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解答三角函数问题
(对应学生用书第12页)
阅卷案例 四字解题
(2024·新高考Ⅰ卷，T15，13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 读 a2＋b2－c2＝ab，sin C＝cos B △ABC的面积为3＋，求c
想 余弦定理及其推论 三角形的面积公式
算 求C，sin C，cos B，B 用c表示三角形的面积思
思 转化与化归 函数与方程
规范解答 满分心得
[解]　(1)因为a2＋b2－c2＝ab， 切入点 所以在△ABC中，由余弦定理的推论，得 cos C＝，··········1分 因为C∈(0，π)，所以C＝， 失分点·······2分 从而sin C＝，················3分 又sin C＝cos B，所以cos B＝，········4分 因为B∈(0，π)，所以B＝. 失分点········5分 (2)因为B＝，C＝，从而A＝π－，···6分 所以sin A＝sin ＝sin ＝×＋×＝，····················7分 由正弦定理，得＝＝，········8分 从而a＝·c＝c，b＝·c＝c，·10分 所以S△ABC＝ab sin C＝·c·c·＝c2，11分 又△ABC的面积为3＋，故c2＝3＋，即c2＝8， ······················12分 所以c＝2．················13分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问，只要列出＝＝即得1分． 得关键分：解题过程中的关键点，有则给分， 无则没分， 如第(1)问中说明C∈(0，π)，从而C＝，不说明C∈(0，π)，要扣分；同理，不说明B∈(0，π)，要扣分． 得计算分：计算准确是得满分的保证． 1．高考阅卷采用踩点计分的方式，尽量“能得尽得”！ 2．体会转化与化归及函数与方程思想，总结解三角形的求解策略．
§1　三角函数的概念、三角恒等变换
【备考指南】　三角函数的概念、三角恒等变换是高考的两个核心命题点，难度中等或偏下．其中三角函数的诱导公式与和(差)公式是化简、求值的根本，三角函数的概念是建立三角函数模型的依据，转化与化归是三角恒等变换的重要方法．
基础考点1　三角函数的概念、诱导公式
【典例1】　(1)(2024·北京朝阳二模)在平面直角坐标系Oxy中，锐角α以O为顶点，Ox为始边．将α的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点P(x，y)，若cos α＝，则y＝(　　)
A．－ 　 B．－
C． 　 D．
(2)(2024·河南开封模拟)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin ＝(　　)
A．－ 　 B．
C．－　 D．
(3)(多选)(2023·四省联考)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x(x≥0)与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为(　　)
A．
B．
C．
D．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三角函数的概念及应用
(1)已知角α终边上一点P的坐标，利用三角函数的定义，可以求出角α的三角函数值；
(2)匀速圆周运动综合考查了三角函数的定义、三角函数的周期性、三角函数建模等知识.
1．(2024·江苏徐州一模)若角θ的终边经过两点(x，2)，(－1，y)，则xy＝(　　)
A．2 　 B．－2
C．－1 　 D．1
2．(教材改编)若α是第二象限角，则(　　)
A．cos (－α)>0 　 B．tan >0
C．sin (π＋α)>0 　 D．cos (π－α)<0
3．(2024·广东东莞模拟)在平面直角坐标系Oxy中，半径为2的圆O与y轴非负半轴的交点为P0，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动，则2 s时点P的坐标为(　　)
A．(2cos (－2)，2sin (－2))
B．(2cos 2，2sin 2)
C．(2sin (－2)，2cos (－2))
D．(2sin 2，2cos 2)
基础考点2　三角恒等变换
【典例2】　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　)
A．－3m　　 　 B．－　　
C．　　 　 D．3m
(2)(2024·九省联考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝(　　)
A． 　 B．
C．1 　 D．
(3)(2024·全国甲卷)已知＝，则＝(　　)
A．2＋1　　　　　 B．2－1
C． 　 D．1－
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三角恒等变换的目的和策略
(1)目的：统一角、统一函数、统一结构；
(2)策略：复角化单角、弦切互化、万能公式及升降幂公式．
1．(多选)(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P(3，4)，则(　　)
A．cos 2θ＝－ 　 B．tan 2θ＝－
C．cos ＝ 　 D．tan ＝
2．(2024·广东江门模拟)如图，α，β是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则α＋β＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
3．(2024·湖南衡阳二模)已知α∈，cos ＝，则tan α＝(　　)
A．　　 B．　　
C．2　　 D．4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．(tan 10°－)·＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．(2024·浙江宁波十校联考)若sin ＝，则cos ＝________．
1 / 1解答三角函数问题
阅卷案例 四字解题
(2024·新高考Ⅰ卷，T15，13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 读 a2＋b2－c2＝ab，sin C＝cos B △ABC的面积为3＋，求c
想 余弦定理及其推论 三角形的面积公式
算 求C，sin C，cos B，B 用c表示三角形的面积思
思 转化与化归 函数与方程
规范解答 满分心得
[解]　(1)因为a2＋b2－c2＝ab， 切入点 所以在△ABC中，由余弦定理的推论，得 cos C＝，··········1分 因为C∈(0，π)，所以C＝， 失分点·······2分 从而sin C＝，················3分 又sin C＝cos B，所以cos B＝，········4分 因为B∈(0，π)，所以B＝. 失分点·······5分 (2)因为B＝，C＝，从而A＝π－，···6分 所以sin A＝sin ＝sin ＝×＋×＝，····················7分 由正弦定理，得＝＝，········8分 从而a＝·c＝c，b＝·c＝c，·10分 所以S△ABC＝ab sin C＝·c·c·＝c2，11分 又△ABC的面积为3＋，故c2＝3＋，即c2＝8， ······················12分 所以c＝2．················13分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问，只要列出＝＝即得1分． 得关键分：解题过程中的关键点，有则给分， 无则没分， 如第(1)问中说明C∈(0，π)，从而C＝，不说明C∈(0，π)，要扣分；同理，不说明B∈(0，π)，要扣分． 得计算分：计算准确是得满分的保证． 1．高考阅卷采用踩点计分的方式，尽量“能得尽得”！ 2．体会转化与化归及函数与方程思想，总结解三角形的求解策略．
§1　三角函数的概念、三角恒等变换
【备考指南】　三角函数的概念、三角恒等变换是高考的两个核心命题点，难度中等或偏下．其中三角函数的诱导公式与和(差)公式是化简、求值的根本，三角函数的概念是建立三角函数模型的依据，转化与化归是三角恒等变换的重要方法．
基础考点1　三角函数的概念、诱导公式
【典例1】　(1)(2024·北京朝阳二模)在平面直角坐标系Oxy中，锐角α以O为顶点，Ox为始边．将α的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点P(x，y)，若cos α＝，则y＝(　　)
A．－ 　 B．－
C． 　 D．
(2)(2024·河南开封模拟)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin ＝(　　)
A．－ 　 B．
C．－　 D．
(3)(多选)(2023·四省联考)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x(x≥0)与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为(　　)
A．
B．
C．
D．
(1)D　(2)D　(3)ABD　[(1)如图，由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝，所以y＝sin＝(sin α＋cos α)＝×＝．故选D．
(2)因为sin ＝，－cos ＝－，故角α的终边经过点P，所以sin ＝cos α＝＝．故选D．
(3)由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为，设点P的初始位置为P1，则∠Q1OP1＝，设t时刻两点重合，则5t－2t＝＋2kπ(k∈N)，
即t＝＋π(k∈N)，
此时点Q，
即Q，
当k＝0时，Q，故A正确；
当k＝1时，Q，
即Q，故B正确；
当k＝2时，Q，即Q，故D正确．
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合．
故选ABD．]
三角函数的概念及应用
(1)已知角α终边上一点P的坐标，利用三角函数的定义，可以求出角α的三角函数值；
(2)匀速圆周运动综合考查了三角函数的定义、三角函数的周期性、三角函数建模等知识.
1．(2024·江苏徐州一模)若角θ的终边经过两点(x，2)，(－1，y)，则xy＝(　　)
A．2 　 B．－2
C．－1 　 D．1
B　[角θ的终边经过两点(x，2)，(－1，y)，则tan θ＝＝，所以xy＝－2．
故选B．]
2．(教材改编)若α是第二象限角，则(　　)
A．cos (－α)>0 　 B．tan >0
C．sin (π＋α)>0 　 D．cos (π－α)<0
B　[若α是第二象限角，则cos (－α)＝cos α<0，
故A错误； 为第一或第三象限角，则tan >0，故B正确； sin (π＋α)＝－sin α<0，故C错误；
cos (π－α)＝－cos α>0，故D错误．故选B．]
3．(2024·广东东莞模拟)在平面直角坐标系Oxy中，半径为2的圆O与y轴非负半轴的交点为P0，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动，则2 s时点P的坐标为(　　)
A．(2cos (－2)，2sin (－2))
B．(2cos 2，2sin 2)
C．(2sin (－2)，2cos (－2))
D．(2sin 2，2cos 2)
D　[设P(x，y)，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动，
则经过2 s所走过圆心角的弧度数为1×2＝2，所以P点是α＝－2的终边与半径为2的圆O的交点，根据三角函数的定义可得，
sin α＝sin ＝cos 2＝，即y＝2cos 2，
cos α＝cos ＝sin 2＝，即x＝2sin 2.故选D．]
基础考点2　三角恒等变换
【典例2】　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　)
A．－3m　　 　 B．－　　
C．　　 　 D．3m
(2)(2024·九省联考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝(　　)
A． 　 B．
C．1 　 D．
(3)(2024·全国甲卷)已知＝，则＝(　　)
A．2＋1　　　　　 B．2－1
C． 　 D．1－
(1)A　(2)A　(3)B　[(1)因为cos (α＋β)＝m，
所以cos αcos β－sin αsin β＝m，
而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，
故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，
从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m．
故选A．
(2)由题θ∈，tan 2θ＝－4tan ，
得＝ －4(tan θ＋1)2＝2tan θ，
则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0 tan θ＝－2或tan θ＝－，
因为θ∈，所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－，
所以＝＝＝＝．故选A．
(3)因为＝，所以＝ tan α＝1－，
所以tan ＝＝2－1．
故选B．]
三角恒等变换的目的和策略
(1)目的：统一角、统一函数、统一结构；
(2)策略：复角化单角、弦切互化、万能公式及升降幂公式．
1．(多选)(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P(3，4)，则(　　)
A．cos 2θ＝－ 　 B．tan 2θ＝－
C．cos ＝ 　 D．tan ＝
ABD　[因为角θ的终边过点P(3，4)，
所以cos θ＝＝，sin θ＝＝，tan θ＝，
所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－，
tan2θ＝＝＝－，故A和B正确；
因为2kπ<θ<2kπ＋(k∈Z)，
所以kπ<所以tan >0，但cos >0或cos <0均满足题意，故C错误；
由tan θ＝＝，得2tan2 ＋3tan －2＝0，
解得tan ＝－2(舍去)或tan ＝，故D正确．
故选ABD．]
2．(2024·广东江门模拟)如图，α，β是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则α＋β＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
B　[由题意及图得，tan α＝，tan β＝，
∴tan (α＋β)＝＝＝1．
∵α∈，β∈，α＋β∈(0，π)，
∴α＋β＝．故选B．]
3．(2024·湖南衡阳二模)已知α∈，cos ＝，则tan α＝(　　)
A．　　 B．　　
C．2　　 D．4
A　[由cos ＝，得sin 2α＝，
所以2sin αcos α＝ ＝ tan α＝4或tan α＝．
又α∈，所以04．(tan 10°－)·＝________．
－2　[(tan 10°－)·
＝(tan 10°－tan 60°)·
＝
＝＝－2．]
5．(2024·浙江宁波十校联考)若sin ＝，则cos ＝________．
　[令θ－＝t，则sin t＝，
所以cos ＝cos＝cos (2t＋π)
＝－cos 2t＝2sin2t－1＝2×－1＝．]
专题限时集训(三)　三角函数的概念、三角恒等变换
一、单项选择题
1．(2024·湖南邵阳二模)已知α为锐角，若sin α＝，则cos 2＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
A　[因为α为锐角，sin α＝，
则cos α＝＝，
所以cos2 ＝＝．
故选A．]
2．(2024·河北张家口模拟)已知cos (π＋θ)＝－，θ是第四象限角，则tan ＝(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
D　[由cos (π＋θ)＝－，可得－cos θ＝－，故cos θ＝，
由于θ是第四象限角，故sin θ＝－，
∴tan ＝＝＝＝－．故选D．]
3．(2024·河南开封二模)已知sin x＋cos x＝，则cos ＝(　　)
A．－ 　 B．
C． 　 D．－
D　[∵sin x＋cos x＝，∴(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x＝，
∴sin 2x＝－，∴cos ＝sin 2x＝－．
故选D．]
4．在平面直角坐标系Oxy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细线的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为(　　)
A． 　 B．
C．2 　 D．
D　[展开过程中，BM＝＝φ·R＝2，
BO＝1，MO＝＝．
故选D．]
5．设sin 23°＝m，则tan 67°＝(　　)
A．－ 　 B．
C． 　 D．
D　[∵sin 23°＝m，
∴cos 67°＝m，∴sin 67°＝，
∴tan 67°＝，
∵sin 23°＝m>0，
∴tan 67°＝＝．
故选D．]
6．(教材改编)已知tan α＝3，则sin2α＋sin2α＝(　　)
A．－ 　 B．
C． 　 D．－
B　[因为tan α＝3，
所以sin2α＋sin 2α＝sin2α＋2sin αcos α
＝＝．
故选B．]
7．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　)
A． 　 B．
C．－ 　 D．－
B　[∵sin (α－β)＝，
∴sin αcos β－cos αsin β＝，
∴sin αcos β＝＋cos αsin β＝＋＝，
∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，
则cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝．故选B．]
8．(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos(α－β)＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
A　[因为cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，
所以
解得
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝．故选A．]
二、多项选择题
9．(2024·浙江绍兴三模)若＝1，则(　　)
A．tan x＝2 　 B．sin x＝
C．tan 2x＝ 　 D．sin 2x＝
AD　[因为＝＝1，所以tan x＝2，A选项正确；
由＝2，sin2x＋cos2x＝1，解得sin x＝±，B选项错误；
tan 2x＝＝＝－，C选项错误；
由＝2，sin2x＋cos2x＝1，所以sin2x＝，sin2x＝2sin x cos x＝sin2x＝，D选项正确．故选AD．]
10．(2024·河北保定二模)一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数．下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；
③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记作csc α，即＝csc α；
④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记作sec α，即＝sec α．
下列结论正确的有(　　)
A．csc ＝－
B．cos α·sec α＝1
C．函数f (x)＝csc x的定义域为
D．sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α≥5
ABD　[csc＝＝－，A正确；
cos α·sec α＝cos α·＝1，B正确；
函数f (x)＝csc x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，C错误；
sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α＝1＋＝1＋＝1＋≥5，
当sin2α＝±1时，等号成立，D正确．故选ABD.]
11．(2024·浙江温州二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(－3，4)为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，则(　　)
A．cos (π＋α)＝
B．β＝2kπ＋＋2α(k∈Z)
C．tan β＝
D．角β的终边在第一象限
ACD　[因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，4)，
所以OP＝5，sin α＝，cos α＝－，
所以cos (π＋α)＝－cos α＝，故A正确；
又sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝－，
所以2α的终边与单位圆的交点坐标为．
因为角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，所以角β的终边与单位圆的交点坐标为，
所以tan β＝，且β的终边在第一象限，故CD正确；
因为终边在直线y＝－x的角为kπ－，k∈Z，角2α的终边与角β的终边关于y＝－x对称，
所以＝kπ－ β＝2kπ－－2α(k∈Z)，故B错误．故选ACD．]
三、填空题
12．(2024·广东广州二模)已知复数z＝(θ∈R)的实部为0，则tan 2θ＝________．
　[∵复数z＝
＝
＝的实部为0，∴2cos θ＋sin θ＝0，
∴tan θ＝－2．
∴tan 2θ＝＝＝．]
13．(2024·江苏南京一模)已知α，β∈，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan α＋tan β＝________．
　[由题可知sin α－sin β＝－cos α＋cos β，
所以sin α＋cos α＝sin β＋cos β，
所以sin ＝sin ，
因为α，β∈，
所以α＋∈，β＋∈，
又α≠β，所以α＋＋β＋＝π，
故α＋β＝，
所以sin α－sin β＝sin α－cos α＝－，
两边平方后得sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝，
故sin αcos α＝，
tan α＋tan β＝tan α＋＝＋＝＝．]
14．(2024·福建莆田模拟)正五角星的每个内角都是36°，利用三角恒等变换可以求得cos 36°的值．具体步骤如下：先利用sin 3α＝sin (2α＋α)可求得sin 3α＝________(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°＝________．
3sin α－4sin3α　　[sin 3α＝sin (2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α＝2sin αcos2α＋(1－2sin2α)sin α＝2sin α(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sin α＝3sin α－4sin3α．
因为sin72°＝sin 108°，
从而2sin 36°cos 36°＝3sin 36°－4sin336°，
即2cos36°＝3－4sin236°＝3－4，
令cos36°＝x>0，则4x2－2x－1＝0，
解得x＝或x＝(舍去)．
所以cos 36°＝．]
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