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高考热点集训(六)　函数、导数和不等式
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024·北京门头沟一模)下列函数中， 既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ 　 B．y＝
C．y＝tan x 　 D．y＝x|x|
2．(2024·广东江门模拟)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝(　　)
A．－2 　 B．－1
C．1 　 D．2
3．(教材改编)函数f (x)＝2x－ln (2x)的单调递减区间为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
4．(2024·广东湛江一模)已知函数f (x)＝cos x是偶函数，则实数a＝(　　)
A．1 　 B．－1
C．2 　 D．－2
5．已知函数f (x)＝a(ln x－1)－x(a∈R)在区间(e，＋∞)内有最值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(e，＋∞) 　 B．
C．(－∞，e] 　 D．(－∞，－e)
6．(2024·四川广安二模)已知函数f (x)＝(ax＋1)ex，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数f (x)的大致图象的个数为(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
7．(2024·辽宁实验中学模拟)已知偶函数f (x)满足f (x＋4)＝f (x)，且在区间[0，2]上单调递减，则f (3)，f (－π)，f (log23)的大小关系是(　　)
A．f (3)>f (－π)>f (log23)
B．f (log23)>f (－π)>f (3)
C．f (－π)>f (log23)>f (3)
D．f (－π)>f (3)>f (log23)
8．某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为y＝y0·ekt，其中y0为初始量，k为光解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%.若该品牌塑料袋的残留量为初始量的10%，大约需要经过(　　)
(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
A．20年 　 B．16年
C．12年 　 D．7年
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024·广东茂名二模)已知函数f (x)为R上的奇函数，且在R上单调递增．若f (2a)＋f (a－2)>0，则实数a的取值可以是 (　　)
A．－1 　 B．0
C．1 　 D．2
10．(2024·江苏南京二模)已知函数f (x)满足f (x)f (y)＝f (xy)＋|x|＋|y|，则(　　)
A．f (0)＝1 　 B．f (1)＝－1
C．f (x)是偶函数 　 D．f (x)是奇函数
11．(2024·辽宁抚顺三模)已知定义在R上的奇函数f (x)连续，函数f (x)的导函数为f ′(x)．当x>0时，f ′(x)cos x>f (x)sin x＋e·f ′(x)，其中e为自然对数的底数，则(　　)
A．f (x)在R上为减函数
B．当x>0时，f (x)<0
C．f >f
D．f (x)在R上有且只有1个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(教材改编)已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝t3＋t2，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当t＝t0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为________cm/s．
13．(2024·江苏南通二模)已知函数f (x)＝则f (log29)＝________.
14．已知函数f (x)＝x3－6x2＋a有3个零点x1，x2，x3，则a的取值范围为________；若x1，x2，x3成等差数列，则a＝________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·河南期末)已知函数f (x)＝a ln (x＋1)－x sin x．
(1)若a＝0，求曲线y＝f (x)在点处的切线方程；
(2)若a＝1，研究函数f (x)在x∈(－1，0]上的单调性和零点个数．
16．(15分)已知函数f (x)＝cos x＋x sin x，x∈(－π，π)．
(1)求f (x)的单调区间和极小值；
(2)证明：当x∈[0，π)时，2f (x)≤ex＋e－x．
17．(15分)已知函数f (x)＝(x－2)ex．
(1)求函数f (x)的单调区间和极值；
(2)讨论关于x的方程f (x)＝a的解的个数．
18．(17分)已知函数f (x)＝ln x－，a∈R．
(1)若x＝2是函数的极值点，求a的值；
(2)若函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
(3)设m，n为正实数，且m>n，求证：<．
19．(17分)(2024·山东济南二模)随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象有重要应用．在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 ．例如在1秒末，粒子会等可能地出现在(1，0)，(－1，0)，(0，1)，(0，－1)四点处．
(1)设粒子在第2秒末移动到点(x，y)，记x＋y的取值为随机变量X，求X 的分布列和数学期望E(X)；
(2)记第n秒末粒子回到原点的概率为pn．
(ⅰ)已知＝，求p3，p4以及p2n；
(ⅱ)令bn＝p2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，若对任意实数M>0，存在n∈N*，使得Sn>M，则称粒子是常返的．已知3 / 4高考热点集训(六)　函数、导数和不等式
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024·北京门头沟一模)下列函数中， 既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ 　 B．y＝
C．y＝tan x 　 D．y＝x|x|
D　[对于A，y＝定义域为[0，＋∞)，为非奇非偶函数，故A错误；
对于B，y＝定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，为奇函数，但是函数在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；
对于C，y＝tan x为奇函数，定义域为，但是函数在(0，＋∞)上不单调，故C错误；
对于D，令y＝f (x)＝x|x|，定义域为R，且f (－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f (x)，
所以y＝x|x|为奇函数，且当x>0时，y＝x2，函数在(0，＋∞)上单调递增，故D正确．故选D．]
2．(2024·广东江门模拟)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝(　　)
A．－2 　 B．－1
C．1 　 D．2
C　[直线x＋2y＋1＝0的斜率为k＝－，
由题设知，y＝e2ax在(0，1)处的切线的斜率为2，而y′＝2a·e2ax，
∴y′|x＝0＝2a＝2，可得a＝1.故选C．]
3．(教材改编)函数f (x)＝2x－ln (2x)的单调递减区间为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
A　[由题得函数的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x)＝2－2×＝，令f ′(x)<0，∴0所以函数的单调递减区间为.故选A．]
4．(2024·广东湛江一模)已知函数f (x)＝cos x是偶函数，则实数a＝(　　)
A．1 　 B．－1
C．2 　 D．－2
B　[∵f (－x)＝cos (－x)＝cos x，f (x)为偶函数，
∴f (－x)＝f (x)，则－a＝1，解得a＝－1．
故选B．]
5．已知函数f (x)＝a(ln x－1)－x(a∈R)在区间(e，＋∞)内有最值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(e，＋∞) 　 B．
C．(－∞，e] 　 D．(－∞，－e)
A　[ f ′(x)＝－1＝，其中x>e．
当a≤e时，f ′(x)<0，故f (x)在(e，＋∞)上单调递减，
此时f (x)在(e，＋∞)内无最值．
当a>e时，若x∈(e，a)，则f ′(x)>0，若x∈(a，＋∞)，则f ′(x)<0，
故f (x)在(e，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，
故f (x)在x＝a处取最大值，故选A．]
6．(2024·四川广安二模)已知函数f (x)＝(ax＋1)ex，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数f (x)的大致图象的个数为(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
D　[由题意知，f (x)定义域为R，当a＝0时，f (x)＝ex，由指数函数的单调性可知函数f (x)单调递增，可对应①；
当a>0时，f ′(x)＝(ax＋a＋1)ex，令f ′(x)＝0，可得x＝－<0，所以当x∈时，f ′(x)<0，当x∈时，f ′(x)>0，所以函数f (x)先减后增，且当x<－时，f (x)<0，此时可对应②；
当a<0时，f ′(x)＝(ax＋a＋1)ex，令f ′(x)＝0，可得x＝－，当x∈时，f ′(x)>0，当x∈时，f ′(x)<0，所以函数f (x)先增后减，
当a<－1时，x＝－<0，且此时0<－<1，所以可对应③，
当－10，此时－>1，所以可对应④.故选D．]
7．(2024·辽宁实验中学模拟)已知偶函数f (x)满足f (x＋4)＝f (x)，且在区间[0，2]上单调递减，则f (3)，f (－π)，f (log23)的大小关系是(　　)
A．f (3)>f (－π)>f (log23)
B．f (log23)>f (－π)>f (3)
C．f (－π)>f (log23)>f (3)
D．f (－π)>f (3)>f (log23)
D　[因为f (x＋4)＝f (x)，所以f (x)是以4为周期的周期函数，又f (x)为偶函数，所以f (3)＝f (－1)＝f (1)，f (－π)＝f (4－π)，
又0<4－π<1f (1)>f (log23)，
即f (－π)>f (3)>f (log23)．故选D．]
8．某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为y＝y0·ekt，其中y0为初始量，k为光解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%.若该品牌塑料袋的残留量为初始量的10%，大约需要经过(　　)
(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
A．20年 　 B．16年
C．12年 　 D．7年
B　[依题意有t＝2时，75%y0＝y0·e2k，则ek＝，
当y0·ekt＝10%y0时，有＝0.1，lg ＝lg 0.1，
t＝＝＝≈＝16．
故选B．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024·广东茂名二模)已知函数f (x)为R上的奇函数，且在R上单调递增．若f (2a)＋f (a－2)>0，则实数a的取值可以是 (　　)
A．－1 　 B．0
C．1 　 D．2
CD　[因为函数f (x)是奇函数，
则不等式f (2a)＋f (a－2)>0，可变形为f (2a)>－f (a－2)＝f (2－a)，
因为函数f (x)在R上单调递增，
由不等式f (2a)>f (2－a)，得2a>2－a，
解得a>．故选CD．]
10．(2024·江苏南京二模)已知函数f (x)满足f (x)f (y)＝f (xy)＋|x|＋|y|，则(　　)
A．f (0)＝1 　 B．f (1)＝－1
C．f (x)是偶函数 　 D．f (x)是奇函数
AC　[令y＝0，则f (0)f (x)＝f (0)＋|x|，
令x＝y＝0，则( f (0))2＝f (0)，解得f (0)＝0或f (0)＝1，
若f (0)＝0，则|x|＝0恒成立，不合题意，
故f (0)＝1，A正确；
f (0)＝1，则f (x)＝1＋|x|，f (1)＝2，B错误；
函数f (x)＝1＋|x|，定义域为R，f (－x)＝1＋|－x|＝1＋|x|＝f (x)，
f (x)为偶函数，C正确，D错误．故选AC．]
11．(2024·辽宁抚顺三模)已知定义在R上的奇函数f (x)连续，函数f (x)的导函数为f ′(x)．当x>0时，f ′(x)cos x>f (x)sin x＋e·f ′(x)，其中e为自然对数的底数，则(　　)
A．f (x)在R上为减函数
B．当x>0时，f (x)<0
C．f >f
D．f (x)在R上有且只有1个零点
BCD　[由f ′(x)cos x>f (x)sin x＋e·f ′(x)，可得f ′(x)(cos x－e)－f (x)sin x>0．
令g(x)＝f (x)(cos x－e)，
则当x>0时，g′(x)＝f ′(x)－f (x)sin x>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g可得f (－e)f ，所以C正确；
因为g(0)＝f (0)(1－e)＝0，所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，
又因为cos x－e<0，所以当x>0时，f (x)<0，所以B正确；
由f (x)是定义在R上的奇函数，故当x<0时，f (x)＝－f (－x)>0，
又因为f (0)＝0，所以f (x)在R上有且只有1个零点，所以D正确．
因为f (x)的单调性无法判断，所以A错误．故选BCD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(教材改编)已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝t3＋t2，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当t＝t0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为________cm/s．
8　[由h＝t3＋t2，求导得h′＝t2＋2t．
当t＝t0时，h′＝＋2t0＝3，解得t0＝1(t0＝－3舍去)．
故当t＝t0＋1＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为22＋2×2＝8(cm/s)．]
13．(2024·江苏南通二模)已知函数f (x)＝则f (log29)＝________.
　[因为f (x)＝
由于log29>3，则f (log29)＝f ＝f (log23)＝＋＝3＋＝．]
14．已知函数f (x)＝x3－6x2＋a有3个零点x1，x2，x3，则a的取值范围为________；若x1，x2，x3成等差数列，则a＝________．
(0，32)　16　[ f ′(x)＝3x(x－4)，令f ′(x)<0，得0令f ′(x)>0，得x<0或x>4，函数f (x)单调递增．
所以f (x)的极大值为f (0)＝a，f (x)的极小值为f (4)＝－32＋a．
因为f (x)有3个零点，所以解得0设g(x)＝3x(x－4)，则g′(x)＝6x－12，
令g′(x)＝0，得x＝2，
由于f (x)＋f (－x＋4)＝－32＋2a，曲线y＝f (x)关于点(2，－16＋a)对称．
若x1，x2，x3成等差数列，则f (2)＝－16＋a＝0，解得a＝16．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·河南期末)已知函数f (x)＝a ln (x＋1)－x sin x．
(1)若a＝0，求曲线y＝f (x)在点处的切线方程；
(2)若a＝1，研究函数f (x)在x∈(－1，0]上的单调性和零点个数．
[解]　(1)当a＝0时，f (x)＝－x sin x，
则f ′(x)＝－sin x－x cos x，则f ＝－，f ′＝－1，
所以曲线y＝f (x)在点处的切线方程为y＝－x．
(2)当a＝1时，f (x)＝ln (x＋1)－x sin x，则f ′(x)＝－sin x－x cos x，
当x∈(－1，0]时，>0，－sin x≥0，－x cos x≥0，则f ′(x)>0，
故f (x)在x∈(－1，0]上单调递增．
又因为f (0)＝0，所以f (x)在x∈(－1，0]上的零点个数为1．
16．(15分)已知函数f (x)＝cos x＋x sin x，x∈(－π，π)．
(1)求f (x)的单调区间和极小值；
(2)证明：当x∈[0，π)时，2f (x)≤ex＋e－x．
[解]　(1)函数f (x)＝cos x＋x sin x，x∈(－π，π)，求导得f ′(x)＝－sin x＋sin x＋x cos x＝x cos x，当－π0，f (x)单调递增；当－当00，f (x)单调递增；当所以f (x)的单调递增区间为；单调递减区间为，f (x)的极小值为f (0)＝1．
(2)证明：当x∈[0，π)时，令F(x)＝ex＋e－x－2(cos x＋x sin x)，
求导得F′(x)＝ex－e－x－2x cos x≥ex－e－x－2x，
令φ(x)＝ex－e－x－2x，求导得φ′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，
函数φ(x)在[0，π)上单调递增，则φ(x)≥φ(0)＝0，F′(x)≥0，F(x)在[0，π)上单调递增，
因此F(x)≥F(0)＝0，所以2f (x)≤ex＋e－x．
17．(15分)已知函数f (x)＝(x－2)ex．
(1)求函数f (x)的单调区间和极值；
(2)讨论关于x的方程f (x)＝a的解的个数．
[解]　(1)函数的定义域为R，f ′(x)＝(x－1)ex，
令f ′(x)＝0，解得x＝1，
当x<1时，f ′(x)<0，f (x)在(－∞，1)上单调递减；
当x>1时，f ′(x)>0，f (x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以当x＝1时，f (x)有极小值，且极小值为f (1)＝－e．
综上所述，函数f (x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)；
f (x)有极小值，极小值为－e，无极大值．
(2)令f (x)＝0，解得x＝2．
当x<2时，f (x)<0；当x>2时，f (x)>0．
当x→－∞时，f (x)＝(x－2)ex→0，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，
由(1)可得当x＝1时，f (x)有最小值f (1)＝－e．
结合(1)中分析可得，f (x)的大致图象如图所示．
方程f (x)＝a的解的个数为函数y＝f (x)的图象与直线y＝a的交点个数．
由图可得，当a<－e时，方程f (x)＝a无解；
当a＝－e或a≥0时，方程f (x)＝a有一个解；
当－e18．(17分)已知函数f (x)＝ln x－，a∈R．
(1)若x＝2是函数的极值点，求a的值；
(2)若函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
(3)设m，n为正实数，且m>n，求证：<．
[解]　(1)f ′(x)＝－＝，x>0 ，
因为x＝2是函数的极值点，所以f ′(2)＝＝0，解得a＝，经检验符合题意．
(2)因为函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以不等式f ′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即x2＋(2－2a)x＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即2a－2≤x＋在(0，＋∞)上恒成立，
设g(x)＝x＋，x>0，则g(x)≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，即g(x)≥2，
所以2a－2≤2，解得a≤2，即a的取值范围是(－∞，2]．
(3)要证<，只需证<，
又m>n>0，所以>1，则ln >0，
即证ln >，
只需证ln－>0，
设h(x)＝ln x－(x＞1)，由(2)知h(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
又>1，所以h>h(1)＝0，即ln －>0成立，所以<．
19．(17分)(2024·山东济南二模)随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象有重要应用．在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 ．例如在1秒末，粒子会等可能地出现在(1，0)，(－1，0)，(0，1)，(0，－1)四点处．
(1)设粒子在第2秒末移动到点(x，y)，记x＋y的取值为随机变量X，求X 的分布列和数学期望E(X)；
(2)记第n秒末粒子回到原点的概率为pn．
(ⅰ)已知＝，求p3，p4以及p2n；
(ⅱ)令bn＝p2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，若对任意实数M>0，存在n∈N*，使得Sn>M，则称粒子是常返的．已知[解]　(1)粒子在第2秒末可能运动到点(1，1)，(2，0)，(0，2)或(0，0)，(1，－1)，(－1，1)或(－1，－1)，(－2，0)，(0，－2)的位置，X的可能取值为－2，0，2，
P(X＝－2)＝＝，P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X －2 0 2
P
所以E(X)＝(－2)×＋0×＋2×＝0．
(2)(ⅰ)粒子奇数秒不可能回到原点，故p3＝0，
粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑：
(a)每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形；
(b)每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有种情形；
于是p4＝＝，
第2n秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k步，向右移动k步，向上移动n－k步，向下移动n－k步，
故p2n＝2＝2
＝·．
(ⅱ)证明：由＝>＝，
于是p2n＝2>，
令f (x)＝x－ln (1＋x)，x>0，
则f ′(x)＝1－＝>0，
故f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
则f (x)>f (0)＝0，于是x>ln (1＋x)(x>0)，
＝ln (n＋1)，
记[x]为不超过x的最大整数，则对任意常数M>0，当n≥[e6M]时，
n>e6M－1，于是Sn>ln (n＋1)>M，
综上所述，当n≥[e6M]时，Sn>M成立，因此该粒子是常返的．
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