资源简介

第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
教学设计
课题 第1课时 探索勾股定理 授课人
教学目标 1.经历用测量法和数格子的方法探索勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想. 2.会解决已知直角三角形的两边求另一边的问题. 3.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力. 4.通过让学生参加探索与创造，获得参加数学活动成功的经验.
教学重点 勾股定理的探索及应用.
教学难点 勾股定理的探索过程.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
新课导入 如图,从电线杆离地面 8m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6m ,那么需要多长的钢索 在直角三角形中，任意两条边确定了,另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系. 事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探索吧! 发展学生的数学抽象和几何直观，让学生在回忆旧知的过程中，引发认知处突，激起学生的学趣，使学生快速进入学习状态。
探究新知 1.认识勾股定理 探究1 在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系.与同伴进行交流. 32＋42＝25＝52 32＋32＝18＝3 三边长的平方之间的关系：两个直角边的平方和等与斜边的平方. 探究2 如图，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？ (1)观察图1－1 正方形 A 中含有 9 个小方格，即 A 的面积是 9 个单位面积. 正方形 B 的面积是 9 个单位面积. 思考：如何求 C 的面积？ 分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C＝4××3×3＝18（单位面积） （2）在图 1－2 中，正方形 A，B，C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ 4,4,8 （3）你能发现两图中三个正方形 A，B，C 的面积之间有什么关系吗？ 9,9,18； 4,4,8 面积关系：SA＋SB＝SC （4）如图，图中的直角三角形是否也具有这样的关系？ 具备 （5）如果直角三角形的两直角边长分别为 1.6 个单位长度和2.4 个单位长度，那么上面所猜想的数量关系还成立吗 说说你的理由。 思考：观察所得到的各组数据，你有什么发现？ 结论1：SA＋SB＝SC 猜想：两直角边a、b与斜边c之间的关系？ 结论2：a2＋b2＝c2 教师归纳 通过上面的活动，同学们一定发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2． 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我国称上面的结论为勾股定理. 思考 想一想新课引入中的问题，需要多长的钢索？ 解：如图所示， 在 Rt△ABC 中，AB＝8m，BC＝6m， 根据勾股定理，得： AC ＝＝＝10(m) 答：需要 10m 长的钢索. 2.利用勾股定理求图形面积 （链接例1） 3.利用勾股定理求直角三角形边长 （链接例2、例3） 通过动手实践，拼出或剪出相应的图形，使学生加深对图形的认识。让学生感受体会剪就是割程，拼就是补的过程，学生通过活动亲身体验图形的割补思想，思考构图的过程，培养几何直观，|活动经验，为勾股定理的推演埋下伏笔。
典例精析 【例1】求下图中字母所代表的正方形的面积.其中S1＝4,S3＝15。 【解】(1) A 的边长为直角三角形的斜边， 则 A 的边长的平方等于两直角边边长的平方和，两条直角边的平方分别为：36 和 64 , A 的面积 36＋64＝100； (2)由直角三角形可知，直角三角形的斜边的平方等于两直角边边长的平方和， ∴S3＝S1＋S2, 则S2＝S3－S1＝11。 【方法总结】以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形或半圆，都能形成简单的勾股图，对于勾股图都有相同的结论，即S1+S2=S3(S3是以斜边为基础向外作的图形的面积，S1和S2分别是以直角边基础向外所作图形的面积。 【例2】已知 ∠ACB＝90°,CD⊥AB,AC＝3,BC＝4.求 CD 的长. 【解】由勾股定理可得， AB2＝AC2＋BC2＝25， 即 AB＝5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC ＝AB×CD. ∴ CD ＝。 【例3】 在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且AD＝12，求△ABC 的周长． 【解】当高 AD 在△ABC 内部时，如图①. 在Rt△ABD 中，由勾股定理， 得 BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴ BD＝16； 在Rt△ACD 中，由勾股定理， 得 CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴ CD＝9.∴ BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC 的周长为 25＋20＋15＝60. 当高 AD 在△ABC 外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC 的周长为 7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC 的周长为 42 或 60. 【方法总结】题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高 AD 在△ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ABC 外的情形． 通过问题检测学生对勾股定理的了解情况，以及培养学生正确严谨规范的数学书写表达，拓展思路，让学生体会勾股定理可以用来计算线段长度，为后边的相关知识的学习做铺垫。
随堂检测 1.在Rt△ABC 中，AB＝3,BC＝4 ,则 AC 的值为（ D ） A.25 B.7 C.25或5 D.25或7 2.在Rt△ABC中，∠C＝90^ ，若AB AC＝2，BC＝8，则AB的 长是__17__. 3.如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，正方形A，B，C，D的边长分别是 3，4，1，2，则最大正方形 E 的面积为_30___. 4.如图，求等腰三角形ABC的面积. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D . 因为AC＝BC，CD⊥AB， 所以AD＝AB＝3 cm ， 所以 CD2＝AC2 AD2＝16 ， 所以 CD＝4 cm ， 所以 S△ABC＝AB CD＝×6×4＝12(cm2) ． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。
课堂小结 请同学们带着以下问题对本节课进行总结： 第一个问题是勾股定理揭示了直角三角形三边长怎样的相等关系 我们这节课研究勾股定理的思路又是什么呢 直角三角形中直角边的平方和等于斜边的平方和， 思路是通过面积关系找出直角三角形三边的关系。 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。
作业布置
板书设计 第1课时 探索勾股定理 勾股定理 习题解析 勾股图形
教学反思

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