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重点培优练7　概率中的函数、数列问题
1．解答概率统计与函数的交汇问题的思路：一是借助二次函数、分段函数的性质，利用单调性求均值、方差的最值；二是利用导数研究函数的极值点，从而确定最优解．
2．解答概率和数列知识的综合问题时需要弄清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．
1．(2024·江苏4月大联考)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为Pn.
(1)求P2；
(2)①求证：数列是等比数列；
2．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)2024年年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
x/日,1,2,3,4,5
y/万人,45,50,60,65,80(1)计算x，y的样本相关系数r(计算结果精确到0.01)，并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；
(3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和k(k≥5)个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为p，当k取多少时，p最大？
参考数据：≈1.732.
3．(2024·湖北黄冈期末)篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动．
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如表所示的2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关；
单位：人
性别 篮球运动 合计
喜爱篮球运动 不喜爱篮球运动
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
(2)某校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1.
①求P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
4．(2024·福建泉州模拟)已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在[μ－σ，μ＋σ]内的产品称为优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ]内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
(1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，记质量差X～N(μ，σ2)，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，且n∈N*)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B.
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f ( p)，求当n为何值时，f ( p)取得最大值．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
4 / 4重点培优练7　概率中的函数、数列问题
1．解答概率统计与函数的交汇问题的思路：一是借助二次函数、分段函数的性质，利用单调性求均值、方差的最值；二是利用导数研究函数的极值点，从而确定最优解．
2．解答概率和数列知识的综合问题时需要弄清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．
1．(2024·江苏4月大联考)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为Pn.
(1)求P2；
(2)①求证：数列是等比数列；
[解]　(1)依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中任意两个在同一底面，
所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，又因为P1＝，所以P2＝×＋×＝．
(2)①证明：因为Pn＋1＝Pn＋(1－Pn)＝Pn＋，
所以Pn＋1－＝Pn＋－＝Pn－＝.
又因为P1＝，所以P1－＝－＝≠0，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
②因为Pn－＝×＝×，
所以Pn＝×＋，所以iPi＝×i＋．
设ai＝，
2．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)2024年年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
x/日,1,2,3,4,5
y/万人,45,50,60,65,80(1)计算x，y的样本相关系数r(计算结果精确到0.01)，并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；
(3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和k(k≥5)个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为p，当k取多少时，p最大？
参考数据：≈1.732.
[解]　(1)因为＝＝60，
＝(1×45＋2×50＋3×60＋4×65＋5×80)－5×3×60＝85，
2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10，
2＝(45－60)2＋(50－60)2＋(60－60)2＋(65－60)2＋(80－60)2＝750，
所以r＝＝≈≈0.98，
由此可以认为两者的相关性很强．
所以＝＝＝8.5.
因为＝＝60－8.5×3＝34.5，
所以经验回归方程为＝8.5x＋34.5.
(3)记P(k)＝t＝＝(k≥5，k∈N*)，
因为P(k＋1)－P(k)＝－＝<0，
所以P(k＋1)所以p＝·t·(1－t)2＝3t3－6t2＋3t.
令F(t)＝3t3－6t2＋3t，t∈，
则F′(t)＝9t2－12t＋3＝3(3t－1)(t－1)，得t∈时，F′(t)>0，t∈时，F′(t)<0，
所以F(t)在上单调递增，在上单调递减，
所以当t＝时，F(t)取得最大值，即p取得最大值．
由t＝＝，解得k＝20或k＝1(舍去)，
所以当k＝20时，恰有一次中奖的概率p最大．
3．(2024·湖北黄冈期末)篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动．
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如表所示的2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关；
单位：人
性别 篮球运动 合计
喜爱篮球运动 不喜爱篮球运动
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
(2)某校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1.
①求P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
[解]　(1)零假设为H0：喜爱篮球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得χ2＝＝>10.828＝x0.001.
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜爱篮球运动与性别有关．
(2)①由题意得：第2次触球者为乙，丙中的一个，第2次触球者传给包括甲的二人中的一人，故传给甲的概率为，故P3＝．
②第n次触球者是甲的概率记为Pn，则当n≥2时，第n－1次触球者是甲的概率为Pn－1，
第n－1次触球者不是甲的概率为1－Pn－1，
则Pn＝Pn－1·0＋(1－Pn－1)·＝(1－Pn－1),
从而Pn－＝－，又P1－＝≠0，
所以是以为首项，－为公比的等比数列，
所以Pn＝×＋，所以P9＝×＋>，
P10＝×＋<，所以P9>P10,
故第9次触球者是甲的概率大．
4．(2024·福建泉州模拟)已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在[μ－σ，μ＋σ]内的产品称为优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ]内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
(1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，记质量差X～N(μ，σ2)，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，且n∈N*)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B.
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f ( p)，求当n为何值时，f ( p)取得最大值．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
[解]　(1)由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1 000件的平均数为
＝0.010×10×＋0.020×10×＋0.045×10×＋0.020×10×＋0.005×10×＝70.
则μ≈＝70，σ≈s≈10，所以X～N(70，102)，
则优等品的质量差在[μ－σ，μ＋σ]即[60，80]内，一等品的质量差在(μ＋σ，μ＋2σ]即(80，90]内，
所以正品的质量差在[60，80]和(80，90]内，即[60，90]内，故该企业生产的产品为正品的概率P＝P(60≤X≤90)＝P(60≤X≤80)＋P(80(2)①从n＋2件正品中任选两个，有种选法，其中等级不同有＝2n(种)选法，
故某箱产品抽检被记为B的概率p＝＝＝．
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
f ( p)＝p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10( p3－2p4＋p5)，则f′( p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2( p－1)(5p－3)，
所以当p∈时，f′( p)>0，函数f ( p)单调递增，当p∈时，f′( p)<0，函数f ( p)单调递减，所以当p＝时，f ( p)取得最大值，最大值为＝＝．
此时由p＝＝，n≥2，n∈N*，得n＝3，所以n＝3时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为．
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