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类型1　空间向量的表示及运算
1．空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的，要用类比的思想去掌握．在空间向量的加、减、数乘等线性运算中，要选择适当的向量为基底，用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算，同时还要以相应的图形为指导．
2．解决一个向量由其他几个向量来表示的问题，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把所求的向量逐步分解，最终归结为基向量来表示．
3．牢记平面向量基本定理和空间向量基本定理，提升逻辑推理、直观想象、数学运算素养．
【例1】　(1)在三棱锥P-ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形，AB＝2，PC＝1，D为棱AB上一点，则的值为(　　)
A．　　　　　　　 B．1
C． D．与D点位置有关
(2)在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EH＝EF.记＝x＋y＋z，则有序数对(x，y，z)＝__________，若⊥⊥，∠BOC＝，且||＝||＝||＝1，则||＝__________.
(3)已知a＝(1，2，－1)，b＝(－2，4，2)．
①若a∥c，且|c|＝2，求c的坐标；
②若(ka＋b)⊥(a－2b)，求实数k的值．
类型2　利用空间向量证明平行与垂直
1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．
2．证明线面平行的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线．
(3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．
3．证明面面平行的方法
(1)转化为线线平行、线面平行处理．
(2)证明这两个平面的法向量是共线向量．
4．证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直．
5．证明线面垂直的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．
(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直．
6．证明面面垂直的方法
(1)转化为证明线面垂直．
(2)证明两个平面的法向量互相垂直．
7．借助空间向量法证明平行、垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养．
【例2】　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：
(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面PCD⊥平面PAD.
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　利用空间向量求角与距离
1．利用空间向量求解空间角与距离的问题，通常需要建立空间直角坐标系．空间几何图形的结构特征，图形中的垂直关系(或在图形中构造的垂直关系)是我们构建空间直角坐标系时的重要依据．常用构建空间直角坐标系的策略有：
(1)利用共顶点的互相垂直的三条棱，构造空间直角坐标系．
(2)利用线面垂直或面面垂直关系构建空间直角坐标系．
(3)利用正棱锥的底面中心与高所在直线，构建空间直角坐标系．
(4)利用底面正三角形一边上的高或菱形的对角线，构建空间直角坐标系．
2．熟练应用向量法求解空间角与距离问题，提升数学运算、直观想象、逻辑推理素养．
【例3】　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
(1)求点A1到平面AC1D的距离；
(2)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(3)求直线CD与平面AC1D所成角的正弦值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型4　数学思想在向量中的应用
1．空间向量的具体应用主要体现为两种方法——向量法和坐标法．这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后由运算结果回归到几何结论．这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想．
2．掌握化归思想在立体几何中的应用，提升数学抽象、数学运算、逻辑推理素养．
【例4】　如图(1)，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，且AB＝AD＝CD＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折起，使ED⊥DC，M为线段DE上的动点，如图(2)．
(1)求二面角C-BE-A的大小；
(2)设＝λ，若AM所在直线与平面BCE相交，求λ的取值范围．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1 / 5类型1　空间向量的表示及运算
1．空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的，要用类比的思想去掌握．在空间向量的加、减、数乘等线性运算中，要选择适当的向量为基底，用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算，同时还要以相应的图形为指导．
2．解决一个向量由其他几个向量来表示的问题，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把所求的向量逐步分解，最终归结为基向量来表示．
3．牢记平面向量基本定理和空间向量基本定理，提升逻辑推理、直观想象、数学运算素养．
【例1】　(1)在三棱锥P-ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形，AB＝2，PC＝1，D为棱AB上一点，则的值为(　　)
A．　　　　　　　 B．1
C． D．与D点位置有关
(2)在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EH＝EF.记＝x＋y＋z，则有序数对(x，y，z)＝__________，若⊥⊥，∠BOC＝，且||＝||＝||＝1，则||＝__________.
(3)已知a＝(1，2，－1)，b＝(－2，4，2)．
①若a∥c，且|c|＝2，求c的坐标；
②若(ka＋b)⊥(a－2b)，求实数k的值．
(1)A　(2)
[(1)如图所示，
取AB的中点E，连接PE，CE，因为△PAB和△ABC都是等边三角形，
所以PE⊥AB，CE⊥AB，因为PE∩CE＝E，所以AB⊥平面PEC，因为PC 平面PEC，
所以AB⊥PC，在△APC中，AP＝AC＝2，PC＝1，由余弦定理知cos ∠APC＝＝＝，
所以＝()·＝＝＝2×1×＝.
(2)由E，F分别是AB，BC的中点，
所以＝)，＝)，
故＝，又因为H是EF上一点，且EH＝EF，故＝，
所以＝＝，故有序数对(x，y，z)＝.
因为⊥⊥，∠BOC＝，
且||＝||＝||＝1，
故＝0，＝0，＝，
又因为＝，
故||＝＝.]
(3)[解]　①因为|a|＝，a∥c，且|c|＝2，所以c＝2a或c＝－2a，所以c＝(2，4，－2)或c＝(－2，－4，2)．
②因为ka＋b＝(k，2k，－k)＋(－2，4，2)＝(k－2，2k＋4，2－k)，a－2b＝(1，2，－1)－(－4，8，4)＝(5，－6，－5)，
由(ka＋b)⊥(a－2b)得(ka＋b)·(a－2b)＝0，
即5(k－2)－6(2k＋4)－5(2－k)＝0，解得k＝－22.
类型2　利用空间向量证明平行与垂直
1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．
2．证明线面平行的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线．
(3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．
3．证明面面平行的方法
(1)转化为线线平行、线面平行处理．
(2)证明这两个平面的法向量是共线向量．
4．证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直．
5．证明线面垂直的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．
(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直．
6．证明面面垂直的方法
(1)转化为证明线面垂直．
(2)证明两个平面的法向量互相垂直．
7．借助空间向量法证明平行、垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养．
【例2】　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：
(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面PCD⊥平面PAD.
[证明]　因为PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，由E为PC的中点，得E(1，1，1)．
(1)＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，故＝0，所以BE⊥DC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以AB⊥PA，
因为AB⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以向量＝(1，0，0)为平面PAD的一个法向量，而＝0，所以⊥，又因为BE 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
(3)由(2)知平面PAD的一个法向量为＝(1，0，0)，向量＝(0，2，－2)，＝(2，0，0)，
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取y＝1，可得平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，1)，
因为·n＝1×0＋0×1＋0×1＝0，
所以n⊥，所以平面PAD⊥平面PCD.
类型3　利用空间向量求角与距离
1．利用空间向量求解空间角与距离的问题，通常需要建立空间直角坐标系．空间几何图形的结构特征，图形中的垂直关系(或在图形中构造的垂直关系)是我们构建空间直角坐标系时的重要依据．常用构建空间直角坐标系的策略有：
(1)利用共顶点的互相垂直的三条棱，构造空间直角坐标系．
(2)利用线面垂直或面面垂直关系构建空间直角坐标系．
(3)利用正棱锥的底面中心与高所在直线，构建空间直角坐标系．
(4)利用底面正三角形一边上的高或菱形的对角线，构建空间直角坐标系．
2．熟练应用向量法求解空间角与距离问题，提升数学运算、直观想象、逻辑推理素养．
【例3】　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
(1)求点A1到平面AC1D的距离；
(2)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(3)求直线CD与平面AC1D所成角的正弦值．
[解]　(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，4)，B(2，0，0)，C1(0，2，4)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，所以＝(0，2，0)，＝(1，1，0)，＝(0，2，4)．
设平面AC1D的一个法向量n＝(x，y，z)，
则取x＝2，则y＝－2，z＝1，则n＝(2，－2，1)为平面AC1D的一个法向量，
∴点A1到平面AC1D的距离d＝＝＝.
(2)＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)，设异面直线A1B与C1D所成角为θ，
则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为
cos θ＝＝＝.
(3)平面AC1D的一个法向量为n＝(2，－2，1)，＝(1，－1，0)，
设直线CD与平面AC1D所成角为α，α∈，
则sin α＝|cos 〈n，〉|＝
＝＝，
∴直线CD与平面AC1D所成角的正弦值为.
类型4　数学思想在向量中的应用
1．空间向量的具体应用主要体现为两种方法——向量法和坐标法．这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后由运算结果回归到几何结论．这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想．
2．掌握化归思想在立体几何中的应用，提升数学抽象、数学运算、逻辑推理素养．
【例4】　如图(1)，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，且AB＝AD＝CD＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折起，使ED⊥DC，M为线段DE上的动点，如图(2)．
(1)求二面角C-BE-A的大小；
(2)设＝λ，若AM所在直线与平面BCE相交，求λ的取值范围．
[解]　因为ED⊥DC，所以，易得DA，DC，DE两两垂直，以D为坐标原点，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则C，A，B，E.
(1)＝＝＝(1，－1，0)，
设平面ABE的一个法向量n1＝，
则
令x1＝1，得y1＝0，z1＝1.所以平面ABE的一个法向量n1＝.
设平面CBE的一个法向量n2＝，
则
令x2＝1，得y2＝1，z2＝2.所以平面CBE的一个法向量n2＝.
所以cos 〈n1，n2〉＝＝＝，
又因为二面角C-BE-A为钝角，
所以二面角C-BE-A的大小为π.
(2)因为＝λ，所以M且λ∈＝，因为AM所在直线与平面BCE相交，
所以·n2＝－1＋2λ≠0，解得λ≠，所以λ的取值范围为.
章末综合测评(一)　空间向量与立体几何
满分：150分　时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·(a＋3b)＝(　　)
A．(0，34，10) B．(－3，19，7)
C．44 D．23
C　[a＋3b＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a·(a＋3b)＝(－3，2，5)·(0，17，2)＝0＋34＋10＝44.]
2．已知不共面的三个向量a，b，c都是单位向量，且夹角都是，则向量a－b－c和b的夹角为(　　)
A．　　　B．　　　 C．　　　D．
C　[由题意，得|a|＝|b|＝|c|＝1，
a·b＝a·c＝b·c＝，
所以|a－b－c|＝
＝＝，
(a－b－c)·b＝a·b－b2－b·c＝－1，
设向量a－b－c和b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.]
3．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A． B．
C．1 D．
D　[因为EC＝2PE，，所以＝，
所以＝＝＝＝＝＝.
又＝x＋y＋z，
所以则x＋y＋z＝.故选D.]
4．如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角B-AC-M的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
A　[因为BC⊥平面PAB，PA 平面PAB，所以PA⊥BC，
又PA⊥AB，且BC∩AB＝B，所以PA⊥平面ABCD.以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.则A(0，0，0)，C(1，2，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，M，所以＝(1，2，0)，＝，求得平面AMC的一个法向量为n＝(－2，1，1)，又平面ABC的一个法向量＝(0，0，2)，所以cos 〈n，〉＝＝＝＝.
所以二面角B-AC-M的余弦值为.]
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，A1B1的中点，则异面直线EF与AD1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
A　[如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则E，F，A，D1，
∴＝＝，
∴cos 〈〉＝＝＝，
即异面直线EF与AD1所成角的余弦值为.故选A.]
6．已知向量a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)
A．－2 B．－
C． D．2
D　[因为a⊥(a－λb)，
所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝0，
所以|a|2＝λa·b，所以14＝λ(2＋2＋3)＝7λ，
解得λ＝2.故选D.]
7．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为(　　)
A． B．
C． D．
C　[取AC的中点E，连接BE，则BE⊥AC，如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则，D(0，0，1)，则＝.∵平面ABC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，∴BE⊥平面AA1C1C，∴＝为平面AA1C1C的一个法向量．设AD与平面AA1C1C所成的角为α，
则sin α＝|cos 〈〉|＝＝.]
8．在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝60°，则点C到平面PAB的距离是(　　)
A． B．
C． D．
B　[因为在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝60°，
所以以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则C(0，4，0)，P(0，4，4)，A(0，0，0)，B(4，0，0)，所以＝(0，4，0)，＝(4，0，0)，＝(0，4，4)．
设平面PAB的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
取z＝1，得n＝(0，－，1)为平面PAB的一个法向量，所以点C到平面PAB的距离d＝＝＝.故选B.]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的是(　　)
A．若a是直线l的方向向量，l⊥α，则λa是平面α的法向量
B．若＝λ＋μ，则直线AB∥平面CDE或AB 平面CDE
C．A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，若＝，则P，A，B，C四点共面
D．若是空间的一个基底，m＝a＋c，则也是空间的一个基底
BD　[对于A：当λ＝0时λa＝0，此时显然不是平面α的法向量，故A错误；
对于B：当C，D，E三点共线时，∥，又＝λ＋μ，所以∥，则直线AB∥平面CDE或AB 平面CDE，
当C，D，E三点不共线时，可以作为平面CDE内的一组基底，因为＝λ＋μ，
设在平面CDE内存在＝λ＋μ，所以与平面CDE内的向量相等，
则AB∥MN，
所以直线AB∥平面CDE或AB 平面CDE，故B正确；
对于C：因为＝＝≠1，所以P，A，B，C四点不共面，故C错误；
对于D：因为是空间的一个基底，
所以a，b，c不共面，则a，b，a＋c不共面，故也是空间的一个基底，故D正确．故选BD.]
10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则(　　)
A．B1的坐标为(2，2，3)
B．＝(－2，0，3)
C．平面A1BC1的一个法向量为n＝(－3，3，－2)
D．二面角B-A1C1-B1的余弦值为
ABD　[由题意知，A1(2，0，3)，B(2，2，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3)，所以＝(－2，0，3)，＝(0，2，－3)，故A，B正确；n·＝(－3，3，－2)·(0，2，－3)≠0，故C错误；设平面A1BC1的一个法向量为m＝(x，y，z)，则即令x＝－3，得m＝(－3，－3，－2)，易得平面A1B1C1的一个法向量为n1＝(0，0，1)，则cos 〈m，n1〉＝＝＝－，结合题图可知二面角B-A1C1-B1的余弦值为，故D正确．故选ABD.]
11．如图(1)是一副直角三角板的示意图．现将两三角板拼成直二面角，连接AD，得到四面体ABCD，如图(2)所示，则下列结论中正确的是 (　　)
A．＝0
B．平面BCD⊥平面ACD
C．异面直线BC与AD所成的角为60°
D．直线DC与平面ABC所成的角为30°
AD　[以B为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设BD＝2，则B(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，2，0)，A(0，)，∴＝(2，0，0)，＝(0，，－)，＝(0，2，0)，＝(2，－，－)，＝(－2，2，0)．则＝(2，0，0)·(0，，－)＝0，A正确．易得平面BCD的一个法向量为n1＝(0，0，)，平面ACD的一个法向量为n2＝(，1，1)，n1·n2≠0，B错误．＝≠，C错误．易得平面ABC的一个法向量为＝(2，0，0)，设直线DC与平面ABC所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，所以θ＝30°，故D正确．
]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量a＝，向量 b＝，若a∥b，则实数m的值为__________．
2　[因为向量a＝，向量 b＝，且a∥b，
所以＝＝，解得m＝2.]
13．如图，在四面体A-BCD中，△ABC为正三角形，四面体的高AH＝3，若二面角A-BC-D的大小为，则△ABC的面积为__________．
4　[由H向BC作垂线，垂足为E，连接AE，由三垂线定理知AE⊥BC，
所以∠AEH为二面角A-BC-D的平面角，即∠AEH＝.
因为AH＝3，所以AE＝2.
设正三角形ABC的边长为a，
则a＝2，所以a＝4.
所以S△ABC＝×4×2＝4.]
14．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕将△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝，则C到平面PBD的距离为__________；PC与平面PBD所成角的余弦值为__________.
　[如图，连接EC.在△PEC中，PE＝1，EC＝，PC＝，
所以PE2＋EC2＝PC2，所以PE⊥EC.
因为PE⊥DE，DE∩EC＝E，DE，EC 平面BCDE，所以PE⊥平面BCDE.
以E为坐标原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，所以＝(1，－1，0)，＝(0，－1，1)，＝(1，1，－1)，＝(－1，0，0)．
设平面PBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则令x＝1，得n＝(1，1，1)，
所以C到平面PBD的距离d＝＝＝.
因为cos 〈，n〉＝＝，所以PC与平面PBD所成角的余弦值为＝.]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．
[解]　(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E，从而＝(，1，0)，＝(，0，－2)．
设与的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝.
所以AC与PB所成角的余弦值为.
(2)由于点N在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则＝，
由NE⊥平面PAC可得，
即
化简得所以
即N点的坐标为时，NE⊥平面PAC.
16．(本小题满分15分)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝，FB＝2，M为AD的中点．
(1)证明：BM∥平面CDE；
(2)求二面角F-BM-E的正弦值．
[解]　(1)证明：因为BC∥AD，BC＝2，AD＝4，M为AD的中点，所以BC∥MD，BC＝MD，
四边形BCDM为平行四边形，所以BM∥CD，又因为BM 平面CDE，
CD 平面CDE，所以BM∥平面CDE.
(2)解：如图所示，作BO⊥AD交AD于点O，连接OF.
因为四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，AD＝4，AB＝BC＝2，所以CD＝2，
结合(1)四边形BCDM为平行四边形，可得BM＝CD＝2，又AM＝2，
所以△ABM为等边三角形，O为AM的中点，所以OB＝.
又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为AD中点，所以EF＝MD，EF∥MD，
四边形EFMD为平行四边形，FM＝ED＝AF，
所以△AFM为等腰三角形，△ABM与△AFM底边上中点O重合，OF⊥AM，OF＝＝3.
又因为BF＝2，则OB2＋OF2＝BF2，所以OB⊥OF，所以OB，OD，OF互相垂直，
以OB方向为x轴，OD方向为y轴，OF方向为z轴，建立空间直角坐标系，
则F(0，0，3)，B(，0，0)，M(0，1，0)，E(0，2，3)，＝(－，1，0)，＝(－，0，3)，＝(－，2，3)，
设平面BFM的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
令x1＝，得y1＝3，z1＝1，
即m＝(，3，1)．
设平面EMB的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则即
令x2＝，得y2＝3，z2＝－1，
即n＝(，3，－1)则cos 〈m，n〉＝＝＝，则sin 〈m，n〉＝，
故二面角F-BM-E的正弦值为.
17．(本小题满分15分)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
(1)证明：B2C2∥A2D2；
(2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P.
[解]　(1)证明：(法一)依题意，得＝＝＝，
所以B2C2∥A2D2.
(法二)以点C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，A2(2，2，1)，D2(2，0，2)，
所以＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)，
所以＝，所以B2C2∥A2D2.
(2)建立空间直角坐标系，建系方法同(1)中法二，设BP＝n(0≤n≤4)，则P(0，2，n)，
所以＝(2，0，1－n)，＝(0，－2，3－n)，
设平面PA2C2的一个法向量为a＝(x1，y1，z1)，
所以则
令x1＝n－1，得a＝(n－1，3－n，2)为平面PA2C2的一个法向量．
设平面A2C2D2的一个法向量为b＝(x2，y2，z2)，
由(1)法二知，＝(－2，－2，2)，＝(0，－2，1)，
所以则
令y2＝1，得b＝(1，1，2)为平面A2C2D2的一个法向量．
所以|cos 150°|＝|cos 〈a，b〉|
＝＝，
整理得n2－4n＋3＝0，解得n＝1或n＝3，
所以BP＝1或BP＝3，
所以B2P＝1.
18．(本小题满分17分)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
①AB⊥BC；
②FC与平面ABCD所成的角为；
③∠ABC＝.
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，PD的中点为F.
(1)在线段AB上是否存在一点G，使得AF∥平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；
(2)若__________，求二面角F-AC-D的余弦值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解]　(1)在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG.
证明如下：如图所示，
取PC的中点H，连接FH，GH，
所以FH∥CD，FH＝CD，
AG∥CD，AG＝CD，
所以FH∥AG，FH＝AG，
所以四边形AGHF为平行四边形，
则AF∥GH，又GH 平面PCG，AF 平面PCG，
所以AF∥平面PCG.
(2)选择①AB⊥BC：
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，
由题意知AB，AD，AP两两垂直，
以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
因为PA＝AB＝2，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，
所以＝(0，1，1)，＝(－2，－1，1)，
设平面FAC的一个法向量为μ＝(x，y，z)，
所以
取y＝1，得μ＝(－1，1，－1)为平面FAC的一个法向量，
平面ACD的一个法向量为v＝(0，0，1)，
设二面角F-AC-D的平面角为θ，
则cos θ＝＝，
所以二面角F-AC-D的余弦值为.
选择②FC与平面ABCD所成的角为：
因为PA⊥平面ABCD，取BC中点E，
连接AE，取AD的中点M，连接FM，CM，
则FM∥PA，且FM＝1，
所以FM⊥平面ABCD，
FC与平面ABCD所成角为∠FCM，
所以∠FCM＝，
在Rt△FCM中，CM＝，
又CM＝AE，所以AE2＋BE2＝AB2，
所以BC⊥AE，
所以AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
因为PA＝AB＝2，
所以A(0，0，0)，B(，－1，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，
所以＝(0，1，1)，＝(－，0，1)，
设平面FAC的一个法向量为a＝(x，y，z)，
则
取x＝，得a＝(，－3，3)为平面FAC的一个法向量，
平面ACD的一个法向量b＝(0，0，1)，
设二面角F-AC-D的平面角为θ，
则cos θ＝＝.
所以二面角F-AC-D的余弦值为.
选择③∠ABC＝：
因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BC，取BC中点E，连接AE，
因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
所以△ABC是正三角形，因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，
所以AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为PA＝AB＝2，所以A(0，0，0)，B(，－1，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，
所以＝(0，1，1)，＝(－，0，1)，
设平面FAC的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则
取x＝，得m＝(，－3，3)为平面FAC的一个法向量，
平面ACD的一个法向量n＝(0，0，1)，
设二面角F-AC-D的平面角为θ，
则cos θ＝＝，
所以二面角F-AC-D的余弦值为.
19．(本小题满分17分)如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(1)求证D1N∥平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值；
(3)求点B到平面CB1M的距离．
[解]　(1)证明：取CB1中点P，连接NP，MP，
由N是B1C1的中点，故NP∥CC1，且NP＝CC1，
由M是DD1的中点，故D1M＝DD1＝CC1，且D1M∥CC1，
则有D1M∥NP，D1M＝NP，
故四边形D1MPN是平行四边形，故D1N∥MP.
又MP 平面CB1M，D1N 平面CB1M，
故D1N∥平面CB1M.
(2)解：由题意知，AB，AD，AA1两两垂直，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，M(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，2)，
则有＝(1，－1，2)，＝(－1，0，1)，＝(0，0，2)．
设平面CB1M与平面BB1C1C的一个法向量分别为m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)，
则有
分别取x1＝x2＝1，则有y1＝3，z1＝1，y2＝1，z2＝0，
即m＝(1，3，1)，n＝(1，1，0)，
设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，
故平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为.　
(3)由＝(0，0，2)，平面CB1M的一个法向量m＝(1，3，1)，
则有＝＝，
即点B到平面CB1M的距离为.
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