资源简介

2.3用公式法求解一元二次方程
第2课时 利用一元二次方程解决面积问题教学设计
1.教学内容
本节课选自北师大版九年级上册第二章 一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程（第2课时），核心知识点：列一元二次方程解决几何实际问题（以面积问题为主）；利用“割补法”“图形平移（面积不变）”性质建立方程模型；根据实际意义检验方程解的合理性；公式法在实际问题中的应用（结合根的判别式判断解的有效性）。
2.内容解析
本课时是公式法求解一元二次方程的应用延伸，核心逻辑为“实际几何问题→数学抽象（面积关系）→建立一元二次方程→求解并检验”。从知识价值看，既巩固公式法、根的判别式等旧知，又强化“模型思想”，是连接代数计算与几何应用的关键。教学重点是利用面积法建立方程模型，通过“图形平移”简化列方程过程；需引导学生理解“解的合理性检验”的必要性（如边长、宽度不能为负或超出原图形尺寸），确保表述简洁，聚焦“实际问题转化为数学方程”的核心环节。
1.教学目标
1. 经历列方程解决简单实际问题的过程，体会模型思想，增强数学应用意识和能力；
2. 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型（重点）；
3. 能运用一元二次方程解决实际问题，根据具体问题的实际意义检验结果的合理性（难点）。
2.目标解析
1. 目标1达成标准：学生能独立描述矩形荒地建花园、温室种植区域等实际问题的数量关系（如“花园面积=荒地面积的一半”），并尝试用文字表述等量关系；
2. 目标2达成标准：学生能针对面积相关问题，通过“割补”或“平移”将不规则图形转化为规则图形（如4个扇形转化为1个圆、纵横小路平移后形成新矩形），并根据面积公式列出一元二次方程（如）；
3. 目标3达成标准：学生能用公式法求解所列方程，且能主动检验解的实际意义（如舍去“小路宽12m”“温室宽-10m”等不符合实际的解），并准确解释舍去理由。
1. 已有知识基础：学生已掌握一元一次方程的实际应用（列方程解应用题步骤）、多项式乘法运算，以及一元二次方程的公式法、根的判别式（），具备“从实际问题找等量关系”的初步经验；
2. 学习难易点：
- 易点：概念归纳（如识别面积问题的等量关系）、公式法求解方程（旧知迁移），学生可通过旧知快速掌握方程求解步骤；
- 难点：列方程建模（尤其不规则图形转化为规则图形的过程，如“4个扇形面积=1个圆面积”“小路平移后新矩形的边长表示”），以及解的合理性检验（易忽略实际场景中长度、宽度的取值范围）；
3. 教学难点突破：需通过直观图形演示（如平移小路、拼接扇形），引导学生理解图形转化的依据，再通过阶梯式问题拆解“列方程”步骤，降低建模难度。
1.复习回顾
1. 一元二次方程的求根公式：
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.当 ≥0 时，一元二次方程 的根是 .
2. 一元二次方程根的判别式：
一元二次方程 的根的判别式是 ，通常用希腊字母"Δ"来表示。
3. 一元二次方程的根与根的判别式 的关系：
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程无实数根.
2.情景引入
呈现生活情境：某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意可以列出怎样的方程？
同时展示荒地示意图，引导学生思考“要确定关键尺寸，需要先找到什么关系？”
【设计意图】通过生活中常见的情境，激发学生的探究兴趣，让学生意识到“实际问题需转化为数学问题解决”，明确本节课“用一元二次方程解决几何面积问题”的学习方向，实现旧知（面积公式、方程应用）与新知的衔接。
探究点1　四周小路宽度相等的花园设计（小明方案）
1.问题探究
“在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，花园四周小路的宽度都相等，且花园面积为荒地面积的一半。小明解得小路宽为2m或12m，他的结果对吗？为什么？”
2. 师生活动
- 教师行为：展示矩形荒地与小路示意图，提问“如何表示花园的长和宽？”“荒地面积的一半是多少？”，引导学生列出等量关系；在学生求解后，追问“两个解是否都符合实际？为什么？”；
- 学生行为：独立思考后分组讨论，尝试用含未知数的式子表示花园边长，根据面积关系列方程，再用公式法求解，最后检验解的合理性。
3. 详细过程
1. 实际问题转化：设小路宽度为，因小路四周宽度相等，花园的长为，宽为；
2. 等量关系建立：荒地面积为，花园面积为荒地面积的一半，即，故列方程：；
3. 方程整理：展开左边得，移项合并同类项得；
4. 公式法求解：其中，，，，则，解得，；
5. 检验合理性：当时，花园宽，不符合实际（长度不能为负），故舍去，最终小路宽为。
【设计意图】通过“列方程→求解→检验”的完整过程，让学生初步掌握“实际几何问题转化为一元二次方程”的方法，突出“解的合理性检验”的重要性，突破“忽略实际意义导致错误”的难点。
探究点2 角上扇形相同的花园设计（小亮方案）
1．问题引入
“在同一矩形荒地上（长16m、宽12m），小亮设计的花园每个角上的扇形都相同，且花园面积为荒地面积的一半，求扇形的半径。
2．详细过程
1. 图形转化分析：4个角的扇形半径均为，且矩形的4个角都是直角（），故4个扇形的圆心角之和为，恰好拼接成一个半径为的圆；
2. 等量关系建立：花园面积（即圆的面积）为荒地面积的一半（），列方程：；
3. 求解方程：，则，因半径为正数，舍去负根，；
4. 检验合理性：小于矩形的宽（12m），符合实际，故有效。
探究点3 纵横小路的花园设计（其他方案）
1．问题引入
提出其他设计方案：“若在矩形荒地上建造纵、横各一条小路，其余部分为花园，花园面积为荒地面积的一半，如何求小路的宽度？”
2．师生活动
- 教师行为：演示“小路平移”过程（将纵路向右平移、横路向下平移），提问“平移后花园形成的新矩形边长如何表示？”，引导学生简化列方程过程；
- 学生行为：观察平移前后图形的面积变化，验证“平移不改变面积”的性质，根据新矩形的边长列方程并求解。
3．详细过程
1. 图形平移转化：设小路宽度为，平移后花园形成的新矩形，长为，宽为（因纵、横小路各占宽度）；
2. 等量关系建立：花园面积为，列方程：；
3. 方程整理与求解：展开得，整理为；用公式法求解，，，，，则，解得，；
4. 检验合理性：（超出矩形的长），不符合实际，舍去，故小路宽为。
【设计意图】通过“图形平移”的直观演示，让学生理解“简化列方程”的技巧，进一步巩固“面积法建模”的思路，培养学生的空间想象能力和问题简化能力。
知识归纳
利用一元二次方程解决几何问题：
一元二次方程关于几何图形的应用主要集中在面积问题，这类问题的面积公式是等量关系．
（1）面积问题：将不规则图形用“割补法”变成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程；
（2）宽度问题：利用“图形平移，面积不改变”的性质更易列方程，例如求小路的宽时，可把纵、横两条路平移，使列方程更容易．
练一练
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( B )
A.
B.
C.
D.
例题巩固
例题1（温室内蔬菜种植区域问题）
- 题目：某村计划建造矩形蔬菜温室，长与宽的比为$2:1$，沿前侧内墙保留宽的空地，其他三侧内墙各保留宽的通道，蔬菜种植区域的面积是，求矩形温室的长与宽。
- 解析步骤：
1. 设未知数：因长与宽的比为$2:1$，设宽为，则长为；
2. 表示种植区域边长：前侧留空地，其他三侧留通道，故种植区域的宽为（左右各），长为（前侧 + 后侧，共）；
3. 列方程：；
4. 求解：整理方程得，即；用公式法，，，，，，解得，（舍去负根）；
5. 求长与宽：宽，长。
- 答案总结：矩形温室的长为，宽为。
例题2（利用围墙围矩形花园问题）
- 题目：如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个面积为矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，求的长.
1. 列方程：；
2. 求解：整理得，即；用公式法，，，，，，解得，；
3. 检验合理性：当时，（超出围墙最大利用长度），舍去；当时，，符合实际。
- 答案总结：AB的长为。
1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为（ B ）．
A． B．
C． D．
2．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ C ）

A． B．
C． D．
3. 一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是 ，则它的两条直角边长分别为2cm，7cm .
4. 在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示。如果要使整个矩形挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为 x 2 ＋40x－75＝0.
5. 五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是 ，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是___9___ .
6. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪。要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
【解答】解：设道路的宽为米，由题意得
，
整理得，
解得不合题意，舍去，．
答：道路的宽为米．
7. 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为 ，那么铁皮各角应切去边长为多大的正方形？
解：设铁皮各角应切去边长为x cm的正方形。
根据题意，得
整理，得 ，
解得 ，。
当 时，
，，
∴ 不合题意，舍去，
∴
答：铁皮各角应切去边长为5cm的正方形。
（设计意图：通过不同难度层次的练习，全面检验学生对知识的掌握情况，及时发现学生在学习过程中存在的问题，并进行有针对性的查漏补缺。）
（教学建议：让学生独立完成练习后，同桌之间相互检查答案。教师针对错误率较高的题目进行集中讲解，特别要强调在实际问题中，解的合理性至关重要.）
(设计意图：帮助学生系统梳理本节课的知识体系，强化重点内容，培养学生的总结归纳能力，使学生构建起清晰的知识框架。)
(教学建议：采用 “学生先说，教师后补” 的方式，鼓励学生用自己的语言表达学习收获。对于学生遗漏的要点，教师通过提问的方式引导学生回忆)
1.必做题：习题2.6第1-3题。
2.探究性作业：习题2.6第4题。
（设计意图：巩固学生对本课核心知识点的掌握，兼顾基础练习与思维延伸。）
2.3 用公式法求解一元二次方程（第2课时） 一、知识回顾 1. 公式法：当时，（）； 2. 解的检验：需符合实际意义（长度、宽度为正，不超出原图形尺寸）。 二、核心方法（面积问题建模） 1. 图形转化：

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