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第四章 一次函数
4.4 一次函数的应用
第2课时 单个一次函数图象的应用
教学设计
课题 第2课时 单个一次函数图象的应用 授课人
教学目标 1.能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题。 2.通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维；通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力。 3.在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立知识之间的联系。 4.引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式。
教学重点 能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题。
教学难点 在解决问题过程中,初步体会方程与函数的关系,建立各种知识之间的联系。
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 从一次函数图象可获得哪些信息 1.由一次函数的图象可确定 k 和 b 的符号； 2.由一次函数的图象可估计函数的变化趋势； 3.可直接观察出：x 与 y 的对应值； 4.由一次函数的图象与 y 轴的交点的坐标可确定 b 值，从而确定一次函数的图象的表达式。 通过前面内容的回顾,再次明确一次函数图象和性质,为进一步研究一次函数图象和性质的应用作好铺垫。
探究新知 1.单个一次函数图象的应用 某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量 y (单位：L)与摩托车行驶路程 x(单位：km)之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题： (1)油箱最多可储油多少升？ 行驶路程 x＝0 时，y 的值 解：观察图象，得 当 x＝0 时，y＝10. 因此，油箱最多可储油 10 L。 (2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ 剩余油量 y＝0 时，x 的值 解：当 y＝0 时，x＝500。 因此，一箱汽油可供摩托车行驶 500 km。 (3)摩托车每行驶 100 km 消耗多少升汽油？ 当 x 从 0 增加到 100 时，对应 y 的增加值 解：x 从 0 增加到 100 时，y 从 10 减少到 8，减少了 2，因此摩托车每行驶 100 km 消耗 2 L 汽油。 (4)油箱中的剩余油量小于 1 L 时，摩托车将自动报警。加 当y＝1时，x的值 满油行驶多少千米后，摩托车将自动报警？ 解：当 y＝1 时，x ＝450， 因此，行驶 450 km 后，摩托车将自动报警。 教师总结 如何解答实际情景函数图象的信息？ 1.理解横纵坐标分别表示的的实际意义； 2.分析已知条件，通过作 x 轴或 y 轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值； 3.利用数形结合的思想： 将“数”转化为“形” 由“形”定“数” （链接例题） 思考 按照前面例 1 的这个规律，预计干旱持续多少天水库将干涸？ 解：观察图象，得 干旱持续 20 天时， 蓄水量减少 400 (万 m3)。 则蓄水量每天减少约 400÷20＝20(万 m3)。 1200÷20＝60(天)， 所以按照这个规律，预计干旱持续 60 天水库将干涸。 教师总结 怎样通过函数图像获取信息，并解决实际问题？ (1)要看清、弄懂横轴、纵轴所代表的意义(包括单位)； (2)会找到图象上具有特殊意义的点,能把给定的坐标转换成数学语言。图象上具有特殊意义的点主要有：图像与x轴、y轴的交点；给定坐标的点；与其他图象的交点等。 (3)根据坐标能正确写出函数表达式，根据表达式能写出特殊点坐标； (4)了解图象的变化，知道变量的取值范围，会估计图象的发展趋势。 2.一次函数与一元一次方程 做一做 如图是某一次函数的图象，根据图象填空： （1）当 y＝0 时，x＝ －2 ； （2）这个函数的表达式是 y＝x+1 。 解：设 y＝kx＋b ∵图象经过(0，1)和(－2，0) ∴1＝b，0＝－2k＋b 解得 k＝，b＝1 ∴这个函数的表达式为 y＝x＋1。 思考 一元一次方程 －20x＋1 200＝0 与一次函数 y＝－20x＋1 200 有什么联系？ 答：1.从“数”的方面看，当一次函数 y＝－20x＋1 200 的 y 的值为 0 时，相应的 x 的值即为方程 －20x＋1 200＝0 的解。 2.从“形”的方面看，一次函数 y＝－20x＋1 200 与 x 轴交点的横坐标，即为方程 －20x＋1 200＝0 的解。 教师归纳 一次函数与一元一次方程的关系： (1)一般地，当一次函数 y＝kx＋b 的函数值 y 为 0 时，相应的自变量的值就是方程 kx＋b＝0 的解； (2)从图象上看，一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx＋b＝0 的解。 通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用,目的是培养学生的识图能力。 通过练习题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系,能用函数关系解决方程问题,同时也能用方程的观点来看待函数。
典例精析 【例(教材P96例2)】由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。蓄水量 V (单位：万 m3)与干旱持续时间 t (单位：天)之间的关系如图所示，根据图象回答问题： (1)干旱开始时水库的蓄水量是多少？ (2)干旱持续 10 天，水库的蓄水量是多少？干旱持续 23 天呢？ (3)蓄水量小于 400万 m3 时，将发出严重干旱警报。干旱持续多少天后将发出严重干旱警报？ 【解】（1）观察图象，得 （1）当 t＝0 时，V＝1200。 因此，干旱开始时水库的蓄水量是 1200 万 m3。 （2）当 t＝10 时，V＝1000。 因此，干旱持续 10 天，水库的蓄水量为 1000 万 m 。 当 t＝23 时，V≈750。 因此，干旱持续 23 天，水库的蓄水量约为 750 万 m 。 （3）当 V＝400 时，t≈40。 因此，干旱持续约 40 天后将发出严重干旱警报。 从实际情景函数图象中获取信息,培养学生利用图象分析问题、解决问题的能力,发展几何直观;让学生进一步体会函数与方程,数与形的关系,建立良好的知识联系。
随堂检测 1.某弹簧的长度 y (cm)与所挂物体的质量 x(kg)之间的关系如图所示，当所挂物体的质量为 10 kg 时，弹簧的长度为（ D ） A.12 cm B.13 cm D.14 cm D.15 cm 2.如图，直线 y＝ax＋b(a≠0)过点 A(0,4),B(－3,0)，则方程 ax＋b＝0 的解是（ A ） A.x＝－3 B.x＝4 C.x＝－ D.x＝－ 3.一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示,则关于 x 的方程 kx＋b＝0 的解为 x=1 ,关于 x 的方程 kx＋b＝-1 的解为 x= 。 4.汽车油箱中的余油量 Q(单位：L)是它行驶的时间 t(单位：h)的一次函数。某天一辆汽车外出时，油箱中余油量 Q 与行驶时间 t 的变化关系如图所示. (1)根据图象，求油箱中的余油量 Q 与行驶时间t之间的函数关系式(不需要写出变量的取值范围); (2)如果汽车每小时行驶 50 km,从外出时开始算起，当油箱中余油量为 30 L 时，该汽车行驶了多少千米 解：(1)设油箱中余油量 Q 与行驶时间 t 之间函数关系式是 Q＝kt＋b。 ∵ 函数的图象经过点(0,60),(4,40), ∴ b＝60，4k＋b＝40, ∴ k＝-5。故 Q＝-5t＋60。 (2)当 Q＝30时，30＝-5t＋60, 解得 t＝6。 50×6＝300(km), 即油箱中余油量为 30 L 时，该汽车行驶了 300 km。 这个环节充分发挥了学生的主观能动性,是对本节课学习内容的巩固及内化。
课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。
作业布置
板书设计 第2课时 单个一次函数图象的应用
教学反思

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