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(共33张PPT)
第五章 二元一次方程组
5.3二元一次方程组的运用（增收节支）
01
教学目标
02
预习交流
03
情境引入
04
探究新知
06
课堂小结
07
作业布置
05
课堂作业
01
教学目标
会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组。
01
让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力。
02
通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性。
03
02
预习交流
1、利息、本金、利率之间的关系
2、某人按定期一年存入银行10000元，若年利率为2.25%，则一年后可得利息_______元；本息和为_________元（不考虑利息税）.
利息=本金×利率×期数， 本息=本金+利息
225
10225
3、利润、利润率公式。
利润=进价×利润率=售价-进价
03
预习交流
4、某商品进价为2000元，卖出后可获利50%，则利润为 元，该商品的售价为 元。
1000
3000
5、增长率公式
增长率=增长数÷原来量=增长后数量÷增长前数量-1
6、某人去年每个月的工资是6000元，今年比去年增长了10%，则今年的工资为 元。如果要扣除5%的税，则还剩 元。
6600
6270
03
情境导入
某公司去年的利润（总收入—总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？
分 析：
设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年
(1+20%)x
(1-10%)y
780
03
情境导入
关键:找出等量关系.
去年的总收入—去年的总支出=200万元，
今年的总收入—今年的总支出=780万元 ．
解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，依题意得
整理得 解得
答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元.
03
新知探究
探究一
二元一次方程组的应用（增收节支）
例1: 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要
分析:设每餐甲、乙原料各x，y克. 则有下表:
甲原料x克 乙原料y克 所配的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5x
0.7y
35
x
0.4y
40
03
新知讲解
想一想：等量关系是什么？
甲原料蛋白质含量+乙原料蛋白质含量=蛋白质总含量
甲原料铁质含量+乙原料铁含量=铁质总含量．
解:设每餐甲、乙原料各x克，y克.依题意得
化简得
解得：
答：每餐需甲原料28克、乙原料30克.
03
新知讲解
例题2：有甲乙两种溶液,甲种溶液由酒精1升,水3升配制而成;乙种溶液由酒精3升,水2升配制而成.现要配制浓度为50%的酒精溶液7升,甲乙两种溶液应各取几升
若设甲种溶液需x升,乙种溶液需y升
溶液(升) 浓度 酒精含量(升)
配制前 甲溶液
乙溶液
配制后
x
25%
25% x
y
60%
60% y
7
50%
50%×7
甲种溶液的浓度是 1÷(1+3)=25%
乙种溶液的浓度是 3÷(3+2)=60%
03
新知讲解
解：设甲种溶液需x升,乙种溶液需y升，依题意得：
x + y=7
25%X + 60%y=50%×7
化简得: 解得：
x + y=7
5x + 12y=70
y =5
x=2
答:甲种溶液需2升,乙种溶液需5升
等量关系式：甲溶液升数+乙溶液升数=配制溶液总升数。
甲溶液酒精含量+乙溶液酒精含量=配制后酒精的含量
知识要点1
1·审题 (找等量关系）
2·设未知数
3·列方程
4·解方程
5·检验·作答
列方程解应用题步骤
1．二元一次方程组解决增收节支问题的过程
　　　　 分析　　　　　　求解
　　问题　　　　方程（组）　　　解答
　　　　　抽象　　　　　　检验
2．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．
知识要点2
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.学校去年有学生３１００名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少了2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名 设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,列方程组得：
x+y=3100
(1+6%)x+(1-2%)y=3100×（1+4%）
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
x+y=100
87.5%x+75y=100×81%
2、一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%。如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班的达标率为75%，那么一、二两班的学生数各是多少 设一班学生有x名、二班学生有y名，列出方程组
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
x+y=3000
10%x+11%y=3150
3、某公司用30000元购进甲乙两种货物.货物卖出后,甲种货物获利10%,乙种货物获利11%,共得利润3150元,问两种货物各进多少钱的货 设甲种货物进x元的货,乙种货物进 y元的货.列出方程组：
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4、在新玛特、百货大楼同款的mp3的单价相同，书包单价也相同，mp3和书包单价之和是452元，且mp3的单价比书包单价的4倍少8元，你能算出mp3和书包单价各是多少元吗？
解：设mp3的单价为x元，书包的单价为y元。
由题意得
解得，
答：mp3的单价为360元，书包的单价为92元。
x+y=452
x=4y-8
x=360
y=92
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.已知A、B两件服装的成本共500元，大不同服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A、B两件服装的成本各是多少元？
解：设A服装的成本为x元，B服装的成本为y元。
由题意得
解得，
答：A、B两件服装的成本分别为300元，200元。
x+y=500
30%x+20%y=130
x=300
y=200
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每枝钢笔5元，那么小明最多能买________枝钢笔．
7．为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品每种体育用品都购买，其中甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去150元，请你设计一下，共有______种购买方案
13
两
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
8．甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380
9．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少元若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则（ ）
A．x=15,y=20 Bx=12,y=23． Cx=20,y=15． Dx=23,y=12．
A
A
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
10.一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数(辆) 2 5
乙种货车辆数(辆) 3 6
运货总吨数(吨) 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车，一次刚好运完这批货．已知每吨需付运费30元，问货主应付运费多少元？
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：设甲种货车每辆装x吨，乙种货车每辆装y吨，根据
题意得:
解得
所以 30 ×（3x+5y)=30×(3×4+5×2.5）=735（元）
答：货主应付运费735元。
2x+3y=15.5
5x+6y=35
x=4
y=2.5
05
课堂小结
1．二元一次方程组解决增收节支问题的过程：
　　　　 分析　　　　　　求解
　　问题　　　　方程（组）　　　解答
　　　　　抽象　　　　　　检验
2．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有（　）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
2．某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
3．某船顺流航行的速度为a，逆流航行的速度为b，则水流速度为（ ）
A． B． C ．a-b D．以上都不对
A
B
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4.用含糖分别为35%和40%的两种糖水混合,配制成含糖36%的糖水50千克,每种糖水应各取多少千克 设应取35%的糖水x千克,40%的糖水Y千克.列出方程组。
5.甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行,如甲比乙先走2时,那么他们在乙出发2.5时后相遇;如果乙比甲先走2时,那么他们在甲出发3时后相遇,甲、乙两人每时各走多少千米 设甲、乙两人每时分别行走x千米,y千米。列出方程组
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少元若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则（ ）
A．x=15,y=20; B. x=12,y=23; C.x=20,y=15 ; D.x=23,y=12
7．甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380
A
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8.李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，求李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需多少分钟.
解：设李师傅加工1个甲种零件需要x分钟，加工1个乙种零件需要y分钟.
依题意得，
由 ①+②得；7x+14y=140
所以 x+2y=20 ，则.2x+4y=40
答：李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟
3x+5y=55 ①
4x+9y=85 ②
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
9．甲、乙两件服装的进价共500元，商店老板将甲种服装按的利润的50%定价，乙种服装按的利润的40%定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按九折出售，这样商店老板共获利157元．求甲、乙两件服装的进价各是多少元？
解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，
根据题意可得： ，
解得： ．
答：甲服装的进价是300元，乙服装的进价是200元．
x+y=5500 ①
（50%x+40%y）×90%=157 ②
x=300
y=200
06
作业布置
【综合拓展类作业】
10．疫情期间，为最大程度地减少人员接触，减少病毒的传播，武汉市某医院计划购买A，B两种型号的机器人，协助医护人员进行送餐和消毒工作，已知购买A型机器人2个和B型机器人3个共需16万元，购买A型机器人3个和B型机器人2个共需14万元．
(1)求A，B两种机器人的单价；
(2)医院准备购买A，B两种机器人共30个，并且A型机器人的数量不多于B型机器人数量的2倍，请设计最省钱的购买方案，并说明理由．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)设A种机器人的单价是X万元，B种机器人的单价是y万元，
根据题意得
解得：
∴A型机器人的单价是2万元，B型机器人的单价是4万元；
2x+3y=16
3x+2y=14
x=2
y=4
06
作业布置
【综合拓展类作业】
(2)设购买A型机器人m个，总费用为W万元，
依题意得w=2m+4(30-m)=-2m+120，
∵ -2＜0
∴当m取最大值时，w有最小值，
又∵m 2(30-m)
m 20
∴当m=20时，w=-2×20+120=80
此时，30-20=10．
故最省钱的购买方案是购进20个A型机器人，10个B型机器人．

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北师大版（2024）第五章《二元一次方程组》5.3二元一次方程组的运用（增收节支）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 五
课题 二元一次方程组的运用（增收节支） 课时 1
课标要求 二元一次方程组的运用（增收节支）其核心是通过具体载体，引导学生经历“数学化”的全程，即从现实世界到数学世界的抽象建模，再回到现实世界的解释与运用。最终目标是让学生建立模式观念，增强运用意识，提升解决问题的能力，真正体会数学的运用价值和数学魅力。
教材分析 增收节支是北师大版八年级数学上册第五章第3节内容。本节通过解决现实生活的实际问题中有关经济方面来学习二元一次方程组。学会对具体情景的数学信息作出正确的判断和解释，能够运用列表的方法来分析数量之间的关系，有效的解决问题。本节教学内容是“鸡兔同笼”后又一节列方程解决实际问题，两者的侧重点不同，前者是让学生初步学会列二元一次方程组来解决比较有趣的古算题，等量关系比较简单，而本节课的教学重点是如何运用表格的方法来分析数量之间的关系。
学情分析 从学生的年龄和认知特征来看:八年级的学生思维比较活跃,接触事物的能力较强,并且已经具备了合作意识和数学应用意识。从学生已具备的知识和技能来看:前面学生已学习了二元一次方程和二元一次方程组,学习了列二元一次方程组解应用题的一部分内容,能正确地分析和理解题意,寻求题中的各种数量关系,具备了继续学习本节内容的知识和能力，且在七年级下册也学习了应用一元一次方程---希望工程义演,在此基础上学习本节内容,学生已经具备了学好本节内容的条件。
核心素养目标 1．会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组。2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力。3．通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性。
教学重点 能获取文字信息，利用表格分析解决较复杂的数量关系，建立等量关系
教学难点 借助图表分析问题中的数量关系,掌握列二元一次方程组解决简单的实际问题的方法。
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、预习交流 1、利息、本金、利率之间的关系【利息=本金×利率×期数， 本息=本金+利息】2、某人按定期一年存入银行10000元，若年利率为2.25%，则一年后可得利息 225 元；本息和为 10225元（不考虑利息税）.3、利润、利润率公式。【利润=进价×利润率=售价-进价】某商品进价为2000元，卖出后可获利50%，则利润为 1000元，该商品的售价为 3000 元。3、增长率公式【增长率=增长数÷原来量=增长后数量÷增长前数量-1】1、某人去年每个月的工资是6000元，今年比去年增长了10%，则今年的工资为6600元。如果要扣除5%的税，则还剩 6270元。 回顾知识，正确写出公式；2、让学生独立完成3个问题 教师要适当的给与肯定和鼓励,如果回答错误要及时纠正。对于三个问题的设计,减少了学生分析实际问题的难度。便于学生得到正确的结果,
二、情境引入 例: 某公司去年的利润（总收入—总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？ 分 析：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有总产值/万元总支出/万元利润/万元去年xy200今年(1+20%)x(1-10%)y780 关键:找出等量关系.解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，依题意得 解得答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元. 分析题中的数量关系填写表格题目中有哪些等量关系？3、写出解方程的过程 沿用书中的引例，紧扣课题，一方面这道题能够凸显利用表格分析问题的优点，另一方面有意识利用这道题很自然的在分析问题时渗透并生成表格;并借助问题串指导学生独立思考、尝试分析。
三、探究新知 例 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要 分析:设每餐甲、乙原料各x，y克. 则有下表:甲原料x克甲原料x克所配营养品蛋白质含量0.5x0.7y35铁质含量x0.4y40想一想：等量关系是什么？(1)甲原料蛋白质含量+乙原料蛋白质含量=蛋白质总含量(2)甲原料铁质含量+乙原料铁含量=铁质总含量．解:设每餐甲、乙原料各x克，y克.依题意得 化简得解得：答：每餐需甲原料28克、乙原料30克.例题2：有甲乙两种溶液,甲种溶液由酒精1升,水3升配制而成;乙种溶液由酒精3升,水2升配制而成.现要配制浓度为50%的酒精溶液7升,甲乙两种溶液应各取几升 甲种溶液的浓度是 1÷(1+3)=25%乙种溶液的浓度是 3÷(3+2)=60%若设甲种溶液需x升,乙种溶液需y升溶液(升)浓度酒精含量(升)配制前甲溶液x25%25%x乙溶液y60%60%y配制后750%7×50%等量关系式：（1）甲溶液升数+乙溶液升数=配制溶液总升数。（2）甲溶液酒精含量+乙溶液酒精含量=配制后酒精的含量解：设甲种溶液需x升,乙种溶液需y升，依题意得：化简得解得答:甲种溶液需2升,乙种溶液需5升探究小结：一、列方程解应用题步骤1·审题 (找等量关系）2·设未知数 3·列方程 4·解方程 5·检验·作答二、二元一次方程组解决增收节支问题的思维过程问题 方程（组） 解答三、要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用． 先读题，找出题目中的关键语句（独立完成）小组合作：在关键语句中找到3个相关量、2个研究对象建立表格尝试用表格的方法分析和解答问题，体验和巩固用表格分析问题的方法。总结分享 通过例题想让学生由感知表格到认知表格的过程，再次体验用表格分析问题的方法及一般步骤，先让学生尝试利用表格分析问题，再由教师根据课堂效果及时点拨、引导、师生共同借助表格分析问题，在此基础上教师明晰用表格分析问题的方法。本环节建立表格是本节课的难点，学生还分不清楚相关量与研究对象，教师组织学生小组合作完成任务，教师在巡视过程中要指导学生通过找关键词即已知量与未知量的方法建立表格。
四、巩固练习 基础达标：1.学校去年有学生３１００名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少了2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名 设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,列方程组得：2、一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%。如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班的达标率为75%，那么一、二两班的学生数各是多少 设一班学生有x名、二班学生有y名，列出方程组得：3、某公司用30000元购进甲乙两种货物.货物卖出后,甲种货物获利10%,乙种货物获利11%,共得利润3150元,问两种货物各进多少钱的货 设甲种货物进x元的货,乙种货物进 y元的货.列出方程组：4、在新玛特、百货大楼同款的mp3的单价相同，书包单价也相同，mp3和书包单价之和是452元，且mp3的单价比书包单价的4倍少8元，你能算出mp3和书包单价各是多少元吗？解：设mp3的单价为x元，书包的单价为y元。由题意得 解得，答：mp3的单价为360元，书包的单价为92元。5.已知A、B两件服装的成本共500元，大不同服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A、B两件服装的成本各是多少元？解：设A服装的成本为x元，B服装的成本为y元。由题意得 解得，答：A、B两件服装的成本分别为300元，200元。6．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每枝钢笔5元，那么小明最多能买 13 枝钢笔．7．为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品每种体育用品都购买，其中甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去150元，请你设计一下，共有 两 种购买方案能力提升：8．甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ A ）A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，3809．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少元若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则（ A ）A．x=15,y=20 Bx=12,y=23． Cx=20,y=15． Dx=23,y=12．拓展迁移一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：第一次第二次甲种货车辆数(辆)25乙种货车辆数(辆)36运货总吨数(吨)15.535现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车，一次刚好运完这批货．已知每吨需付运费30元，问货主应付运费多少元？解：设甲种货车每辆装x吨，乙种货车每辆装y吨，根据题意得: 解得所以 30 ×（3x+5y)=30×(3×4+5×2.5）=735（元）答：货主应付运费735元。 完成课堂作业 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
五、课堂总结 一、列方程解应用题步骤1·审题 (找等量关系）2·设未知数 3·列方程 4·解方程 5·检验·作答二、二元一次方程组解决增收节支问题的思维过程问题 方程（组） 解答三|、要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用． 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 用二元一次方程组解决实际问题（ 增收节支）问题 方程（组） 解答关键：1、表格分析数量关系2、等量关系式 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有（A　）A．6种 B．7种 C．8种 D．9种2．某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（　B　）A．4种 B．3种 C．2种 D．1种3．某船顺流航行的速度为a，逆流航行的速度为b，则水流速度为（ B ）A． B． C ．a-b D．以上都不对4.用含糖分别为35%和40%的两种糖水混合,配制成含糖36%的糖水50千克,每种糖水应各取多少千克 设应取35%的糖水x千克,40%的糖水Y千克.列出方程组:5.甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行,如甲比乙先走2时,那么他们在乙出发2.5时后相遇;如果乙比甲先走2时,那么他们在甲出发3时后相遇,甲、乙两人每时各走多少千米 设甲、乙两人每时分别行走x千米,y千米。列出方程组;6．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少元若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则（ A ）A．x=15,y=20; B. x=12,y=23; C.x=20,y=15 ; D.x=23,y=127．甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ A ）A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380能力提升：8.李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，求李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需多少分钟.解：设李师傅加工1个甲种零件需要x分钟，加工1个乙种零件需要y分钟.依题意得，由 ①+②得；7x+14y=140所以 x+2y=20，则.2x+4y=40答：李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟.9.甲、乙两件服装的进价共500元，商店老板将甲种服装按的利润的50%定价，乙种服装按的利润的40%定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按九折出售，这样商店老板共获利157元．求甲、乙两件服装的进价各是多少元？解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，根据题意可得： 解得： ．答：甲服装的进价是300元，乙服装的进价是200元．拓展迁移：10．疫情期间，为最大程度地减少人员接触，减少病毒的传播，武汉市某医院计划购买A，B两种型号的机器人，协助医护人员进行送餐和消毒工作，已知购买A型机器人2个和B型机器人3个共需16万元，购买A型机器人3个和B型机器人2个共需14万元． (1)求A，B两种机器人的单价；(2)医院准备购买A，B两种机器人共30个，并且A型机器人的数量不多于B型机器人数量的2倍，请设计最省钱的购买方案，并说明理由解：(1)设A种机器人的单价是X万元，B种机器人的单价是y万元，根据题意得解得：∴A型机器人的单价是2万元，B型机器人的单价是4万元；(2)设购买A型机器人m个，总费用为W万元，依题意得w=2m+4(30-m)=-2m+120，∵ -2＜0∴当m取最大值时，w有最小值， 又∵m 2(30-m)m 20∴当m=20时，w=-2×20+120=80此时，30-20=10．故最省钱的购买方案是购进20个A型机器人，10个B型机器人．
教学反思
去年的总收入—去年的总支出=200万元，
今年的总收入—今年的总支出=780万元 ．
x + y=7
25%X + 60%y=50%×7
x+y=7
5x+12y=70
x=5
y=2
求解、检验
分析、抽象
x+y=3100
(1+6%)x+(1-2%)y=3100×（1+4%）
x+y=100
87.5%x+75y=100×81%
x+y=3000
10%x+11%y=3150
x+y=452
x=4y-8
x=360
y=92
x+y=500
30%x+20%y=130
x=300
y=200
2x+3y=15.5
5x+6y=35
x=4
y=2.5
求解、检验
分析、抽象
求解、检验
分析、抽象
3x+5y=55 ①
4x+9y=85 ②
x+y=5500 ①
（50%x+40%y）×90%=157 ②
x=300
y=200
2x+3y=16
3x+2y=14
x=2
y=4
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第五章 二元一次方程组
5.1二元一次方程组的应用（增收节支）导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1．会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组。
2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力。
3．通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性。
学习重点：能获取文字信息，利用表格分析解决较复杂的数量关系，建立等量关系
学习难点：借助图表分析问题中的数量关系,掌握列二元一次方程组解决简单的实际问题的方法。
预习自测
预习交流
1、利息、本金、利率之间的关系 .
2、某人按定期一年存入银行10000元，若年利率为2.25%，则一年后可得利息 元；本息和为 元（不考虑利息税）.
3、利润、利润率公式 .
某商品进价为2000元，卖出后可获利50%，则利润为 元，该商品的售价为 元。
3、增长率公式 .
1、某人去年每个月的工资是6000元，今年比去年增长了10%，则今年的工资为 元。如果要扣除5%的税，则还剩 元。
教学过程
一、创设情境、导入新课
例: 某公司去年的利润（总收入—总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？
分析：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，填写下表
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
今年
关键:找出等量关系. ； 。
解设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，依题意得
解得
答：去年的总收入为 万元，总支出为 万元
合作交流、新知探究
例 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要
分析:设每餐甲、乙原料各x，y克. 填写下表
甲原料x克 甲原料x克 所配营养品
蛋白质含量
铁质含量
想一想：等量关系是什么？
；
．
解:设每餐甲、乙原料各x克，y克.依题意得
化简得
解得：
答：每餐需甲原料 克、乙原料 克.
例题2：有甲乙两种溶液,甲种溶液由酒精1升,水3升配制而成;乙种溶液由酒精3升,水2升配制而成.现要配制浓度为50%的酒精溶液7升,甲乙两种溶液应各取几升
分析：甲种溶液的浓度是 ；
乙种溶液的浓度是 。
若设甲种溶液需x升,乙种溶液需y升，填写下表
溶液(升) 浓度 酒精含量(升)
配制前 甲溶液
乙溶液
配制后
等量关系式：（1） .
.
解：设甲种溶液需x升,乙种溶液需y升，依题意得：
化简得
解得
答:甲种溶液需 升,乙种溶液需 升.
【强调】：
一、列方程解应用题步骤
1·审题 (找等量关系）
2·设未知数
3·列方程
4·解方程
5·检验·作答
二、二元一次方程组解决增收节支问题的思维过程
问题 方程（组） 解答
要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.学校去年有学生３１００名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少了2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名 设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,列方程组得：
2、一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%。如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班的达标率为75%，那么一、二两班的学生数各是多少 设一班学生有x名、二班学生有y名，列出方程组得：
3、某公司用30000元购进甲乙两种货物.货物卖出后,甲种货物获利10%,乙种货物获利11%,共得利润3150元,问两种货物各进多少钱的货 设甲种货物进x元的货,乙种货物进 y元的货.列出方程组：
在新玛特、百货大楼同款的mp3的单价相同，书包单价也相同，mp3和书包单价之和是452元，且mp3的单价比书包单价的4倍少8元，你能算出mp3和书包单价各是多少元吗？
5.已知A、B两件服装的成本共500元，大不同服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A、B两件服装的成本各是多少元？
6．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每枝钢笔5元，那么小明最多能买 枝钢笔．
7．为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品每种体育用品都购买，其中甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去150元，请你设计一下，共有 种购买方案
能力提升：
8．甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380
9．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少元若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则（ ）
A．x=15,y=20 Bx=12,y=23． Cx=20,y=15． Dx=23,y=12．
拓展迁移
一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数(辆) 2 5
乙种货车辆数(辆) 3 6
运货总吨数(吨) 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车，一次刚好运完这批货．已知每吨需付运费30元，问货主应付运费多少元？
总结反思、拓展升华
一、列方程解应用题步骤
1·审题 (找等量关系）
2·设未知数
3·列方程
4·解方程
5·检验·作答
二、二元一次方程组解决增收节支问题的思维过程
问题 方程（组） 解答
三|、要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．
五、【作业布置】
基础达标：
1．将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有（　）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
2．某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
3．某船顺流航行的速度为a，逆流航行的速度为b，则水流速度为（ ）
A． B． C ．a-b D．以上都不对
4.用含糖分别为35%和40%的两种糖水混合,配制成含糖36%的糖水50千克,每种糖水应各取多少千克 设应取35%的糖水x千克,40%的糖水Y千克.列出方程组:
5.甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行,如甲比乙先走2时,那么他们在乙出发2.5时后相遇;如果乙比甲先走2时,那么他们在甲出发3时后相遇,甲、乙两人每时各走多少千米 设甲、乙两人每时分别行走x千米,y千米。列出方程组;
6．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少元若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则（ ）
A．x=15,y=20; B. x=12,y=23; C.x=20,y=15 ; D.x=23,y=12
7．甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380
能力提升：
8.李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，求李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需多少分钟.
9.甲、乙两件服装的进价共500元，商店老板将甲种服装按的利润的50%定价，乙种服装按的利润的40%定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按九折出售，这样商店老板共获利157元．求甲、乙两件服装的进价各是多少元？
拓展迁移：
10．疫情期间，为最大程度地减少人员接触，减少病毒的传播，武汉市某医院计划购买A，B两种型号的机器人，协助医护人员进行送餐和消毒工作，已知购买A型机器人2个和B型机器人3个共需16万元，购买A型机器人3个和B型机器人2个共需14万元．
(1)求A，B两种机器人的单价；
(2)医院准备购买A，B两种机器人共30个，并且A型机器人的数量不多于B型机器人数量的2倍，请设计最省钱的购买方案，并说明理由
课堂练习参考答案：
1、
2、
3、
4、解：设mp3的单价为x元，书包的单价为y元。
由题意得
解得，
答：mp3的单价为360元，书包的单价为92元。
5、解：设A服装的成本为x元，B服装的成本为y元。
由题意得
解得，
答：A、B两件服装的成本分别为300元，200元。
6、13
两
A
A
10、解：设甲种货车每辆装x吨，乙种货车每辆装y吨，根据题意得:
解得
所以 30 ×（3x+5y)=30×(3×4+5×2.5）=735（元）
答：货主应付运费735元。
课外作业参考答案：
A
B
B
A
A
8、解：设李师傅加工1个甲种零件需要x分钟，加工1个乙种零件需要y分钟.
依题意得，
由 ①+②得；7x+14y=140
所以 x+2y=20，则.2x+4y=40
答：李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟.
9、解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，
根据题意可得：
解得： ．
答：甲服装的进价是300元，乙服装的进价是200元．
10、解：(1)设A种机器人的单价是X万元，B种机器人的单价是y万元，
根据题意得
解得：
∴A型机器人的单价是2万元，B型机器人的单价是4万元；
(2)设购买A型机器人m个，总费用为W万元，
依题意得w=2m+4(30-m)=-2m+120，
∵ -2＜0
∴当m取最大值时，w有最小值，
又∵m 2(30-m)
m 20
∴当m=20时，w=-2×20+120=80
此时，30-20=10．
故最省钱的购买方案是购进20个A型机器人，10个B型机器人
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大（2024） 册、章 上册第五章
课标要求 二元一次方程组》是初中数学“数与代数”领域的核心内容，是学生从“一元”向“多元”思维过渡的关键节点，也是后续学习一次函数、线性规划及其他高阶数学知识的重要基础。根据2022版新课标，对《二元一次方程组》的内容要求、学业质量要求可以归纳为以下几点：一、内容要求理解概念： 理解二元一次方程及其解的概念，掌握解法： 掌握二元一次方程组代入消元法（简称“代入法”）和加减消元法（简称“加减法”）*二元一次方程组两种基本解法。思想本质： 理解“消元”是解二元一次方程组的基本思想，即将“二元”问题转化为“一元”问题来解决，体会**化归（转化）**的数学思想。灵活运用： 能根据方程组的特点，选择恰当的、简便的方法求解。应用建模：能根据具体问题中的数量关系，设出两个未知数，列出二元一次方程组，建立数学模型。解决问题： 能通过解所列的方程组，得到实际问题的答案，并根据问题的实际意义检验结果的合理性。问题类型： 能解决包括行程问题、工程问题、配套问题、利润问题、分配问题等在内的各类应用题。二、 学业质量要求（核心素养体现）新课标强调核心素养的落实。本章学习主要体现以下核心素养：运算能力：学生需要完成“实际问题 → 数学模型（方程组）→ 求解模型 → 解释实际结果”的完整建模过程。推理意识： 知道“为什么可以这样解”，而不是死记硬背解题步骤。应用意识： 主动运用所学知识解决生活中的问题，感受数学“有用、有趣”。
内容分析 二元一次方程组是中学数学的重要内容，它是数学解决问题的基本工具，是刻画现实世界的一个最有效的数学模型和重要手段，是一元一次方程的继续和发展，也是学习线性方程和平面几何的基础，同时与一次函数存在密切的联系。它也是学习数学乃至无理化学和其他学科的重要基础。把握好本章学习，有利于激发学生的自主创新、积极探索的热情，培养学生分析问题解决问题的能力。本章教学内容分为三大块;从问题到方程组。选择含有两个未知量的情景，引出二元一次方程组，展现二元一次方程组是刻画现实世界的有效的数学模型，让学生体会数学来源于生活有服务于生活。解方程组，通过学生尝试、比较、探索等方法发现解二元一次方程组的方法（代入法、消元法），体会转化思想。用方程组解决问题，设置具有一定挑战性的问题和思考下的现实问题，用二元一次方程组解决这些丰富多彩具有现实意义的实际问题，既培养学生的方程组的数学模型思想，有培养学生的自主探究解决问题的能力。
学情分析 学生学习了一元一次方程的解法，初步感受了方程的模型思想，积累了用方程解决实际问题的经验。在此基础上，学生进一步研究二元一次方程组的概念、解法和运用。引导学生从熟悉的一元一次方程入手，探究二元一次方程组的概念个解法以及用二元一次方程组解决实际问题，使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数解决问题的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
单元目标 教学目标1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识二元二次方程(组)及其有关概念。2、根据转化思想，抓住“消元”这一基本策略，熟练掌握二元二次方程组的基本解法：代入消元法和加减消元法。3、经历分析和解决问题的过程，体会二元二次方程(组)的教学模型作用，进一步提高运用方程(组)解决实际问题的基本能力。（二）教学重点、难点重点：1、二元一次方程组的两种解法（代入法和加减法）。 这是本章的“工具”，必须让学生熟练掌握。2、列二元一次方程组解应用题。 这是本章的“灵魂”，是数学知识应用于实践的最终体现。难点：1、“消元”思想的理解。 学生容易机械地模仿解题步骤，但难以理解为什么要“消元”以及“消元”的本质是“转化”。2、应用题中“等量关系”的寻找与建立。 这是学生普遍感到困难的地方。当问题涉及两个未知数和多个等量关系时，学生往往不知如何下手，或者找错等量关系。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数501认识二元一次方程组1502二元一次方程组的解法（代入消元）1503二元一次方程组的解法（加减消元）1504二元一次方程组的应用（古题今解）1505二元一次方程组的应用（增收节支）1506二元一次方程组的应用（行程问题）1507二元一次方程组与一次函数1508用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1509三元一次方程组1510解决问题的策略 逐步确定1511回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识二元一次方程组1、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。2、通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。3、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。1、完成课前练习题。2、思考情景中问题。3、学生独立对问题1、2列出相应的方程,通过观察、比较，小组活动得出二元一次方程的含义4、完成做一做，5、类比出二元一次方程组的概念，6、完成做一做。7、探究二元一次方程的解的含义8、完成做一做，9、类比出二元一次方程组的解10、完成做一做11、完成课堂练习12、引导学生课堂总结。环节一：课前检测环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结二元一次方程组的解法（代入消元）1、使学生掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤，学会用代入消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，转化的思想。 3、培养学生探索、观察、分析化归获得数学思想的能力；培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的能力，培养学生学会与他人合作，与人交流思维过程的习惯。 1、回顾知识，唤醒记忆。2、根据情景，学生列出二元一次方程组，3、利用两种方法解二元一次方程组，并验证答案的正确性，4、学生自学例题1并对例题1、2写出检验过程。5、根据“变、代、求、写”的步骤，说一说。5、小组讨论归纳总结出代入消元法。6、拓展提高学习整体代入法。7、学生完成课堂练习。8、课堂总结环节一：知识回顾环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的解法（加减消元）1、使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤，会用加减消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，化归的思想。 3、培养学生学会自主探索，与他人合作， 与人交流思维过程的习惯。1、学生回顾知识。2、尝试用多种方法解二元一次方程。3、观察方程组系数的特点，尝试用加减消元法解二元一次方程组。4、自学例题3，发现未知数的系数相同，直接用加减消元法解二元一次方程组。5、自学例题4，学生小组讨论；当未知数的系数不相等时怎样变成未知数系数的绝对值相等？变换根据是什么？如何使用加法或减法消元。6、判断解方程组过程中的错误，并改正。7、完成课堂练习。8、学生课堂总结。环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的应用（古题今解）1、会用二元一次方程组解决古代算题的实际问题。2、在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界3、经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。1、思考解二元一次方程组的两种基本方法并完成习题2、3。2、回顾小学解决鸡兔同笼的几种方法，并选择你喜欢的方法解答。3、通过小组交流合作,同学之间相互提问、相互补充,用二元一次方程解决鸡兔同笼问题，并由两名学生代表板书解析过程，通过互相评价激发学生学习热情.4、尝试用二元一次方程解古题。5、通过交流合作，学习经典的3个例题，学生参与、讨论、质疑、补充.学生代表板书解析过程，学生评价，相互学习相互促进6、学生完成课堂练习。7、课堂总结环节一：知识回顾环节二：古题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的运用（增收节支）1．会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组。2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力。3．通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性。1、回顾知识，正确写出公式；2、让学生独立完成3个问题。3、分析题中的数量关系填写表格4、题目中有哪些等量关系？5、写出解方程的过程.6、先读题，找出题目中的关键语句（独立完成）7、小组合作：在关键语句中找到3个相关量、2个研究对象建立表格8、尝试用表格的方法分析和解答问题，体验和巩固用表格分析问题的方法。9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组的运用（行程问题）1、用二元一次方程式组解决有关数字问题、行程问题，会用线段图分析数量关系，找到题中的等量关系式。2、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。3、让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。1、完成预习题，从而激发兴趣，进入新课。2、分析题意，完成表格和填空3、找出等量关系。4、试着用方程解决问题.5、弄清题意画线段图分析例题1和2，找出等量关系。6、试着用方程解决问题。7、小组讨论总结、归纳列方程解决问题的一般步骤。8、分析数字问题位置互换后的表示方法，利用数量关系列方程求解9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组与一次函数1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力.3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣.1、回顾知识，完成习题。2、探究一，小组交流讨论4个问题。3、探究小结；x+y=5是二元一次方程，变形成y=-x+5称为一次函数。函数图像上的点都是二元一次方程的解。5、两点法作出一次函数的图像，6、小组交流；方程组的解和相应的两个函数图象的交点坐标有什么关系 7、探究小结：方程组的解就是两直线的交点坐标；8、探究两直线平行于方程组解的关系。9、探究小结：当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元一次方程组有一组解.当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此时对应的二元一次方程组无解.当k1=k2 b1=b2时，两直线重合，无数个交点，此时对应的二元一次方程组无数个解.10、完成课堂作业11、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结。用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1、掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点。2、进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。3、通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。独立完成求解析式。用图像解方程组。理解方程组与一次函数之间的关系。根据情景分析题中的已知条件和所求问题。分析讨论三种解法的优点和缺陷。学生用待定系数法求出一次函数的表达式并归纳待定系数法的方法和步骤。6、完成课堂作业7、引导学生进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结。三元一次方程组1、了解三元一次方程组的概念.会用消元法把“三元”化为“二元”、进而化为“一元”的思想来解三元一次方程组.能根据三元一次方程组的具体特点选择适当的解法.2、通过类比、化归、合作讨论等思想方法，让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法.3、让学生感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.1、问题抢答，激发兴趣。2、完成课前检测。3、根据等量关系列三元一次方程组。4、根据二元一次方程组的概念类比出三元一次方程组的概念5、教师指导解三元一次方程组。6、小组交流讨论例题2、3.方程组的解法。7、小组归纳三元一次方程组的解法及消元时注意的问题。8、完成课堂作业9、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结解决问题的策略 逐步确定1.能从具体问题中抽象出多个限制条件，通过“逐步确定”策略推导符合所有条件的解，培养逻辑推理能力。2.学会将实际问题（如购物选择、物品数量求解）转化为数学条件，立解决问题的模型，提升用数学解决实际问题的能力。3.在逐步筛选符合条件的数值（如《孙子算经》问题）过程中，锻炼基本运算和数值分析能力。4.通过处理多组条件（如密码组合、路径选择），学会有序分析和整合信息，培养综合应用知识的素养。思考问题小组交流：按问题理解；拟定计划；实施计划；回顾与反思四个过程探究问题解决策略：逐步确定。3、完成课堂作业4、引导学生进行课堂总结环节一：情境引入环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结回顾与思考1、梳理本章知识，建立知识体系，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型； 2、通过解二元一次方程组，熟练其解法，体会 “化未知为已知”的化归思想；3、通过问题的解决，提高学生运用数学的能力，促进良好的学习方法和习惯的养成1、展示课前布置的思维导入，说明制作本图的亮点。2、学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系。3、小组交流合作完成5个例题的学习。4、完成课堂作业5、引导学生进行课堂总结。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结
《二元一次方程组》单元教学设计
活动1：复习旧知
活动2：情景导入
活动3：探究新知
任务一：认识二元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：问题导入
活动3：探究新知
任务二：解二元一次方程组（代入消元）
活动4：典例精析
二元一次方程组
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：课前检测
活动3：探究新知
活动4：典例精析
任务三：解二元一次方程组（加减消元）
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：古题导入
任务四：二元一次方程组的应用（古题今解）
活动3：探究新知
活动4：典例精析
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：预习交流
活动2：情境导入
任务五：二元一次方程组的应用（增收节支）支 ）
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：预习交流
二元一次方程组
任务六：二元一次方程组的应用（行程问题）
活动2：情境导入
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：探究新知
任务七：二元一次方程组与一次函数
活动3：课堂练习
活动4：课堂总结
活动1：知识回顾
活动2：探究新知
活动3：典例精析
任务八：用二元一次方程组求一次函数（待定系数法）
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：课前检测
活动3：探究新知
任务九：三元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：情景引入
二元一次方程组
活动2：探究新知
活动3：课堂练习
任务十：解决问题的策略
逐步确定
活动4：课堂总结
活动1：知识架构
活动2：知识梳理
活动3：典例精析
任务十一：回顾与思考
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
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