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第2课时　共线向量与共面向量
[学习目标]　
1．理解向量共线、向量共面的定义．(数学抽象)
2．掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件．(数学运算、逻辑推理)
3．会证明空间三点共线、四点共面．(逻辑推理)
探究1　空间向量共线的充要条件
问题1　平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使______________．
2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取______________，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示．
[典例讲评]　1．(1)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝________．
(2)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　证明空间三点共线有哪些方法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[学以致用]　1．如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝＝．
求证：四边形EFGH是梯形．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　空间向量共面的充要条件
问题2　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA______________或______________，那么称向量a平行于平面α．
2．共面向量
定义 平行于同一个______________的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______________的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
[典例讲评]　【链接教材P5例1】
2．(1)已知P为空间内任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若＝＋x，则x＝(　　)
A．
C．
(2)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝)．
①判断三个向量是否共面；
②判断点M是否在平面ABC内．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下条件进行证明．
①＝x＋y；
②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．
(2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
[学以致用]　2．如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k＝k(0≤k≤1)．判断向量是否与向量共面．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　)
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
2．下列命题正确的是(　　)
A．用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面
B．若存在实数x，y，使得＝x＋y不共线)，则与共面
C．共面的三个向量的起点和终点一定共面
D．若向量a，b共线，且b与c共线，则a与c共线
3．(教材P5例1改编)在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是(　　)
A．＝2
B．＝
C．＋2＝0
D．＝0
4．若a与b不共线，而a＋3b与λa－b共线，则实数λ＝________．
1．知识链：
2．方法链：类比、转化化归．
3．警示牌：向量共线与线段共线、点共线不同，不要混淆．
4/4第2课时　共线向量与共面向量
[学习目标]　
1．理解向量共线、向量共面的定义．(数学抽象)
2．掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件．(数学运算、逻辑推理)
3．会证明空间三点共线、四点共面．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．空间向量共线的充要条件和平面向量有区别吗？为什么？
问题2．直线的方向向量和共面向量是如何定义的？
问题3．空间向量共面的充要条件是什么？
问题4．类比三点共线的条件，可得到四点共面的条件是什么？
探究1　空间向量共线的充要条件
问题1　平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？
[提示]　对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．该充要条件也适用于空间向量．
[新知生成]
1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示．
【教用·微提醒】　(1)0与空间任意向量a都是共线向量，这一性质使共线向量不具有传递性．
(2)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上．
[典例讲评]　1．(1)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝________．
(2)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
(1)1　[由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即＝λ()，所以＝(1－λ)＋λ，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1．]
(2)[解]　法一：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝＝．①
又∵＝＝－，②
①＋②，得2＝，
∴∥，即与共线．
法二：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝＝)－
＝)－)
＝)＝)＝，
∴∥，即与共线．
　证明空间三点共线有哪些方法？
[提示]　对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线：
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
[学以致用]　1．如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝＝．
求证：四边形EFGH是梯形．
[证明]　∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝＝．
∵＝＝＝
＝)＝
＝)＝，
∴∥，且||＝||≠||．
又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形．
探究2　空间向量共面的充要条件
问题2　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？
[提示]　不一定．如图所示，空间中的三个向量不共面．
[新知生成]
1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α．
2．共面向量
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
【教用·微提醒】　向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．
[典例讲评]　【链接教材P5例1】
2．(1)已知P为空间内任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若＝＋x，则x＝(　　)
A．
C．
(2)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝)．
①判断三个向量是否共面；
②判断点M是否在平面ABC内．
(1)B　[因为＝＋x，所以＋x＝1，故x＝，故选B．]
(2)[解]　①因为＝3，所以＝()＋()，即＝＝－，所以共面．
②法一：由①知共面且过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
法二：因为＝)＝＝1，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
【教材原题·P5例1】
例1　如图1.1-9，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使＝＝＝＝k．求证：E，F，G，H四点共面．
[分析]　欲证E，F，G，H四点共面，只需证明共面．而由已知共面，可以利用向量运算由共面的表达式推得共面的表达式．
[证明]　因为＝＝＝＝k，所以
＝k＝k＝k＝k．
因为四边形ABCD是平行四边形，所以
＝．
因此＝＝k－k＝k
＝k()＝k()
＝＝．
由向量共面的充要条件可知，共面，又过同一点E，从而E，F，G，H四点共面．
　向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下条件进行证明．
①＝x＋y；
②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．
(2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
[学以致用]　2．如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k＝k(0≤k≤1)．判断向量是否与向量共面．
[解]　连接AN(图略)，因为＝＝＋k()＝(1－k)＋k，
＝k＝k()，
所以＝＝(1－k)＋k－k－k＝(1－k)－k．
所以向量与向量共面．
【教用·备选题】　对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1．
[证明]　①充分性．
∵＝x＋y＋z可变形为＝(1－y－z)＋y＋z，
∴＝y()＋z()，
∴＝y＋z，
∴点P与A，B，C共面．
②必要性．
∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线，
∴存在有序实数对(m，n)，使＝m＋n，
＝m()＋n()，
∴＝(1－m－n)＋m＋n，
∵＝x＋y＋z，点O在平面ABC外，
∴不共面，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，
∴x＋y＋z＝1．
1．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　)
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
A　[由三个向量共面的充要条件可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量．]
2．下列命题正确的是(　　)
A．用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面
B．若存在实数x，y，使得＝x＋y不共线)，则与共面
C．共面的三个向量的起点和终点一定共面
D．若向量a，b共线，且b与c共线，则a与c共线
B　[空间中，用有向线段表示的向量仍然是自由向量，而任意两个向量总是共面向量，故A错误；
当与共线时，与共面，当与不共线时，由向量共面的充要条件，可知与共面，B正确；
若其中两个向量是平行向量，第三个向量与其中一个向量有相同的起点，则这三个向量一定是共面向量，但这三个向量的起点和终点却可以不共面，故C错误；
向量a，b共线，且b，c共线，但a与c不一定共线，因为b可以为零向量，故D错误．]
3．(教材P5例1改编)在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是(　　)
A．＝2
B．＝
C．＋2＝0
D．＝0
C　[根据共面向量定理，＝x＋y＋z，
若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是x＋y＋z＝1，
由此得到选项A，B，D均不正确；
对于C，＝－2，∴M，A，B，C四点共面．
故选C．]
4．若a与b不共线，而a＋3b与λa－b共线，则实数λ＝________．
－　[∵a＋3b与λa－b共线，∴存在实数k，使k(a＋3b)＝λa－b，
∴(k－λ)a＋(3k＋1)b＝0．
又a，b不共线，∴k－λ＝0且3k＋1＝0，∴λ＝－．]
1．知识链：
2．方法链：类比、转化化归．
3．警示牌：向量共线与线段共线、点共线不同，不要混淆．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量a与b共线，则一定存在λ使得a＝λb成立吗？
[提示]　当b＝0时，不一定存在λ值．
2．如何证明点P，A，B，C四点共面？
[提示]　可转化为证明向量共面．
课时分层作业(二)　共线向量与共面向量
一、选择题
1．已知非零空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
A　[由题意可得＝＝2a＋4b，则＝2，则A，B，D三点共线；＝＝－4a＋8b，不存在实数λ满足＝λ，则A，B，C三点不共线；
不存在实数λ满足＝λ，则B，C，D三点不共线；
不存在实数λ满足＝λ，则A，C，D三点不共线．故选A．]
2．已知O为空间上任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且＝m＋2，则m的值为(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．1
B　[法一：因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，所以存在x，y∈R，使得＝x＋y，
因为＝＝＝，所以＝x()＋y()，即＝(1－x－y)＋x＋y，
因为＝m＋2，
所以解得m＝－2．
法二：根据四点共面的充要条件，若A，B，C，P四点共面，则＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，
则m＋2＋1＝1，解得m＝－2．故选B．]
3．(多选)下列说法错误的是(　　)
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＝0
B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb
C．若共线，则AB∥CD
D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
BCD　[对于A，＝＝0，A正确；
对于B，当b＝0，a≠0时，λ不存在，B错误；
对于C，若共线，则AB，CD可以在同一条直线上，C错误；
对于D，当x＋y＋z≠1时，P，A，B，C四点不共面，D错误．故选BCD．]
4．在下列条件中，使P与A，B，C一定共面的是(　　)
A．＝＋2
B．＝
C．＝0
D．＋2＝0
C　[根据空间向量共面定理，＝x＋y＋z，若A，B，C不共线，且P，A，B，C共面，则其充要条件是x＋y＋z＝1．
对于A选项，由于1－1＋2＝2≠1，所以不能得出P，A，B，C共面，故A错误；
对于B选项，由于≠1，所以不能得出P，A，B，C共面，故B错误；
对于C选项，由已知条件：＝0，整理得＝，则为共面向量，所以P，A，B，C共面，故C正确；
对于D选项，＋2＝0，整理得＝－－2，
由于－1－1－2＝－4≠1，所以不能得出P，A，B，C共面，故D错误．
故选C．]
二、填空题
5．设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k的值为________．
－8　[因为＝e1＋3e2，＝2e1－e2，所以＝＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2．因为A，B，D三点共线，所以＝λ，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2．因为e1，e2是空间中两个不共线的向量，所以所以k＝－8．]
6．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋λ，若共面，则λ＝________．
　[法一：由题意＝＝－λ＝＝－－λ＝＝－＋(1－λ)，因为共面，
所以存在唯一实数对(m，n)，使得＝m＋n，
即－λ＝m＋n，
所以解得λ＝．
法二：由共面得M，A，B，C四点共面，
则根据四点共面的充要条件可得，＋λ＝1，即λ＝．]
7．给出下列四个命题：
①若存在实数x，y，使p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
②若p与a，b共面，则存在实数x，y，使p＝xa＋yb；
③若存在实数x，y，使＝x＋y，则点P，M，A，B共面；
④若点P，M，A，B共面，则存在实数x，y，使＝x＋y．
其中 ________是真命题．(填序号)
①③　[①由共面向量定理知，若存在实数x，y，使p＝xa＋yb，则p与a，b共面，故正确；
②若a，b共线，且p不与a，b共线，则不存在实数x，y，使p＝xa＋yb，故错误；
③由共面向量定理知，若存在实数x，y，使＝x＋y，则点P，M，A，B共面，故正确；
④若共线，不与共线，则不存在实数x，y，使＝x＋y，故错误．]
三、解答题
8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．若＝a，＝b，＝c．
(1)用a，b，c表示；
(2)求证：E，F，B三点共线．
[解]　(1)＝＝＝a－c－b．
(2)证明：已知＝a，＝b，＝c，
连接AC(图略)．
∵＝2＝，∴＝＝，
∴＝＝b，
＝)＝)＝a＋b－c，
∴＝＝a－b－c＝，
又∵由(1)知＝a－b－c，∴＝，且有公共点E，
∴E，F，B三点共线．
9．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．若p＝2x＋3y，则p与x，y共面
B．若＝2＋3，则M，P，A，B共面
C．若＝0，则A，B，C，D共面
D．若＝，则P，A，B，C共面
ABD　[选项A，根据共面向量定理可知，p与x，y共面，所以A选项是正确的；
选项B，根据共面向量定理可知，共面，由于它们有公共点M，
则M，P，A，B共面，所以B选项是正确的；
选项C，举反例说明，若是一个正方体同一个顶点O的三条棱所对应的向量，则它们的和向量是以O为起点的体对角线向量，而是该体对角线向量的相反向量，
此时显然四个点A，B，C，D不在同一个平面上，所以C选项是错误的；
选项D，由＝，可得＝1，所以P，A，B，C共面，即D选项是正确的．
故选ABD．]
10．(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则(　　)
A．当λ＝1时，点P在棱BB1上
B．当μ＝1时，点P在棱B1C1上
C．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上
D．当λ＝μ时，点P在线段BC1上
BCD　[对于A：当λ＝1时，＝＋μ，所以＝μ，则∥，即点P在棱CC1上，故A错误；对于B：当μ＝1时，＝λ，则＝λ，则∥，故点P在棱B1C1上，故B正确；对于C：当λ＋μ＝1时，可得μ＝1－λ，所以＝λ＋(1－λ)，即＝λ，由于存在线性关系，即点P在线段B1C上，故C正确；对于D：当λ＝μ时，＝λ()＝λ，由于存在线性关系，故点P在线段BC1上，故D正确．故选BCD．]
11．已知A，B，C三点共线，若对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
0　[由λ＋m＋n＝0，
得＝－．
由A，B，C三点共线知，
－＝1，所以λ＋m＋n＝0．]
12．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE．
求证：向量共面．
[证明]　因为点M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝．
同理，＝．
所以＝＝＝＝．
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面．
13．如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，＝＝2，AC1与平面EFG交于点M，求．
[解]　由题图知，设＝λ(0＜λ＜1)，由已知，得＝＝2＋3，
所以＝2λ＋3λ．因为M，E，F，G四点共面，
所以2λ＋3λ＋＝1，解得λ＝．
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