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第5天　小题满分练(五)　
(满分73分　建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若抛物线y2＝ax的焦点坐标为(1，0)，则实数a的值为(　　)
A．－2　　 B．2　　
C．－4　　 D．4
D　[由题意，抛物线y2＝ax的焦点坐标为(1，0)，则＝1，解得a＝4.故选D．]
2．设z＝，则＝(　　)
A．1－2i 　 B．1＋2i
C．2－i 　 D．2＋i
B　[由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，
则＝1＋2i.故选B．]
3．已知三个单位向量a，b，c满足a＝b＋c，则向量b，c的夹角为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
C　[a2＝b2＋c2＋2b·c，即1＝1＋1＋2b·c，
∴b·c＝－，即1×1×cos 〈b，c〉＝－，
则cos 〈b，c〉＝－，
∵〈b，c〉∈[0，π]，∴b，c的夹角为．故选C．]
4．如图，一组数据x1，x2，x3，…，x9，x10的平均数为5，方差为，去除x9，x10这两个数据后，平均数为，方差为，则(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
D　[由题意可得＝5，x9＝1，x10＝9，则＝50，
∵x9，x10是波幅最大的两个点的值，则去除x9，x10这两个数据后，整体波动性减小，故．
故选D．]
5．已知m，n，l是空间中三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是(　　)
A．m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．m∥n且m⊥α，则n⊥α
C．m∥α，m⊥n，则n⊥α
D．α∥β，l α，n β，则l∥n
B　[对于A，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，故错误；
对于B，若m∥n且m⊥α，则n⊥α，故正确；
对于C，若m∥α，m⊥n，则n α或n∥α或n与α相交，故错误；
对于D，若α∥β，l α，n β，则l∥n或l与n异面，故错误．
故选B．]
6．已知角α，β均在(0，π)内，cos α＝，sin (α＋β)＝，则角β的值为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
C　[因为α，β∈(0，π)，且cos α＝，所以sin α＝＝，
因为sin(α＋β)＝，所以sin α>sin (α＋β)，所以α＋β为钝角，
所以cos (α＋β)＝－＝－，则cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝，且β∈(0，π)，则β＝．故选C．]
7．已知椭圆C：＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则下列说法不正确的是(　　)
A．C的离心率为
B．|PF1|的最小值为2
C．|PF1|·|PF2|的最大值为16
D．可能存在点P，使得∠F1PF2＝65°
D　[椭圆C：＋＝1的长半轴长a＝4，短半轴长b＝2，半焦距c＝＝2．
对于A，椭圆C的离心率e＝＝，A正确；
对于B，由得a－c≤|PF1|≤a＋c，因此|PF1|min＝a－c＝2，B正确；
对于C，|PF1|·|PF2|≤＝a2＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时取等号，C正确；
对于D，当P不在x轴上时，cos ∠F1PF2＝＝－1＝－1≥－1＝＝|PF2|＝4时取等号，
当P在x轴上时，cos ∠F1PF2＝1，上述不等式成立，因此∠F1PF2最大值为60°，D错误．
故选D．]
8．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为3，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为(　　)
A．12π 　 B．27π
C． 　 D．
D　[作出如图所示正四棱台，其中OO1为正四棱台的高，EE1为其斜高，
因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为3，则B1O1＝，BO＝4，OO1＝＝3，因为OO1＝3>＝5，故半径最大的球不与上下底面同时相切，EE1＝＝6，则sin ∠OEE1＝＝，则∠OEE1＝，
过O，E，E1，O1作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则∠O2EO＝，则OO2＝＝<＝，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，
即该正四棱台内半径最大的球半径r＝，球的表面积为S＝4πr2＝π．
故选D．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知P(A)＝＝．若随机事件A，B相互独立，则(　　)
A．P(B)＝ 　 B．P(AB)＝
C．P＝　 D．P＝
BCD　[对B，P(B∣A)＝＝＝，
∴P(AB)＝，B正确；
对A，P(AB)＝P(A)P(B)＝P(B)，∴P(B)＝，A错误；
对C，P＝PP(B)＝×＝，
P＝＝＝，C正确；
对D，P＝P(A)＋P－P
＝P(A)＋P－P(A)P＝＋－×＝，D正确．
故选BCD．]
10．已知函数f (x)＝2sin ＋3，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)的值域为[1，5]
B．f (x)的对称中心为，k∈Z
C．f (x)在上的单调递增区间为
D．f (x)在上的极值点个数为1
ACD　[对于A，因为2sin∈[－2，2]，所以f (x)＝2sin＋3∈[1，5]，故A正确；
对于B，f ＝2sin＋3＝3≠0，k∈Z，故B错误；
对于C，x∈时，t＝2x－∈，且t关于x单调递增，
又y＝2sin t＋3在t∈时单调递增，
令2x1－＝－，2x2－＝，解得x1＝0，x2＝，
所以f (x)在上的单调递增区间为，故C正确；
对于D，x∈时，t＝2x－∈，
y＝2sin t＋3在t∈时，当且仅当t＝2x－＝，即x＝时，函数f (x)有唯一极值点，故D正确．故选ACD．]
11．已知2a＝，log2b＝，则(　　)
A．a＋2a＝b＋2－b 　 B．a＋b＝2b＋2－a
C．2b＋1> 　 D．2a>
AD　[对A，由图可知，y＝2x与y＝图象的交点A(a，2a)(0y＝log2x与y＝图象的交点B(b，2－b)(b>1)，
根据指数函数与对数函数为一对反函数知A，B关于y＝x对称，
故a＋2a＝b＋2－b，故A正确；
对B，由选项A知a＋b＝2－b＋2a，故B错误；
对C，由a＝2－b知2b＝，则2b＋1＝＋1，
设f (x)＝ex－x－1，x∈R，
则f ′(x)＝ex－1，则当x∈(－∞，0)时，f ′(x)<0，此时f (x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，此时f (x)单调递增，
则f (x)≥f (0)＝0，则ex－x－1≥0恒成立，即x＋1≤ex，当x＝0时取等号，
令x＝，则有＋1≤，因为≠0，则＋1<，即2b＋1<，故C错误；
对D，设h(x)＝ln x＋1－x，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝，则当x∈(0，1)时，h′(x)>0，此时h(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，此时h(x)单调递减，
则h(x)≤h(1)＝0，即ln x＋1－x≤0在(0，＋∞)上恒成立，
即ln x≤x－1在(0，＋∞)上恒成立，当x＝1时取等号，
令x＝，则ln ≤－1，即ln b≥1－，因为b>1，则ln b>1－，则b>，
故2a＝b>，故D正确．
故选AD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若f (x)＝(x－1)2＋ax＋sin 为偶函数，则a＝ ________．
2　[因为f (x)＝(x－1)2＋ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋cos x为偶函数，定义域为R，
所以f ，即－a＋＋a＋cos ，
则πa＝＝2π，故a＝2，
此时f (x)＝(x－1)2＋2x＋cos x＝x2＋1＋cos x，
所以f (－x)＝(－x)2＋1＋cos (－x)＝x2＋1＋cos x＝f (x)，
又定义域为R，故f (x)为偶函数，所以a＝2．]
13．已知正四棱锥P-ABCD的顶点均在球O的表面上．若正四棱锥的体积为1，则球O体积的最小值为________．
　[设球O的半径为R，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为h，r．
如图，球心在正四棱锥内时，由＋O1B2＝OB2，可得(h－R)2＋r2＝R2，
即h2－2Rh＋r2＝0(*)．
球心在正四棱锥外时，也能得到(*)式．
又正四棱锥的体积为·2r2h＝1，则r2＝，代入(*)式可得R＝＋．
通过对关于h的函数R(h)求导，即R′(h)＝－，
易得函数R(h)在上单调递减，在上单调递增，
则R(h)min＝R．故球O的体积的最小值为πR3＝π．]
14．若正整数集N*的非空子集T满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称T为数集N*的超子集．对于集合An＝{1，2，3，…，n}(n∈N*，n≥3)，记An的超子集的个数为an，则a5＝________，an与an－1，an－2(n≥5)的关系为________．
7　an＝an－1＋an－2＋n－2(n≥5)　[由题意知，A3＝{1，2，3}，则超子集只有{1，3}，所以a3＝1；
A4＝{1，2，3，4}，则超子集有{1，3}，{1，4}，{2，4}，所以a4＝3；
A5＝{1，2，3，4，5}，则超子集有{1，3}，{1，4}，{2，4}，{1，5}，{2，5}，{3，5}，{1，3，5}，所以a5＝7．
由此可以分析，对于An＝{1，2，3，…，n}(n∈N*，n≥3)，An的超子集可以分为两类：
第一类是超子集中不含n，这类超子集有an－1个；
第二类是超子集中含n，这类超子集同样也包含两类，一类在{1，2，3，…，n－2}中取一个元素，个数为n－2；
另一类在{1，2，3，…，n－2}中取两个或两个以上元素，任意两个元素之差的绝对值大于1，个数为an－2，
所以an＝an－1＋an－2＋n－2(n≥5)．]
8 / 8第5天　小题满分练(五)
(满分73分　建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若抛物线y2＝ax的焦点坐标为(1，0)，则实数a的值为(　　)
A．－2　　 B．2　　
C．－4　　 D．4
2．设z＝，则＝(　　)
A．1－2i 　 B．1＋2i
C．2－i 　 D．2＋i
3．已知三个单位向量a，b，c满足a＝b＋c，则向量b，c的夹角为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
4．如图，一组数据x1，x2，x3，…，x9，x10的平均数为5，方差为，去除x9，x10这两个数据后，平均数为，方差为，则(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
5．已知m，n，l是空间中三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是(　　)
A．m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．m∥n且m⊥α，则n⊥α
C．m∥α，m⊥n，则n⊥α
D．α∥β，l α，n β，则l∥n
6．已知角α，β均在(0，π)内，cos α＝，sin (α＋β)＝，则角β的值为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
7．已知椭圆C：＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则下列说法不正确的是(　　)
A．C的离心率为
B．|PF1|的最小值为2
C．|PF1|·|PF2|的最大值为16
D．可能存在点P，使得∠F1PF2＝65°
8．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为3，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为(　　)
A．12π 　 B．27π
C． 　 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知P(A)＝＝．若随机事件A，B相互独立，则(　　)
A．P(B)＝ 　 B．P(AB)＝
C．P＝　 D．P＝
10．已知函数f (x)＝2sin ＋3，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)的值域为[1，5]
B．f (x)的对称中心为，k∈Z
C．f (x)在上的单调递增区间为
D．f (x)在上的极值点个数为1
11．已知2a＝，log2b＝，则(　　)
A．a＋2a＝b＋2－b 　 B．a＋b＝2b＋2－a
C．2b＋1> 　 D．2a>
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若f (x)＝(x－1)2＋ax＋sin 为偶函数，则a＝ ________．
13．已知正四棱锥P-ABCD的顶点均在球O的表面上．若正四棱锥的体积为1，则球O体积的最小值为________．
14．若正整数集N*的非空子集T满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称T为数集N*的超子集．对于集合An＝{1，2，3，…，n}(n∈N*，n≥3)，记An的超子集的个数为an，则a5＝________，an与an－1，an－2(n≥5)的关系为________．
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