资源简介

2.3用公式法求解一元二次方程
第1课时用公式法求解一元二次方程教学设计
1.教学内容
本节课选自北师大版九年级上册第二章一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程（第1课时），核心知识点：求根公式的推导过程、用公式法解简单系数的一元二次方程、一元二次方程根的判别式（）的计算与应用（判断方程根的情况）。
2.内容解析
本课时以配方法为基础，通过对一般形式一元二次方程的配方推导，得出求根公式，实现解方程从“特殊”到“一般”的转化，简化解题流程。根的判别式是判断方程实数根情况的核心工具，既承接求根公式推导逻辑，又为后续方程应用奠定基础。教学重点为求根公式的推导与应用、判别式的理解与使用，需让学生掌握“化一般式→定系数→算判别式→求根”的公式法解题步骤，理解判别式与根的数量关系的内在逻辑。
1.教学目标
1. 经历求根公式的推导过程；（难点）
2. 会用公式法解简单系数的一元二次方程；（重点）
3. 理解并会计算一元二次方程根的判别式；
4. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.目标解析
1. 求根公式推导：学生能独立完成对的配方步骤，理解每一步变形的依据（如等式性质、完全平方公式），明确“”是求根公式适用的前提；
2. 公式法应用：给定简单系数的一元二次方程（如），学生能先化为一般式，确定、、的值，代入求根公式计算，得出正确方程的根；
3. 判别式计算：对于任意一元二次方程，学生能准确代入、、的值，计算的结果，避免符号错误；
4. 判别式应用：根据的正负或是否为0，学生能快速判断方程根的情况（：两个不相等实数根；：两个相等实数根；：无实数根），并能解释判断依据。
1. 已有知识基础
学生已掌握一元一次方程的解法，理解等式的基本性质，且在上一课时学习了用配方法解一元二次方程，熟悉“化系数为1→移项→配方→开方→求解”的步骤，具备一定的代数变形能力；同时，学生已掌握完全平方公式、多项式运算等知识，为推导求根公式提供了数学工具。
2. 学习难易点分析
- 易点：①根的判别式的计算（只需代入系数，按有理数运算规则计算，步骤直观）；②用公式法解简单方程（明确、、后，直接代入公式计算，逻辑链条短）。
- 难点：①求根公式的推导（涉及含字母的配方变形，如将配成，学生易在字母系数的运算、等式变形依据的理解上出现困难）；②判别式与根的情况的内在逻辑（学生可能机械记忆“有两个不等根”，但不理解“时无法开平方，故无实数根”的本质原因）。
1.复习回顾
提问学生“用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？”，引导学生依次说出“化（二次项系数化为1）、移（移项）、配（配方）、开（开方）、求（求解）”，并以简单方程为例，快速回顾配方法解题过程。
2.问题引入
提出问题“你能用配方法解方程吗？”，让学生独立尝试解题（教师巡视，关注学生在“化系数为1”“配方时加一次项系数一半的平方”步骤中的表现），随后展示规范解题过程：
- 两边同除以2，得；
- 移项，得；
- 配方，得，即；
- 开方，得；
- 求解，得，。
3.追问引导
“每解一个一元二次方程都要重复配方法的五步，是否有更简单的方法？若能推导一个适用于所有一元二次方程的‘通用公式’，解题会更便捷，这节课我们就来推导这个公式。”
【设计意图】通过复习配方法步骤，激活学生已有知识；以具体方程的配方法求解引发认知冲突（重复步骤繁琐），激发学生对“通用解法”的需求，明确本节课学习方向，为求根公式的推导铺垫。
探究点1　一元二次方程求根公式的推导
1.问题探究
提出核心问题：“如何用配方法解一般形式的一元二次方程？请大家分组讨论，尝试推导。”
2. 师生活动
- 教师引导：先提示学生“参照配方法步骤，注意方程含字母系数、、，变形时需保持等式成立”，并在黑板上写出第一步“方程两边同除以（因，可除），得”；
- 学生探究：以4人小组为单位，按照“移项→配方→整理→开方→求解”的步骤推导，教师巡视指导，重点关注学生在“配方时加”“整理右边”步骤中的表现，对有困难的小组提示“完全平方公式中，，对比，，则”。
3. 详细过程
师生共同梳理推导步骤：
1. 化系数为1：方程两边同除以，得；
2. 移项：将常数项移到右边，得；
3. 配方：两边同时加（一次项系数一半的平方），得；
4. 整理左边：根据完全平方公式，左边化为；
5. 整理右边：通分计算，得，即；
6. 分析开方条件：因（平方数非负，），当时，右边为非负数，可开方；
7. 开方求解：两边开平方得，最终解得。知识归纳
（1）一元二次方程的求根公式:对于一元二次方程 ,当 ≥0时,它的根是:
，上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
（2）用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
（3）由上可知,一元二次方程 的根由方程的系数a, b, c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式,当 时,将a, b, c代入式子: ,就得到方程的根.
【设计意图】通过小组合作推导，让学生经历“具体到抽象”的思维过程，理解求根公式的来源与适用条件；教师分步引导，突破字母系数配方的难点，培养学生的代数变形能力与逻辑推理能力。
练一练
1. 一元二次方程 的两个根是( A )
A. B. C. D.
探究点2 公式法解一元二次方程
1．问题引入
提出问题：“掌握了求根公式，如何用它解具体的一元二次方程？需遵循哪些步骤？”
2．师生活动
- 教师示范：以例题1为例，边讲解边板书解题步骤，强调“先化一般式→再定、、→计算判别式→代入求根”的流程；
- 学生实践：学生独立完成例题2，教师巡视，纠正“漏化一般式”“的符号错误”（如将的系数记为4）等问题，随后请学生上台展示解题过程。
3．例题巩固
例题1：解方程
- 题目分析：方程已为一般式，直接确定系数；
- 解析步骤：
1. 定系数：，，；
2. 算判别式：（满足求根公式适用条件）；
3. 代入求根：；
4. 计算结果：，；
- 答案总结：方程的根为，。
例题2：解方程
- 题目分析：方程非一般式，需先移项化为的形式；
- 解析步骤：
1. 化一般式：移项得；
2. 定系数：，，；
3. 算判别式：；
4. 代入求根：；
5. 计算结果：因，两根相等，即；
- 答案总结：方程的根为。
4. 步骤归纳
总结公式法解题步骤：
1. 化：将方程化为一般形式；
2. 定：确定、、的值（注意符号）；
3. 算：计算判别式的值；
4. 求：若，代入求根公式得根；若，方程无实数根。
【设计意图】通过例题示范与实践，让学生掌握公式法的具体操作流程，明确“化一般式”和“定系数符号”的关键；通过两根相等的情况，为后续判别式的学习铺垫，强化解题规范性。
5. 知识归纳
用公式法解一元二次方程的步骤:
（1）化:若方程不是一般形式,先把一元二次方程化为一般形式;
（2）定:确定a, b, c的值;
（3）算:计算 的值;
（4）求:若,则利用求根公式求出;若,则方程没有实数根.
练一练
2. 用公式法解一元二次方程 时,首先要确定a, b, c的值,下列叙述正确的是( D )
A. , ,
B. , ,
C. , ,
D. , ,
探究点3 一元二次方程根的判别式
1．问题引入
提出问题：“在公式法解题中，的值会影响根的数量，你能通过例子分析与根的情况的关系吗？”，并给出方程，让学生尝试求解。
2．师生活动
- 学生尝试：学生计算该方程的，发现无法开平方，得出“方程无实数根”的结论；
- 教师引导：组织学生分组讨论“、、时，方程根的情况分别是什么？”，结合之前的例题（有两个不等根，有两个相等根，无实根）归纳规律。
3．详细过程
1. 定义判别式：把称为一元二次方程根的判别式；
2. 归纳关系：
- 当时，为正数，求根公式中“”导致结果有两个不同的值，方程有两个不相等的实数根（，）；
- 当时，，求根公式结果唯一，方程有两个相等的实数（）；
- 当时，无意义（实数范围内），方程没有实数根。
4．例题巩固
例题：不解方程，判断下列方程的根的情况
1. 方程
解析步骤：①定系数：，，；
②算；
③判断：方程有两个不相等的实数根；
答案总结：有两个不相等的实数根。
2. 方程
解析步骤：①化一般式：；
②定系数：，，；
③算；
④判断：方程有两个相等的实数根；
答案总结：有两个相等的实数根。
【设计意图】通过“尝试求解→讨论归纳→例题巩固”的流程，让学生理解判别式的作用，掌握“不解方程判断根的情况”的方法，培养学生的归纳
1. 用公式法解一元二次方程 时,化方程为一般式当中的a, b, c依次为( B )
A．2，-3，1 B．2，3，-1 C．-2，-3，-1 D．-2，3，1
2. 关于x的一元二次方程 有两个实数根,则实数m的取值范围是( C )
A. m ≥0
B. m＞0
C. m ≥0且 m≠1
D. m＞0且 m≠1
3. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则一次函数 的大致图象可能是( B )
4. 下列一元二次方程中有两个不相等实数根的是( D )
A.
B.
C.
D.
5. 等腰三角形的底和腰长是方程 的两根,则它的周长是 .
6. 已知关于x的方程 的一个根是 ,此方程的另一个根 .
7. 若 ,且一元二次方程 有实数根,则k的取值范围是k≤4且k≠0.
8. 用公式法解下列方程:
(1) ;
(2) .
【解答】解:(1)移项,得
, ,
,
(2)原方程可化为
, ,
,
9. 已知关于x的方程
(1)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一个根;
(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
【解答】解：(1)∵1为原方程的一个根,
∴1+a+a﹣2=0
∴
将 代入方程,得
解得,
∴a的值为 ,方程的另一个根为
(2)证明:∵在 中,
Δ＝a2 －4a＋8＝(a－2)2 ＋4>0
∴不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
（设计意图：通过不同难度层次的练习，全面检验学生对知识的掌握情况，巩固方程解的判断方法和求解技巧，及时发现学生在学习过程中存在的问题，并进行有针对性的查漏补缺。）
（教学建议：让学生独立完成练习后，同桌之间相互检查答案。教师针对错误率较高的题目进行集中讲解，特别要强调在实际问题中，解的合理性至关重要.）
(设计意图：帮助学生系统梳理本节课的知识体系，强化重点内容，培养学生的总结归纳能力，使学生构建起清晰的知识框架。)
(教学建议：采用 “学生先说，教师后补” 的方式，鼓励学生用自己的语言表达学习收获。对于学生遗漏的要点，教师通过提问的方式引导学生回忆)
1.必做题：习题2.5第1-3题。
2.探究性作业：习题2.5第4题。
（设计意图：巩固学生对本课核心知识点的掌握，兼顾基础练习与思维延伸。）
2.3 用公式法求解一元二次方程（第 1 课时） 一、知识回顾 配方法步骤：①化（二次项系数为1）②移（常数项右移）③配（加一次项系数一半的平方）④开（非负时开方）⑤求（解一次方程） 二、求根公式推导 1. 一般式： 2. 推导关键步骤： - 化系数为1： - 配方整理： - 开方条件： 3. 求根公式：（且） 三、根的判别式（） 1. 定义： 2. 与根的关系： - ：两个不相等的实数根 - ：两个相等的实数根（） - ：没有实数根 四、公式法解题步骤 1. 化：化为一般式 2. 定：确定、、的值（注意符号） 3. 算：计算 4. 求：时代入公式求根，时无实根 五、例题解析

展开更多......

收起↑