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17.1 用提公因式法分解因式（第1课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生学习了整式乘法的基础上，研究对整式的一种变形即因式分解，是把一个多项式转化成几个整式相乘的形式，它与整式乘法是互逆变形的关系。
2. 内容分析
本节课是整式乘法的逆向学习，核心是将多项式转化为几个整式乘积的形式，即因式分解。这种互逆关系是理解因式分解意义的关键。提公因式法作为因式分解的基础方法，其本质是运用乘法分配律的逆运算，提取多项式各项中含有的公共因式，从而简化多项式结构。本节课既是对整式运算的深化，也为后续学习分式化简、解一元二次方程等内容奠定基础，在代数变形体系中具有承上启下的作用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解因式分解的概念；能用提公因式法分解因式。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系。
（2）了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解（指数为正整数）。
（3）在探究提公因式法的过程中，体会逆向思维与转化思想，发展代数推理能力，培养运算素养和严谨的数学思维习惯。
2. 目标解析
（1）学生需明确因式分解是“和差化积”的变形，能准确判断一个变形是否为因式分解；通过对比实例，清晰区分整式乘法与因式分解的互逆关系，理解二者在变形方向上的本质区别。
（2）学生需掌握公因式的定义，能从多项式各项中识别出系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积；并能运用提公因式法将多项式分解因式，做到提取彻底、结果正确。
（3）学生在经历“观察多项式结构—寻找公因式—提取公因式”的过程中，体会将复杂多项式转化为简单整式乘积的“转化思想”，以及从整式乘法逆向思考因式分解的“逆向思维”；通过规范的因式分解步骤训练，提升代数运算的准确性与逻辑性，发展运算素养，同时培养严谨的思维习惯。
三、教学问题诊断分析
1.混淆因式分解与整式乘法的概念
部分学生可能无法判断一个变形是否为因式分解，对“和差化积”的本质理解不深，仅停留在形式记忆。应对策略：通过对比表格呈现二者的变形方向，结合具体实例让学生辨析，并设计“判断下列变形是否为因式分解”的练习，强化“因式分解的结果必须是整式乘积形式”的核心特征。
2. 提取公因式后漏项或符号错误
提取公因式后，括号内的项数减少或符号处理错误。学生可能对乘法分配律逆用不熟练，忽略“提取公因式后括号内各项需与原项对应”，尤其对负号的处理缺乏意识。应对策略：强调“提公因式后括号内的项数与原多项式一致”，可通过“用乘法分配律逆向验证”的方法检验；对于含负号的多项式，先提取“-”号，括号内各项变号，结合实例演示符号变化规律，设计针对性的纠错练习。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：运用提公因式法分解因式。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 上一章，我们研究的整式乘法分了哪几类？运算的结果是什么形式？
答 单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式.
运算的结果是单项式或多项式.
问题2 我们学习了哪些乘法公式？运算的结果是什么形式？
答 平方差公式，完全平方公式.
运算的结果是多项式.
问题3 在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的．某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉2个最高分和2个最低分后，会剩下3个分数a，b， c，选手的得分有两种计算方法：
① pa+pb+pc； ② p(a+b+c).
我们知道上述两式是相等的．从整式运算的角度看，从②式到①式就是上一章我们学习的整式的乘法运算；从①式到②式，相当于把一个多项式写成两个整式的乘积．
设计意图：通过复习整式乘法的分类与结果、乘法公式等旧知，关联跳水比赛得分计算实例，既唤醒学生对整式乘法的认知，又借助生活情境引出“把多项式写成整式乘积”的新内容，为讲解提公因式法分解因式做铺垫，让学生感受数学与生活的联系，理解因式分解与整式乘法的互逆关系，自然过渡到新课学习。
（二）合作探究
探究　请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（1）x2+ x = x( x+1) ； （2）x2 1 = ( x+1)( x 1) ； （3）x2+2x+1= ( x+1)2 .
我们先来看整式的乘法：
（1） x( x+1) = x2+ x ；（2）( x+1)( x 1) = x2 1 ； （3） ( x+1)2 = x2+2x+1 .
反过来，即可得到【探究】的答案.
概念 （多项式的）因式分解
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
观察 多项式pa+pb+pc的各项有什么共同特征？
答 它的各项都有一个公共的因式p.
我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式.
例如 pa+pb+pc =p(a+b+c) .
p是各项的公因式，a+b+c是pa+pb+pc除以p所得的商.
概念 提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
设计意图：直观呈现因式分解与整式乘法的反向变形关系，帮助学生理解因式分解的概念，实现新旧知识的自然过渡。以pa+pb+pc为例，引导学生观察多项式各项的公共因式，提炼“公因式”概念，让学生掌握提公因式法的关键——找公因式。基于公因式的概念，明确提公因式法的操作步骤，让学生学会用提公因式法分解因式，掌握因式分解的基本技能。
（三）典例分析
例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有( B )
①x2 y2 1=(x+y)(x y) 1；
②x3+x=x(x2+1)；
③(x y)2=x2 2xy+y2；
④x2 9y2=(x+3y)(x 3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2 分解因式：
(1) mx2+my2 ； (2)3x2 4xy2+x .
解 (1)原式=m(x2+y2) ；
(2)原式=x·3x x·4y2+x·1=x(3x 4y2+1) .
注意 将x提出后，括号内的第三项为1.
设计意图：通过判断变形是否为因式分解的题目，强化学生对因式分解概念的理解。设置用提公因式法分解因式的实例，让学生运用已学知识，实践提公因式法的操作流程。同时，强调提出公因式后括号内的第三项为1，及时提醒学生注意易错点，实现知识从概念到应用的转化。
（四）巩固练习
1. 下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1) 4a(a+2b)=4a2+8ab ； 不是，是整式乘法.
(2) a2 4=(a+2)(a 2) ； 是.
(3) x2 3x+2=x(x 3)+2 . 不是，等式右边不是整式乘积的形式.
2. 分解因式：
(1) ax ay ； (2) a2 2a ； (3) a2+ab ； (4) xy y2+yz .
解 （1）原式=a(x y). （2）原式=a(a 2).
（3）原式=a(a+b). （4）原式=y(x y+z).
3. 利用因式分解计算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ； (2) 49×20.22+52×20.22 20.22 ；
(3) 5×34+4×34+9×32 .
解 （1）原式=1.99×(1.99+0.01)=1.99×2=3.98.
（2）原式=20.22×(49+52 1)=20.22×100=2022.
（3）原式=5×34+4×34+34 =34×(5+4+1)=34×10=810.
4. 已知a+b=7，ab=4，求a2b+ab2的值：
解 ∵a+b=7，ab=4，
∴原式=ab(a+b)=4×7=28.
方法总结 含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体代入即可.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
（六）感受中考
1．（2022·山东济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ C ）
A． B．
C． D．
2．（2020·河北）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ C ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
3．（2025·江西）因式分解： ．
4．（2025·四川达州）因式分解： ．
5．（2025·湖南长沙）分解因式： ．
6．（2024·江苏徐州）若，，则代数式的值是 2 ．
解：∵，，
∴ ，
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题17.1 第1，2，3题.
2.探究性作业：习题17.1 第7题.
五、教学反思

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