资源简介

第一章 勾股定理
1.3 勾股定理的应用
教学设计
课题 1.3 勾股定理的应用 授课人
教学目标 1.能灵活运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。 2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。 3.激发学生强烈的求知欲，使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验。
教学重点 应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。
教学难点 从实际问题中合理抽象出数学模型。
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 1.勾股定理: 如果直角三角形两直角边分别为 a，b 斜边为 c，那么 a2+b2=c2。 2.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形,且边 c 所对的角为直角,最长的边为斜边. 通过复习，巩固旧知，为本节新课做铺垫。
探究新知 1.勾股定理的应用探究 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边 AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB 。 (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗 解:如图，连接对角线 AC，只要分别量出AB , BC , AC 的长度即可。 AB2 + BC2 = AC2 → △ABC 为直角三角形 (2)量得 AD 长是 30 cm，AB长是 40 cm，点B，D之间的距离是50 cm。 AD边垂直于AB边吗？ 解:AD2 + AB2 = 302 + 402 = 502 = BD2， 得∠DAB = 90°，AD 边垂直于 AB 边。 （3）若李叔叔随身只带了一个长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗？ 解:如图所示， 在 AD 上取点 M ,使 AM = 9, 在 AB 上取点N使 AN = 12, 测量 MN 是否是 15， 是，就是垂直； 不是，就是不垂直。 （链接例1） 2.勾股定理的应用（列方程求解） 思考 如图,正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm,点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G ,交边 CD 于点 F。你能求出 DF 的长吗 解：∵正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点， ∴∠D = 90°,AE = DE = 4 cm。 由翻折，得 CF = EF。 设 DF = x cm,则 EF = CF =(8-x)cm， 在 Rt△EFD 中，DE2 + DF2 = EF2, 即 42 + x2 = (8-x)2, 解得 x = 3。 （链接例2、例3） 运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题。 从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定例良好基础。
典例精析 【例1】有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π取 3） 【解】油罐的展开图如图， 则 AB' 为梯子的最短距离. ∵AA' = 2×3×2 = 12, A' B' =5, ∴AB' = 13. 即梯子最短需 13 米. 【例2（教材P13例题）】今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何 (选自《九章算术》) 题目大意：如图,有一个水池，水面是一个边长为 1 丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少 【解】设水池的深度 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为(x+1)尺。由于芦苇位于水池中央，所以 AC 为 5 尺。 在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得 AC2+OA2=OC2， 即 52+x2=(x+1)2。 解得 x=12。 12+1=13。 因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺。 【例3】 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长。 【解】设滑道 AC 的长度为 x m，则 AB 的长 也为 x m，AE 的长度为(x-1) m。 在Rt△ACE 中，∠AEC=90°， 由勾股定理得 AE2+CE2=AC2， 即 (x-1)2+32=x2， 解得 x=5。 故滑道 AC 的长度为 5 m。 对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算。
随堂检测 1.三角形的三边长分别等于下列各组数，所代表的三角形是直角 三角形的是( B ) A.7，8，10 B.7，24，25 C.11，35，37 D.13，11，10 2.如图，由于台风的影响，一棵树在离地面 6 m 处折断，树顶落在离树干底部 8 m 处，则这棵树在折断前（不包括树根）高度是( C ) A. 8m B. 10m C. 16m D. 18m 3.如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距( D ) A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里 4.如图，为了测量一湖泊的宽度，小明在点 A，B，C 分别设桩，使 AB⊥BC ，并量得 AC=52 m，BC=48 m，则湖泊的宽度应为 20 m 。 5.如图，在四边形 ABCD 中， ∠BAD=∠DBC=90^ ，若 AD=4cm， AB=3cm，BC=12 cm ，求 CD 的长。 解：因为 ∠BAD=∠DBC=90°， 所以 △ADB，△BDC 均是直角三角形. 由题意得，AD=4 cm，AB=3cm， BC=12 cm， 在 Rt△ABD 中，BD2=AD2+AB2=25, 即 BD=5 cm，在 Rt△BDC 中， CD2=BD2+BC2=169，即 CD=13 cm。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。
课堂小结 谈谈你对本节课的收获。 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。
作业布置
板书设计 1.3 勾股定理的应用
教学反思

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