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第一讲 菱形的性质和判定的综合练习
一、教学目标
1．掌握菱形的概念，性质及判定方法．
2.灵活运用菱形的性质定理进行有关的论证和计算．
二、教学重难点
1．重点：运用菱形知识解决具体问题．
2．难点：用菱形的性质与判定相结合解决相关的计算与说理．（数形结合）
关键词：菱形的边、角、对角线性质
三、知识精讲
菱形的性质：
：平行四边形的所有性质； ②：四边相等； ③：对角线相互垂直平分.
注意：菱形的面积公式：①： ②:
菱形的判定：
：平行四边形+邻边相等； ②：平行四边形+对角线相互垂直；
：对角线相互垂直平分.
四、例题精析
考点一：菱形的性质定理
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分
2.如图，已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）
A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
3.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于( )
A.18 B.16 C.15 D.14
4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，下列结论：①AC⊥BD；②0A=0B ③∠ADB=∠CDB; ④△ABC是等边三角形。其中一定成立的是
5.如图，填一填： (1)已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长是 ______.(2)在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝_______.(3)菱形的面积为64平方厘米，两条对角线的长度比为1∶2 ,那么菱形最短的那条对角线长为_______.(4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11cm，则菱形的周长为____.
考点二：菱形的判定
1.下列说法不正确的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．四条边相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2．如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BG、DH分别平分∠ABC、∠ADC，交AD、BC于点G、H.要使四边形BHDG为菱形，则AD的长应为
4．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为
第 2题图 第3题图 第4题图
考点三：菱形的综合应用
例1、如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥ AD、BF⊥ CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．
变式练习：
如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，且AE+CF=2.
（1）求证：无论E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形；（2）求△BEF面积的最小值.
2．如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　　．
3．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB，BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是24cm，面积是12cm2，则PE+PF的值是 　　cm．
例2、图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：四边形PBQD是平行四边形；
（2）若AD=8cm，AB=6cm，P从点A出发，以1cm/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒．①请用t表示PD的长；②求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
例3、已知：如图，在菱形中，为边的中点，与对角线交于点，过作于点,.
若,求的长.
求证：
五、思维提升题
1、如图，在 ABCD中，AB⊥AC，AC=2，BC=，对角线AC与BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F，连接DE、BF，问：直线AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，并证明你的结论．
2、如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，M为AD上一动点，P为对角线BD上一动点，连接PA和PM，则PA+PM的最小值是 　　．
3．如图，四边形ABCD是边长为8的菱形，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点．
（1）若N是AB边上一点，AN＝2，连结AM，MN，则AM+MN的最小值为 　　．
4、如图，在菱形ABCD中，AB＝BD＝4，E为AB的中点，P为AC上一个动点，则EP+BP的最小值为　 　．
5、如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠D＝60°，点M、N分别是AD、AB上的动点，且△CMN为等边三角形，则△AMN面积的最大值为 　　．
五、课堂练习
一、选择题
1．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（　　）
A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4）
C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）
2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（　　）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
4．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（　　）
A．15 B． C．7.5 D．
二、解答题
1、如图，在菱形ABCD中，∠ A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．
（1）求∠ ABD的度数；
（2）求线段BE的长．
六、课堂小结
菱形的性质：
：平行四边形的所有性质； ②：四边相等； ③：对角线相互垂直平分.
注意：菱形的面积公式：①： ②:
菱形的判定：
：平行四边形+邻边相等； ②：平行四边形+对角线相互垂直；
③：对角线相互垂直平分.
七、家庭作业
1、如图，AC是菱形ABCD的对角线，若∠BAC=50°，则∠ADB等于　　　　　　．
1题图 2题图 3题图
2、如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AB=10，BD=12，则AC=　　　　　　．
3、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长等于　　　　　　．
4、菱形的一个内角为120°，且平分这个内角的对角线长为8cm，则这个菱形的面积为　　　　　　．
5、如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为　　　　　　．
5题图 6题图
6、如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件　　　　　　．
7、如图，已知E为菱形ABCD的边AD的中点，EM⊥AC交CB的延长线于点F.
（1）试说明M为AB的中点．（2）若FB=2，求菱形ABCD的周长.

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