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§2　与球有关的“切”“接”“截”问题
【备考指南】　空间几何体的外接球、内切球是历年高考命题的热点，几乎每年都有涉及，熟知球与常见几何体的切接模型，掌握确定几何体外接球的球心的方法是破解此类问题的关键．
基础考点1　外接球问题
【典例1】　(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．100π　B．128π　C．144π　D．192π
(2)(2024·四川自贡一模)如图，△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝，将△ABC绕AB旋转至△ABP处，使平面ABP⊥平面ABC，则多面体C-ABP的外接球的表面积为(　　)
A．14π 　 B．16π
C．18π 　 D．20π
(3)(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________．
(1)A　(2)A　(3)2　[(1)由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为×3＝3，×4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A．
(2)由于AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，折叠后PB⊥AB，由于平面ABP⊥平面ABC，且交线为AB，PB 平面ABP，所以PB⊥平面ABC．
由于BC 平面ABC，所以PB⊥BC，所以AB，BC，PB两两相互垂直，
所以可将多面体C-ABP补形为长方体，设多面体C-ABP外接球的直径为2R，
则2R＝＝，4R2＝14，
所以其外接球的表面积为4πR2＝14π．
故选A．
(3)设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，
则2r＝＝＝2，解得r＝．
设三棱锥S-ABC的外接球球心为O，连接OA，OO1，
则OA＝2，OO1＝SA，因为OA2＝＋O1A2，所以4＝SA2＋3，解得SA＝2．]
求解空间几何体的外接球问题的策略
(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径；
(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；
(3)求半径：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．
1．(2024·湖南张家界二模)如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA＝AC＝2BC＝2，则此四面体的外接球表面积为(　　)
A．3π 　 B．9π
C．36π 　 D．48π
B　[将四面体P-ABC补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为2，1，2，
四面体P-ABC的外接球即为长方体的外接球，
而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为R，
故2R＝＝3，所以外接球表面积为S＝4πR2＝9π.故选B．]
2．(2024·浙江绍兴模拟)已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为(　　)
A．6π 　 B．8π
C．16π 　 D．20π
D　[由正六棱柱的性质可得O为其外接球的球心(如图)，OO′＝1，
由于底面为正六边形，所以△ABO′为等边三角形，故AO′＝2，
所以AO＝＝＝，
所以AO为外接球的半径，故外接球表面积为4π＝20π.故选D．]
3．(2024·江苏南京二模)在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的2倍，且O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为(　　)
A．3∶4 　 B．1∶2
C．3∶8 　 D．3∶10
C　[令外接球的半径为2R，依题意O2A＝2R，O2B＝2R，O1B＝R，过点B作BC⊥O2A，垂足为C，
则O2C＝O1B＝R，所以AC＝O2C＝R，
又BC＝O1O2＝＝R，
所以AB＝＝2R，
所以圆台的侧面积S1＝π(R＋2R)×2R＝6πR2，
球的表面积S2＝4π×(2R)2＝16πR2，
所以圆台的侧面积与球的表面积之比为S1∶S2＝6πR2∶16πR2＝3∶8.故选C．]
【教师备选资源】
已知球O的体积为36π，圆锥SO1的顶点S及底面圆O1上所有点都在球面上，且底面圆O1的半径为2，则该圆锥的侧面积为(　　)
A．6π 　 B．4π或6π
C．8π或4π 　 D．8π
C　[因为球O的体积为36π，得V球＝πR3＝36π，所以R＝3．
如图1，
当SO1＝SO＋OO1时，有
＝OA2－O1A2＝32－＝1，
所以OO1＝1，SO1＝SO＋OO1＝4．
又因为SA2＝＋O1A2＝42＋＝24，所以SA＝2，
所以该圆锥的侧面积为
S＝π·O1A·SA＝π×2×2＝8π．
如图2，
当SO1＝SO－OO1时，有＝OA2－O1A2＝32－＝1，
所以OO1＝1，SO1＝SO－OO1＝2．
又因为SA2＝＋O1A2＝22＋＝12，所以SA＝2，
所以该圆锥的侧面积为S＝π·O1A·SA＝π×2×2＝4π．
故选C．]
基础考点2　内切球问题
【典例2】　(1)在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
(2)(2024·山东潍坊二模)如图，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且2r1＋r2＝12，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为(　　)
A．36π 　 B．64π
C．72π 　 D．100π
(1)A　(2)D　[(1)由AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，得AB⊥CD．
又BC⊥CD，且AB，BC 平面ABC，AB∩BC＝B，
所以CD⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，
所以CD⊥AC．
由AB＝CD＝4，BC＝3，
得AC＝BD＝5，
所以三棱锥A-BCD的表面积
S＝2××3×4＋2××4×5＝32，
三棱锥A-BCD的体积V＝××3×4×4＝8．
设三棱锥内切球球心为O，半径为r，
由V＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-ACD＋VO-BCD＝Sr，
得r＝＝，
所以该三棱锥内切球的体积
V球＝πr3＝π×＝．
(2)如图所示，作出轴截面，
O1，O2分别为上、下底面圆的圆心，M为侧面切点，O为内切球球心，
则O为O1O2的中点，
OM⊥AB，OO1＝OM＝4，O1O2＝8，O1A＝MA＝r1，O2B＝MB＝r2．
因为2r1＋r2＝12，所以r2＝12－2r1，
则AB＝MA＋MB＝r1＋r2＝12－r1．
过点A作AG⊥O2B，垂足为G，
则BG＝r2－r1＝12－3r1，
在Rt△ABG中，由勾股定理得AG2＋BG2＝AB2，
即82＋(12－3r1)2＝(12－r1)2，
解得r1＝2或r1＝4．
因为r1所以圆台的侧面积为π×10×(2＋8)＝100π．
故选D．]
空间几何体的内切球问题的两种解决方法：一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．
1．在直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则V的最大值是(　　)
A．16π 　 B．
C．36π 　 D．
B　[由题意，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，
所以AC＝10，
可得△ABC的内切圆的半径为＝2．
又由AA1＝6，故在直三棱柱ABC-A1B1C1内部的球的半径最大为2，所以此时V的最大值为×π×23＝．]
2．如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积S＝________．
8π　[设球O与上底面、下底面分别切于点O1，O2，与平面ADD1A1、平面BCC1B1分别切于点E，F，
作出其截面如图所示，则MO1＝ME＝1，EN＝NO2＝2，
于是MN＝1＋2＝3．
过点M作MH⊥O2N，垂足为H，则NH＝NO2－HO2＝NO2－MO1＝1．
在Rt△MHN中，由勾股定理可得MH＝2r＝＝＝2，所以r＝，
所以该球的表面积S＝4πr2＝4π×2＝8π．]
3．在一次手工劳动课上，需要把一个高为，体积为的木质实心圆锥模型削成一个实心球模型，则球的表面积的最大值为________．
　[由题意得，当球为圆锥的内切球时，球的表面积最大．
如图为圆锥AD的轴截面，
由题意知π·CD2·AD ＝π·CD2·＝π，解得CD＝1，
所以AC＝＝2．
设内切球O的半径为R，则AO＝－R，
由平面几何知识可知△AOE∽△ACD，
所以＝，即＝，解得R＝，
此时球的表面积为4π×＝．]
【教师备选资源】
1．(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
π　[易知半径最大的球即为该圆锥的内切球．圆锥PE及其内切球O如图所示，
设内切球的半径为R，则sin ∠BPE＝＝＝，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝＝＝2，所以R＝，所以内切球的体积V＝πR3＝π，即该圆锥内半径最大的球的体积为π．]
2．(2024·浙江温州一模)与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球．若圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r1·r2＝1，则它的内切球的体积为________．
　[由题意，画出圆台的直观图，其中AB为圆台的母线长，D，C分别为上、下底面圆的圆心，点O为内切球的球心，点E为球O与圆台侧面相切的一个切点．
则由题意可得AB＝AE＋BE＝AD＋BC＝r1＋r2，CD＝＝＝＝2．
设其内切球的半径为r，因此可得r＝＝1，即得内切球的体积为πr3＝π．]
基础考点3　球的截面问题
【典例3】　(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　)
A．64π 　 B．48π
C．36π 　 D．32π
(2)(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　)
A．　　　 　 B．　　　
C．1　　　 　 D．
(1)A　(2)C　[(1)如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2.又AB＝BC＝AC＝OO1，所以＝2r，解得AB＝2，故OO1＝2，所以R2＝＋r2＝(2)2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A．
(2)由等边△ABC的面积为，得AB2＝，得AB＝3.设△ABC的外接圆的半径为r，则r＝×AB＝AB＝.设球O的半径为R，则由球O的表面积为16π，得4πR2＝16π，得R＝2，则球心O到平面ABC的距离d＝＝1.故选C．]
巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤
(1)确定球心O和截面圆的圆心O′；
(2)探求球的半径R和截面圆的半径r；
(3)利用OO′2＋r2＝R2计算相关量．
1．球的两个平行截面面积分别为5π和8π，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为(　　)
A．3 　 B．4
C．5 　 D．6
D　[令球心到较近的截面的距离为h，则到另一个截面的距离为h＋1，且球的半径为R，
易知较近的截面圆的面积为8π，另一个截面圆的面积为5π，
所以较近的截面圆的半径为r1＝2，另一个截面圆的半径为r2＝，
由截面圆半径与球体半径、球心与截面的距离关系知＝(h＋1)2－h2，
所以＝2h＋1＝3 h＝1，故R2＝＝9 R＝3，则球的直径为6.故选D．]
2．棱长均相等的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，D为PB的中点，过点D作球O的截面，所得截面圆面积的最大值与最小值之比为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．2
B　[设该正四面体的外接球球心为O1，△PBA的外接圆圆心为O2，
则C，O1，O2共线且O1O2⊥平面PBA，
设三棱锥的棱长为2，则PO2＝＝，CO2＝＝，O2D＝．
设三棱锥的外接球半径为R，
在Rt△PO1O2中，由＋(CO2－R)2＝R2，得R＝，所以O1O2＝．
过D点的截面圆中，过球心的截面圆面积最大，此时截面圆的半径为R＝；
当O1D垂直于截面圆时，此时截面圆的面积最小，
设该圆半径为r，则r2＝R2－O1D2＝＝1，故面积之比为R2∶r2＝3∶2．
故选B．]
【教师备选资源】
1．(2024·浙江温州模拟)在三棱锥A-BCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝BD＝4，半径为1的球O在该三棱锥内部且与平面ABC、平面ABD、平面BCD均相切．若平面α与球O相切，则三棱锥A-BCD的外接球被平面α所截得的截面面积的最小值为(　　)
A．(8＋2)π　　　 B．(6＋2)π
C．(8－2)π 　 D．(6－2)π
C　[设截面圆与外接球球心O1的距离为h，球O1的半径为R，截面圆的半径为r，则r2＝R2－h2，
即h越大，截面的面积越小．
由题意三棱锥A-BCD是正方体AEGF-BCHD的一部分，如图，其外接球的球心为正方体体对角线AH的中点，则R＝＝2．
以B为原点，BC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，BA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(1，1，1)，O1(2，2，2)，则OO1＝＝，
O1到球O球面上最远的点的距离为OO1＋1＝＋1，此时以最远点为切点的平面α截外接球O1所得的截面圆的半径为＝，此时截面面积最小，即截面面积的最小值为(8－2)π．
故选C．]
2．已知三棱锥P-ABC，Q为BC中点，PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，侧面PBC⊥底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为(　　)
A．　　 B．
C． 　 D．[π，2π]
A　[如图所示，连接PQ，QA．由PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，
可知△ABC和△PBC都是等边三角形．
设三棱锥P-ABC外接球的球心为O，
所以球心O在平面ABC和平面PBC内的射影是△ABC和△PBC的中心E，F．
因为△PBC是等边三角形，Q为BC中点，
所以PQ⊥BC．又因为侧面PBC⊥底面ABC，侧面PBC∩底面ABC＝BC，PQ 侧面PBC，
所以PQ⊥底面ABC，又AQ 底面ABC，所以PQ⊥AQ，所以四边形OFQE是矩形．
因为△ABC和△PBC均是边长为2的等边三角形，
所以两个三角形的高h＝＝．
在矩形OFQE中，OE＝FQ＝h＝，AE＝h＝，连接OA，
所以OA＝＝＝．
设过点Q的平面为α，当OQ⊥α时，
所得截面的面积最小，该截面为圆形，
OQ＝＝＝h＝×＝，
因此圆Q的半径为＝＝1，所以此时截面面积为π·12＝π；
当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为π·＝，所以截面面积的取值范围为.故选A．]
3．(2024·四川泸州三模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为DD1的中点，过A，B，P三点作平面α，则该正方体的外接球被平面α截得的截面圆的面积为(　　)
A． 　 B．
C．3π 　 D．
D　[如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球球心是BD1的中点O，而BD1∩α＝B，则点O到平面α的距离h等于点D1到平面α的距离的一半，又平面α过线段DD1的中点P，因此点D1与点D到平面α的距离相等，由AB⊥平面ADD1A1，AB 平面α，得平面α⊥平面ADD1A1．
在平面ADD1A1内过点D作DE⊥AP，垂足为E.由平面α∩平面ADD1A1＝AP，可得DE⊥平面α．
又AP＝＝，从而h＝DE＝×＝．设球O的半径为R，则R＝BD1＝．
设正方体的外接球被平面α截得的截面圆的半径为r，则r2＝R2－h2＝3－＝，
所以正方体的外接球被平面α截得的截面圆的面积S＝πr2＝．故选D．]
4．(2024·辽宁大连一模)在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把△AEB，△AFD和△EFC折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P-AEF，如图2所示，则三棱锥P-AEF外接球的表面积是________；过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围是________．
24π　[π，6π]　[由题意，将三棱锥补形为长、宽、高分别为2，2，4的长方体，如图所示，
三棱锥P-AEF的外接球即为补形后长方体的外接球，设其半径为R，所以(2R)2＝22＋22＋42＝24，R＝，所以三棱锥P-AEF的外接球的表面积S＝4πR2＝24π．
过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得的截面为圆面，其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为πR2＝π()2＝6π，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆面，此时截面圆的半径r＝＝＝＝1，故截面圆的面积为πr2＝π，
所以过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围是[π，6π]．]
专题限时集训(十二)　与球有关的“切”“接”“截”问题
一、单项选择题
1．(2024·山东枣庄模拟)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为(　　)
A．4π　　 B．6π　　 C．8π　　 D．10π
C　[由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r，则r＝＝，故该球的表面积为4πr2＝8π.故选C．]
2．(2024·广东汕尾模拟)已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为(　　)
A．16π 　 B．32π
C．48π 　 D．64π
C　[如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为．根据题意，可以补充成长方体．又底面ABCD是边长为4的正方形，直线PD与平面ABCD所成角为45°，则长、宽、高分别为4，4，4，即图形为正方体，则外接球的球心为体对角线中点，体对角线长刚好为球的直径，所以外接球的半径r＝＝2，所以外接球的表面积为4πr2＝48π.故选C．]
3．(2024·江西上饶模拟)已知某棱长为2的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为(　　)
A．4π 　 B．2π
C． 　 D．π
A　[如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为2的正四面体A-BCD，
显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，设球的半径为r，故r＝1，则该球的表面积为S＝4πr2＝4π.故选A．]
4．(2024·黑龙江哈尔滨二模)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝4，∠BAC＝，则球O的表面积为(　　)
A．16π 　 B．20π
C．28π 　 D．32π
B　[如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝1，且∠BAC＝，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝1＋1－2×1×1×cos ＝3，则BC＝．
设底面△ABC的外接圆的半径为r，圆心为O1，由正弦定理得2r＝＝2，即O1A＝1．
设直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心为O，外接球的半径为R，△A1B1C1的外接圆的圆心为O2，
在Rt△OO1A中，可得R＝＝＝＝，所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π×()2＝20π．
故选B．]
5．(2024·江苏南京模拟)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，PA＝3，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为(　　)
A． 　 B．13π
C．52π 　 D．π
B　[在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝4＋1－2×2×1×＝3，
则AB2＝AC2＋BC2，所以AC⊥BC，因为PA⊥平面ABC，把三棱锥P-ABC补成长方体，如图所示，PB为长方体体对角线，所以三棱锥P-ABC外接球的直径为PB，又PB＝＝＝，即外接球的直径为，所以外接球的表面积为4π×＝13π.故选B．]
6．(2024·福建泉州模拟)已知圆锥的侧面积是2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球的半径为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
B　[圆锥和侧面展开图如图所示．
设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题意知，两式相除解得r＝1，l＝2，所以∠BAC＝，轴截面为等边三角形，圆锥的高h＝＝，
设圆锥的内切球的球心为O，半径为R，Q，S为球O与AB，AC的切点，在Rt△AOS中，OS＝AO，即R＝(－R)，解得R＝．故选B．]
7．(2024·广东六校模拟)已知三棱锥P-ABC，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，△PAC是边长为2的等边三角形，且平面ABC⊥平面PAC，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为(　　)
A．π 　 B．π
C．π 　 D．8π
A　[如图，直角三角形ABC外接圆的圆心是斜边AC的中点O1，过该点作一条垂直于平面ABC的直线．因为平面ABC⊥平面PAC，所以所作直线在平面PAC内，且经过等边三角形PAC的中心，所以等边三角形PAC的中心就是三棱锥P-ABC外接球的球心，
所以△PAC外接圆的半径也是三棱锥P-ABC外接球的半径．
在△PAC中，由正弦定理知，＝2R(R是△PAC外接圆的半径)，即＝2R，所以R＝＝，所以三棱锥P-ABC外接球的半径为，
故三棱锥P-ABC外接球的表面积为S＝4πR2＝．
故选A．]
8．(2024·宁夏银川一模)如图，球O1与圆锥相切，切点在圆锥PO的底面圆周上，圆锥PO的母线长是底面半径的2倍，设球O1的体积为V1，圆锥PO的体积为V2，则V1∶V2＝(　　)
A．32∶9
B．27∶8
C．26∶7
D．9∶4
A　[如图，设切点为E，连接O1E，则O1E⊥EP，因为圆锥PO的母线长是底面半径的2倍，
设OE＝r，PE＝2r，则OP＝r，
所以V2＝πr2·r＝．
由△PEO∽△PO1E可得＝，即PE2＝OP·O1P，
所以4r2＝r×O1P，所以O1P＝＝，
所以OO1＝O1P－OP＝－r＝r．
在Rt△O1OE中，EO1＝＝＝r，
即球的半径R＝，所以V1＝π×＝πr3，
所以＝＝．故选A．]
二、多项选择题
9．已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切．则下列说法中正确的是(　　)
A．圆台的母线长为4
B．圆台的高为4　
C．圆台的表面积为26π
D．球O的表面积为12π
ACD　[设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆O为圆台内切球的大圆，如图，
设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，
连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，故DE＝r1，AE＝r2，
∠OAD＋∠ODA＝，∠DOA＝，OE⊥AD，
故OE2＝DE·AE，即R2＝r1r2＝3，解得R＝，
故圆台的高为2R＝2，母线长为r1＋r2＝4，圆台的表面积为π(12＋32)＋π(1＋3)×4＝26π，球O的表面积S＝4πR2＝12π．
故选ACD．]
10．(2024·河南信阳一模)六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则(　　)
A．该正八面体结构的表面积为2m2
B．该正八面体结构的体积为m3
C．该正八面体结构的外接球表面积为2πm2
D．该正八面体结构的内切球表面积为
ACD　[对于A，由题知，各侧面均为边长为m的正三角形，
故该正八面体结构的表面积S＝8××m2＝2m2，故A正确；
对于B，连接AS，PS，则AS＝PS＝m，PS⊥底面ABCD，
故该正八面体结构的体积V＝2××m2×m＝m3，故B错误；
对于C，底面中心S到各顶点的距离相等，故S为外接球球心，外接球半径R＝PS＝m，
故该正八面体结构的外接球表面积S′＝4π×＝2πm2，故C正确；
对于D，该正八面体结构的内切球半径r＝＝＝，
故内切球的表面积S″＝4π×＝，故D正确．
故选ACD．]
11．(2023·新高考Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(　　)
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
ABD　[由于棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，所以选项A正确；由于棱长为1 m的正方体中可放入棱长为 m的正四面体，且＞1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1 m，体对角线长为 m，＜1.8，所以高为1.8 m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；由于正方体的体对角线长为 m，而底面直径为1.2 m的圆柱体，其高0.01 m可忽略不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可以整体放入正方体容器中，所以选项D正确．综上，故选ABD．]
三、填空题
12．(2024·四川成都模拟)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中存在内切球，若AB＝3，BC＝4，AB⊥BC，则该三棱柱外接球的表面积为________．
29π　[由题意可知△ABC是直角三角形，AC＝5，则△ABC的内切圆的半径为r＝＝1．
直三棱柱ABC-A1B1C1中存在内切球，则其高为h＝2r＝2，
分别取AC，A1C1的中点E，F，连接EF，则EF也是该直三棱柱的高，EF的中点O是其外接球球心，OC＝＝＝．
所以外接球的表面积为S＝4π·OC2＝29π．]
13．(2024·陕西西安模拟)三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，且PA，PB，PC两两垂直．设三棱锥P-ABC的外接球和内切球的表面积分别为S外和S内，则S外－S内＝________．
　[由题意可知，三棱锥P-ABC可以以PA，PB，PC为棱，补成棱长为2的正方体，
所以三棱锥的外接球与所在正方体的外接球相同，
所以外接球直径2R＝PA＝2，其表面积S外＝4πR2＝12π．
设三棱锥内切球半径为r，则由等体积法可得r＝VP-ABC，
即r×2×2＋×2×2＋×2×2＋×2×2＝××2×2×2，
解得r＝，故S内＝4πr2＝π，所以S外－S内＝12π－π＝．]
14．(2024·湖南师大附中二模)若一个正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为{1，，2}，且该三棱台的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为________．
π　[设正三棱台ABC-A1B1C1.如图，先分析正三棱台的一个侧面ABB1A1．
设AB＜A1B1，在△AA1B中，由于∠A1AB是钝角，故△AA1B中最大的边是A1B．
若A1B＝2，则AB和AA1的长只能取1或．此时若两边长均为1，则不满足两边之和大于第三边，构不成三角形，不符合题意；
若一边长为1，另一边长为，则△AA1B为直角三角形，与∠A1AB是钝角矛盾；
若两边长均为，则A1B1的长只能为1，与AB＜A1B1矛盾，
故只能是A1B＝，AB＝AA1＝1，A1B1＝2．
设正三棱台的上底面中心为D，下底面中心为D1．
如图，在直角梯形ADD1A1中求球O的半径，
利用三角形重心的性质易求得
AD＝，A1D1＝，DD1＝，
设球O的半径为R，OD1＝x，x＞0，由图1 得
R2＝x2＋＝＋，
解得x＝－，R2＝(舍)，
由图2得R2＝x2＋＝＋，
解得x＝，R2＝，故球O的表面积为4πR2＝π．]
24 / 24§2　与球有关的“切”“接”“截”问题
【备考指南】　空间几何体的外接球、内切球是历年高考命题的热点，几乎每年都有涉及，熟知球与常见几何体的切接模型，掌握确定几何体外接球的球心的方法是破解此类问题的关键．
基础考点1　外接球问题
【典例1】　(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．100π　B．128π　C．144π　D．192π
(2)(2024·四川自贡一模)如图，△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝，将△ABC绕AB旋转至△ABP处，使平面ABP⊥平面ABC，则多面体C-ABP的外接球的表面积为(　　)
A．14π 　 B．16π
C．18π 　 D．20π
(3)(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求解空间几何体的外接球问题的策略
(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径；
(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；
(3)求半径：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．
1．(2024·湖南张家界二模)如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA＝AC＝2BC＝2，则此四面体的外接球表面积为(　　)
A．3π 　 B．9π
C．36π 　 D．48π
2．(2024·浙江绍兴模拟)已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为(　　)
A．6π 　 B．8π
C．16π 　 D．20π
3．(2024·江苏南京二模)在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的2倍，且O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为(　　)
A．3∶4 　 B．1∶2
C．3∶8 　 D．3∶10
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
基础考点2　内切球问题
【典例2】　(1)在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
(2)(2024·山东潍坊二模)如图，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且2r1＋r2＝12，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为(　　)
A．36π 　 B．64π
C．72π 　 D．100π
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
空间几何体的内切球问题的两种解决方法：一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．
1．在直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则V的最大值是(　　)
A．16π 　 B．
C．36π 　 D．
2．如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积S＝________．
3．在一次手工劳动课上，需要把一个高为，体积为的木质实心圆锥模型削成一个实心球模型，则球的表面积的最大值为________．
基础考点3　球的截面问题
【典例3】　(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　)
A．64π 　 B．48π
C．36π 　 D．32π
(2)(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　)
A．　　　 　 B．　　　
C．1　　　 　 D．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤
(1)确定球心O和截面圆的圆心O′；
(2)探求球的半径R和截面圆的半径r；
(3)利用OO′2＋r2＝R2计算相关量．
1．球的两个平行截面面积分别为5π和8π，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为(　　)
A．3 　 B．4
C．5 　 D．6
2．棱长均相等的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，D为PB的中点，过点D作球O的截面，所得截面圆面积的最大值与最小值之比为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．2
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