法。9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组的运用（行程问题）1、用二元一次方程式组解决有关数字问题、行程问题，会用线段图分析数量关系，找到题中的等量关系式。2、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。3、让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。1、完成预习题，从而激发兴趣，进入新课。2、分析题意，完成表格和填空3、找出等量关系。4、试着用方程解决问题.5、弄清题意画线段图分析例题1和2，找出等量关系。6、试着用方程解决问题。7、小组讨论总结、归纳列方程解决问题的一般步骤。8、分析数字问题位置互换后的表示方法，利用数量关系列方程求解9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组与一次函数1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力.3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣.1、回顾知识，完成习题。2、探究一，小组交流讨论4个问题。3、探究小结；x+y=5是二元一次方程，变形成y=-x+5称为一次函数。函数图像上的点都是二元一次方程的解。5、两点法作出一次函数的图像，6、小组交流；方程组的解和相应的两个函数图象的交点坐标有什么关系 7、探究小结：方程组的解就是两直线的交点坐标；8、探究两直线平行于方程组解的关系。9、探究小结：当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元一次方程组有一组解.当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此时对应的二元一次方程组无解.当k1=k2 b1=b2时，两直线重合，无数个交点，此时对应的二元一次方程组无数个解.10、完成课堂作业11、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结。用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1、掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点。2、进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。3、通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。独立完成求解析式。用图像解方程组。理解方程组与一次函数之间的关系。根据情景分析题中的已知条件和所求问题。分析讨论三种解法的优点和缺陷。学生用待定系数法求出一次函数的表达式并归纳待定系数法的方法和步骤。6、完成课堂作业7、引导学生进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结。三元一次方程组1、了解三元一次方程组的概念.会用消元法把“三元”化为“二元”、进而化为“一元”的思想来解三元一次方程组.能根据三元一次方程组的具体特点选择适当的解法.2、通过类比、化归、合作讨论等思想方法，让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法.3、让学生感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.1、问题抢答，激发兴趣。2、完成课前检测。3、根据等量关系列三元一次方程组。4、根据二元一次方程组的概念类比出三元一次方程组的概念5、教师指导解三元一次方程组。6、小组交流讨论例题2、3.方程组的解法。7、小组归纳三元一次方程组的解法及消元时注意的问题。8、完成课堂作业9、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结解决问题的策略 逐步确定1.能从具体问题中抽象出多个限制条件，通过“逐步确定”策略推导符合所有条件的解，培养逻辑推理能力。2.学会将实际问题（如购物选择、物品数量求解）转化为数学条件，立解决问题的模型，提升用数学解决实际问题的能力。3.在逐步筛选符合条件的数值（如《孙子算经》问题）过程中，锻炼基本运算和数值分析能力。4.通过处理多组条件（如密码组合、路径选择），学会有序分析和整合信息，培养综合应用知识的素养。思考问题小组交流：按问题理解；拟定计划；实施计划；回顾与反思四个过程探究问题解决策略：逐步确定。3、完成课堂作业4、引导学生进行课堂总结环节一：情境引入环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结回顾与思考1、梳理本章知识，建立知识体系，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型； 2、通过解二元一次方程组，熟练其解法，体会 “化未知为已知”的化归思想；3、通过问题的解决，提高学生运用数学的能力，促进良好的学习方法和习惯的养成1、展示课前布置的思维导入，说明制作本图的亮点。2、学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系。3、小组交流合作完成5个例题的学习。4、完成课堂作业5、引导学生进行课堂总结。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结
《二元一次方程组》单元教学设计
活动1：复习旧知
活动2：情景导入
活动3：探究新知
任务一：认识二元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：问题导入
活动3：探究新知
任务二：解二元一次方程组（代入消元）
活动4：典例精析
二元一次方程组
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：课前检测
活动3：探究新知
活动4：典例精析
任务三：解二元一次方程组（加减消元）
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：古题导入
任务四：二元一次方程组的应用（古题今解）
活动3：探究新知
活动4：典例精析
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：预习交流
活动2：情境导入
任务五：二元一次方程组的应用（增收节支）支 ）
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：预习交流
二元一次方程组
任务六：二元一次方程组的应用（行程问题）
活动2：情境导入
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：探究新知
任务七：二元一次方程组与一次函数
活动3：课堂练习
活动4：课堂总结
活动1：知识回顾
活动2：探究新知
活动3：典例精析
任务八：用二元一次方程组求一次函数（待定系数法）
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：课前检测
活动3：探究新知
任务九：三元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：情景引入
二元一次方程组
活动2：探究新知
活动3：课堂练习
任务十：解决问题的策略
逐步确定
活动4：课堂总结
活动1：知识架构
活动2：知识梳理
活动3：典例精析
任务十一：回顾与思考
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
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