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重点培优练9　圆锥曲线中的非对称韦达定理问题
在圆锥曲线解答题中，我们通常利用根与系数的关系(韦达定理)x1＋x2，x1·x2整体代入的方法来处理类似，＋，x1y2＋x2y1等对称结构问题．对于解题中遇到的类似于，λx1＋μx2，这种系数不对称的结构，发现不能直接应用根与系数的关系，这类问题叫做“非对称韦达定理问题”，处理这类问题常用两种方法，一是和积转换法，二是配凑半代换法．
1．点A，B是椭圆E：＋＝1的左、右顶点，若直线l：y＝k(x－1)与椭圆E交于M，N两点，求证：直线AM与直线BN的交点在一条定直线上．
[证明]　由条件知，A(－2，0)，B(2，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＞0，x1＋x2＝，x1x2＝，
直线AM：y＝(x＋2)，
直线BN：y＝(x－2)．
联立得，x＝．
法一：配凑半代换
即x＝
＝
＝＝＝4．
故直线AM与直线BN的交点在定直线x＝4上.
法二：和积转换
分离常数得：x1＋x2＝＝2－，x1x2＝＝1－．
则有x1x2＝(x1＋x2)－4．
代入得x＝
＝2×＝4．
故直线AM与直线BN的交点在定直线x＝4上．
2．已知点F为椭圆E：＋＝1的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆E交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为k1，k2，证明为定值．
[证明]　法一：积化和(变量y)
由题意得，A(－2，0)，B(2，0)．
设l：x＝ty＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则k1＝， k2＝，
联立
消去x，得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0，且Δ>0，
则
所以ty1y2＝(y1＋y2)，代入得，＝＝＝＝，为定值，得证．
法二：配凑半代换(变量y)
由题意得，A(－2，0)，B(2，0)．
设l：x＝ty＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则k1＝，k2＝，
联立
消去x，得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0，且Δ>0，
则
因此＝＝＝＝，得证．
法三：积化和(变量x)
当直线l斜率存在时，不妨设直线l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立
消去y，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，且Δ＞0，
所以
因此x1x2＝(x1＋x2)－4，
所以＝＝＝，为定值．
当直线l斜率不存在时，即l：x＝1，亦可求得＝．
综上，得证．
法四：配凑半代换(变量x)
当直线l斜率存在时，不妨设直线l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立
消去y，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，且Δ＞0，
所以
所以＝，
即＝＝＝，为定值．
当直线l的斜率不存在时，即l：x＝1，亦可求得＝．
综上，得证．
3．已知A1，A2分别是离心率e＝的椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，P是椭圆E的上顶点，且·＝－1．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若动直线l过点(0，－4)，且与椭圆E交于A，B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线AM恒过定点．
[解]　(1)由题意得A1(－a，0)，A2(a，0)，P(0，b)，
则·＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－c2＝－1，所以c＝1．
又所以a＝，b＝1．
所以椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx－4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M(－x2，y2)，
由
消去y，得(1＋2k2)x2－16kx＋30＝0．
由Δ＝(－16k)2－120(1＋2k2)>0，得k2>，
所以x1＋x2＝，x1x2＝．
kAM＝＝＝，
直线AM的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝y1＋(x－x1)
＝kx1－4＋(x－x1)
＝
＝
＝x＋－4，
因为x1＋x2＝，x1x2＝，
所以－4＝－4＝－，
直线AM的方程可化为y＝x－，则直线AM恒过定点．
当直线l的斜率不存在时，直线AM也过点．
综上知，直线AM恒过定点．
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(3，－1)在双曲线C上．过C的左焦点F作直线l交C的左支于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若M(－2，0)，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由；
(3)点P(－4，2)，直线AP交直线x＝－2于点Q.设直线QA，QB的斜率分别k1，k2，求证：k1－k2为定值．
[解]　(1)由题意，双曲线C：－＝1的离心率为，且点(3，－1)在双曲线C上，
可得解得a2＝8，b2＝8，所以双曲线C的方程为－＝1．
(2)双曲线C的左焦点为F(－4，0)，
当直线l的斜率为0时，此时直线为y＝0，与双曲线C的左支只有一个交点，不符合题意，舍去；
当直线l的斜率不为0时，设l：x＝my－4，
联立方程组消去x，得(m2－1)y2－8my＋8＝0，易得Δ>0，
由于过点F作直线l交C的左支于A，B两点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝<0，可得－1因为＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)，
则·＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝
＝(m2＋1)y1y2－2m(y1＋y2)＋4＝－＋4＝－4，
即·≠0，可得MA与MB不相互垂直，
所以不存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上．
(3)证明：由题意知l：x＝my－4(m≠0)，与双曲线方程联立，可得(m2－1)y2－8my＋8＝0，Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则y1＋y2＝，y1y2＝，由直线AP：y－2＝k1(x＋4)，得Q(－2，2＋2k1)，
所以k2＝＝，又k1＝kPA＝＝，
所以k1－k2＝－
＝
＝，
因为k1＝，所以k1my1＝y1－2，且y1＋y2＝my1y2，
所以k1－k2＝＝＝－2，
即k1－k2为定值．
5 / 6重点培优练9　圆锥曲线中的非对称韦达定理问题
在圆锥曲线解答题中，我们通常利用根与系数的关系(韦达定理)x1＋x2，x1·x2整体代入的方法来处理类似，＋，x1y2＋x2y1等对称结构问题．对于解题中遇到的类似于，λx1＋μx2，这种系数不对称的结构，发现不能直接应用根与系数的关系，这类问题叫做“非对称韦达定理问题”，处理这类问题常用两种方法，一是和积转换法，二是配凑半代换法．
1．点A，B是椭圆E：＋＝1的左、右顶点，若直线l：y＝k(x－1)与椭圆E交于M，N两点，求证：直线AM与直线BN的交点在一条定直线上．
2．已知点F为椭圆E：＋＝1的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆E交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为k1，k2，证明为定值．
3．已知A1，A2分别是离心率e＝的椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，P是椭圆E的上顶点，且·＝－1．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若动直线l过点(0，－4)，且与椭圆E交于A，B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线AM恒过定点．
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(3，－1)在双曲线C上．过C的左焦点F作直线l交C的左支于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若M(－2，0)，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由；
(3)点P(－4，2)，直线AP交直线x＝－2于点Q.设直线QA，QB的斜率分别k1，k2，求证：k1－k2为定值．
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