资源简介

　不等式
考点1　不等式的性质
常见的比较大小的方法
(1)作差法：作差与0作比较；
(2)作商法：作商与1作比较(注意分母的正负)；
(3)函数单调性法：根据函数单调性比较大小；
(4)中间值法：取中间值进行大小比较．
1．(教材改编)若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是(　　)
A．(－π，0) 　 B．(－π，π)
C． 　 D．
C　[由题得－<α<，－<－β<，∴－π<α－β<π，
又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0，
又－<α<，∴－π<2α－β<．故选C．]
2．(教材改编)已知6A．<< 　 B．21C．－12C　[对于A，由15对于B，由6对于C，由15对于D，因为＝＋1，又<<4，所以<<5，D错误．故选C．]
3．(教材改编)设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是(　　)
A．ac2>bc2 　 B．>
C．a2>ab>b2 　 D．>
C　[A选项，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，故A错误；
B选项，－＝＝，因为a>b>0，所以b－a<0，则－<0，故<，故B错误；
C选项，a>b>0两边同乘a得a2>ab，两边同乘b得ab>b2，故a2>ab>b2，故C正确；
D选项，因为a>b>0，所以ab>0，a>b>0两边同除以ab得>，故D错误．
故选C．]
4．(2024·山西太原模拟)已知2≤x＋y≤3，－2≤x－y≤－1，则3x＋y的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．[2，5]
D　[由题意4≤2x＋2y≤6，－2≤x－y≤－1，故4－2≤2x＋2y＋x－y≤6－1，
即2≤3x＋y≤5.故选D．]
5．若a＝＋，b＝－，c＝＋，则(　　)
A．a>c>b 　 B．a>b>c
C．c>b>a 　 D．b>c>a
A　[因为a－c＝－＋＝＝>0，所以a>c．
c－b＝－＋＝，因为(2＋)2－(2)2＝4－9＝－>0，且2＋>0，2>0，所以2＋>2，所以c－b>0，所以c>b.故a>c>b.故选A．]
6．(多选)已知aA．< 　 B．a2C．2a<2c 　 D．logc(－a)AC　[对于选项A：因为a对于选项B：例如a＝－1，c＝1，满足a对于选项C：因为y＝2x在R上单调递增，且a对于选项D：例如a＝－2，b＝－1，c＝2，满足a但logc(－a)＝log22＝1，logc(－b)＝log21＝0，即logc(－a)>logc(－b)，故D错误．
故选AC．]
考点2　基本不等式
基本不等式求最值的解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值；
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值；
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A＞0，B＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值．
提醒：解题时要注意 “一正、二定、三相等”．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
1．(教材改编)若x>0，y>0，且x＋y＝1，则xy的最大值是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．1
B　[由题意x＋y＝1≥2，解得xy≤，当且仅当x＝y＝时等号成立．
故选B．]
2．(教材改编)已知x>3，则y＝＋2x的最小值是(　　)
A．6 　 B．8
C．10 　 D．12
C　[由x－3>0，则y＝＋2(x－3)＋6≥2＋6＝10，
当且仅当x＝4时等号成立，故最小值为10．
故选C．]
3．(多选)(教材改编)下列命题中，为真命题的有(　　)
A． x>0，x＋≥2 　 B． x<0，x＋>－2
C． x>0，≥ 　 D． x<0，≤－
AD　[对于A，利用基本不等式可得 x>0，x＋≥2＝2，
当且仅当x＝1时，等号成立，所以A正确；
对于B， x<0，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，
即命题 x<0，x＋>－2不成立，所以B错误；
对于C，易知 x>0，＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以C错误；
对于D，易知当x＝－1时，＝－，即 x<0，≤－，所以D正确. 故选AD．]
4．(教材改编)今有一台坏天平，两臂长不等，左、右臂长分别是l1，l2，其余均精确，有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得质量分别为a，b(a≠b)，若真实质量为G，则下列结论中正确的为(　　)
A．＝G 　 B．C．>G 　 D．不能确定
C　[由题意可得Gl1＝al2，Gl2＝bl1，
∴G2＝ab，又a≠b，∴ab＜，
∴G2<，∴>G.故选C．]
5．(教材改编)若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的取值范围是(　　)
A．[6，＋∞) 　 B．[9，＋∞)
C．(0，6] 　 D．(0，9)
A　[因为a，b为正数，且ab＝a＋b＋3，
所以ab＝a＋b＋3≤，化简得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，
当且仅当a＝b＝3时取等号，所以a＋b的取值范围为[6，＋∞)，故选A．]
6．若a，b∈R，ab>0且a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)
A．2 　 B．3
C．4 　 D．5
A　[因为ab>0且a＋b＝2，所以a＞0，b>0，＋＝(a＋b)＝≥＝2，当且仅当＝，即a＝b＝1时等号成立，所以＋的最小值为2.故选A．]
7．(2024·山东滨州模拟)若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，4] 　 B．(－∞，4]
C． 　 D．(－∞，5]
B　[因为不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则 x∈[1，3]，a≤x＋成立，
而x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，因此a≤4，
所以实数a的取值范围是(－∞，4].故选B．]
8．(2024·广东湛江二模)当x>0，y>0时，≥．这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx＋μy≥xλyμ，其中λ＋μ＝1且λ>0，μ>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx＋μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作：×≈×10＋×9＝，则≈≈3.167.用这样的方法，可得的近似值为(　　)
A．3.033 　 B．3.035
C．3.037 　 D．3.039
C　[依题意，×≈×28＋×27＝，则≈≈3.037.故选C．]
9．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　)
A．y＝x2＋2x＋4 　 B．y＝|sin x|＋
C．y＝2x＋22-x 　 D．y＝ln x＋
C　[选项A：因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，
所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以选项A不符合题意．
选项B：因为y＝|sin x|＋≥2＝4，所以y≥4，当且仅当|sin x|＝，
即|sin x|＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立，
因此可知y＞4，所以选项B不符合题意．
选项C：因为y＝2x＋22-x≥2＝4，当且仅当2x＝22-x，即x＝2－x，即x＝1时不等式取等号，所以ymin＝4，所以选项C符合题意．
选项D：当0综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数，故选C．]
10．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 　 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 　 D．x2＋y2≥1
BC　[由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤，
即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－＝，
∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；
由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，
当且仅当x＝y时取等号，
∴x2＋y2≤2，故C正确，D错误．
故选BC．]
11．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)
A．＋有最小值4
B．有最大值
C．＋有最大值
D．a2＋b2有最小值
ACD　[因为a>0，b>0且a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2＝4，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，即ab的最大值为，所以＝ab≤，故A正确，B错误；
＋＝≤＝，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D正确．
故选ACD．]
12．已知x>1，y>0，且x＋＝2，则＋y的最小值是________．
3＋2　[由x＋＝2，得x－1＋＝1，
因为x>1，y>0，所以x－1>0，y>0，所以
＋y＝
＝3＋(x－1)y＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当(x－1)y＝，即x＝，y＝2＋时等号成立，所以＋y的最小值是3＋2．]
13．已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是________．
7　[法一：因为xy＋x－2y＝4，故(y＋1)x＝4＋2y，解得x＝＝2＋，
故2x＋y＝4＋＋(y＋1)－1
≥3＋2＝7，
当且仅当＝y＋1，即y＝1，x＝3时等号成立．
法二：因为xy＋x－2y＝4，则(x－2)(y＋1)＝2，且y＋1>0，故x－2>0，
故2x＋y＝2(x－2)＋(y＋1)＋3≥2＋3＝7，当且仅当2(x－2)＝y＋1，即y＝1，x＝3时等号成立．]
14．若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________．
2　[∵a>0，b>0，
∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，
当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立，
所以＋＋b的最小值为2．]
5 / 6　不等式
考点1　不等式的性质
常见的比较大小的方法
(1)作差法：作差与0作比较；
(2)作商法：作商与1作比较(注意分母的正负)；
(3)函数单调性法：根据函数单调性比较大小；
(4)中间值法：取中间值进行大小比较．
1．(教材改编)若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是(　　)
A．(－π，0) 　 B．(－π，π)
C． 　 D．
2．(教材改编)已知6A．<< 　 B．21C．－123．(教材改编)设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是(　　)
A．ac2>bc2 　 B．>
C．a2>ab>b2 　 D．>
4．(2024·山西太原模拟)已知2≤x＋y≤3，－2≤x－y≤－1，则3x＋y的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．[2，5]
5．若a＝＋，b＝－，c＝＋，则(　　)
A．a>c>b 　 B．a>b>c
C．c>b>a 　 D．b>c>a
6．(多选)已知aA．< 　 B．a2C．2a<2c 　 D．logc(－a)考点2　基本不等式
基本不等式求最值的解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值；
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值；
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A＞0，B＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值．
1．(教材改编)若x>0，y>0，且x＋y＝1，则xy的最大值是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．1
2．(教材改编)已知x>3，则y＝＋2x的最小值是(　　)
A．6 　 B．8
C．10 　 D．12
3．(多选)(教材改编)下列命题中，为真命题的有(　　)
A． x>0，x＋≥2 　 B． x<0，x＋>－2
C． x>0，≥ 　 D． x<0，≤－
4．(教材改编)今有一台坏天平，两臂长不等，左、右臂长分别是l1，l2，其余均精确，有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得质量分别为a，b(a≠b)，若真实质量为G，则下列结论中正确的为(　　)
A．＝G 　 B．C．>G 　 D．不能确定
5．(教材改编)若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的取值范围是(　　)
A．[6，＋∞) 　 B．[9，＋∞)
C．(0，6] 　 D．(0，9)
6．若a，b∈R，ab>0且a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)
A．2 　 B．3
C．4 　 D．5
7．(2024·山东滨州模拟)若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，4] 　 B．(－∞，4]
C． 　 D．(－∞，5]
8．(2024·广东湛江二模)当x>0，y>0时，≥．这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx＋μy≥xλyμ，其中λ＋μ＝1且λ>0，μ>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx＋μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作：×≈×10＋×9＝，则≈≈3.167.用这样的方法，可得的近似值为(　　)
A．3.033 　 B．3.035
C．3.037 　 D．3.039
9．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　)
A．y＝x2＋2x＋4 　 B．y＝|sin x|＋
C．y＝2x＋22-x 　 D．y＝ln x＋
10．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 　 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 　 D．x2＋y2≥1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)
A．＋有最小值4
B．有最大值
C．＋有最大值
D．a2＋b2有最小值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
12．已知x>1，y>0，且x＋＝2，则＋y的最小值是________．
13．已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是________．
14．若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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