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重点培优练2　三角函数中ω，φ的范围问题
三角函数中ω，φ的范围求解问题是高考的重点和热点问题之一，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，解决这类问题的一般思路是利用“团体”思想，数形结合求解.
1．(2024·浙江杭州二模)设甲：“函数f (x)＝2sin ωx在上单调递增”，乙：“0<ω≤2”，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件　　　
D．既不充分也不必要条件
A　[若“函数f (x)＝2sin ωx在上单调递增”，则ω>0，由－≤ωx≤，得－≤x≤，则解得0<ω≤．
所以甲是乙的充分不必要条件．故选A．]
2．(2024·江苏淮安模拟)已知函数f (x)＝2cos －(ω>0)在上恰有2个零点，则ω的取值范围为(　　)
A．[18，22)　 B．[22，42)
C．(18，22] 　 D．(22，42]
B　[因为x∈，
所以ωx＋∈．
令2cos －＝0，则cos ＝．
因为f (x)＝2cos －在上恰有2个零点，所以≤＋<，解得22≤ω<42．
故ω的取值范围为[22，42)，故选B．]
3．(2024·浙江温州一模)若函数f (x)＝2sin (ω>0)，x∈的值域为，则ω的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
D　[由x∈，得ωx－∈．
显然当x＝0时，可得2sin ＝－，
由f (x)的值域为，利用三角函数图象性质可得≤ω－≤＋π，解得≤ω≤，即ω的取值范围是.故选D．]
4．(2024·河北唐山二模)函数f (x)＝sin (2x－φ)在上单调递增，则φ的取值范围为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
C　[由x∈，可得2x－φ∈，
又|φ|≤，则≤－φ≤，且f (x)在上单调递增，所以解得≤φ≤，即φ的取值范围为.故选C．]
5．(2024·广东六校联考)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)，若对任意φ∈R，f (x)在上有零点，则ω的取值范围为(　　)
A．(0，＋∞) 　 B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) 　 D．(3，＋∞)
C　[由x∈，可得ωx＋φ∈，
令t＝ωx＋φ，因为对任意φ∈R，f (x)在上有零点，
则sin t＝0在上有解，
又因为sin t＝0在[a，b]内有解的最短区间长度为b－a＝π，所以＋φ－φ>π，解得ω>2．
故选C．]
6．已知函数f (x)＝sin (ω∈N)在上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值是________．
3或4　[由x∈，得ωx＋∈，
画出函数y＝sin x的图象，如图，
由图可知，<＋≤，解得<ω≤．
因为ω∈N，所以ω＝3或ω＝4．]
7．(2024·山东烟台一模)若函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0，2π]上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数ω的取值范围为________．
　[依题意，函数f (x)＝2sin －1，由f (x)＝0，得sin ＝，
则ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋，k∈Z，
由x∈[0，2π]，得ωx＋∈，由f (x)在[0，2π]上恰有5个零点，
得≤2πω＋<，解得≤ω<，
由－≤ωx＋≤，得－≤x≤，
即函数f (x)在上单调递增，
因此 ，即－≤－，且≥，解得0<ω≤，
所以正实数ω的取值范围为≤ω≤．]
8．(2024·福建厦门二模)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)在上单调，f ＝f ＝－f ，则ω的可能取值为________．
，，　[设f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的周期为T，函数f (x)在上单调，
故T＝≥2＝π，∴0<ω≤2．
由f ＝－f 以及函数f (x)在上单调，得f ＝f ＝0，
由f ＝f ，－＝，T≥π，得＝T或＝－＋或＝－＋，
若＝T，则＝，∴ω＝；
若＝－＋，则＝－＋，∴ω＝；
若＝－＋，则＝－＋，∴ω＝．
故ω的可能取值为，，．]
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三角函数中ω，φ的范围求解问题是高考的重点和热点问题之一，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，解决这类问题的一般思路是利用“团体”思想，数形结合求解.
1．(2024·浙江杭州二模)设甲：“函数f (x)＝2sin ωx在上单调递增”，乙：“0<ω≤2”，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件　　　
D．既不充分也不必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(2024·江苏淮安模拟)已知函数f (x)＝2cos －(ω>0)在上恰有2个零点，则ω的取值范围为(　　)
A．[18，22)　 B．[22，42)
C．(18，22] 　 D．(22，42]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．(2024·浙江温州一模)若函数f (x)＝2sin (ω>0)，x∈的值域为，则ω的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．(2024·河北唐山二模)函数f (x)＝sin (2x－φ)在上单调递增，则φ的取值范围为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．(2024·广东六校联考)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)，若对任意φ∈R，f (x)在上有零点，则ω的取值范围为(　　)
A．(0，＋∞) 　 B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) 　 D．(3，＋∞)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．已知函数f (x)＝sin (ω∈N)在上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值是________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．(2024·山东烟台一模)若函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0，2π]上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数ω的取值范围为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．(2024·福建厦门二模)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)在上单调，f ＝f ＝－f ，则ω的可能取值为________．
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