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第一章　空间向量与立体几何
要点1　共线、共面向量基本定理
1．共线向量基本定理
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
推论：若存在实数t，使＝＋t＝(1－t)＋t(O为空间任意一点)，则P，A，B三点共线．
2．共面向量基本定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则满足向量关系式＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C共面．
要点2　空间向量的数量积的应用
(1)a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，此结论一般用于证明空间中的垂直关系．
(2)|a|2＝a2，此结论一般用于求空间中线段的长度．
(3)cos 〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间角的问题．
(4)|b|cos 〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间中的距离问题．
要点3　空间向量在立体几何中的应用
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则
线线平行 l∥m a∥b a＝kb，k∈R
线面平行 l∥α a⊥u a·u＝0
面面平行 α∥β u∥v u＝kv，k∈R
线线垂直 l⊥m a⊥b a·b＝0
线面垂直 l⊥α a∥u a＝ku，k∈R
面面垂直 α⊥β u⊥v u·v＝0
线线夹角 l，m的夹角为θ，cos θ＝
线面夹角 l，α的夹角为θ，sin θ＝
面面夹角 α，β的夹角为θ，|cos θ|＝
注意：(1)线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为0≤θ≤．(2)二面角的范围为[0，π]，解题时应具体分析二面角是锐角还是钝角．
第二章　直线和圆的方程
要点1　直线的方程
已知条件 方程 适用范围
点斜式 点P0(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在，即适用于与x轴不垂直的直线
斜截式 斜率k和直线在y轴上的截距为b y＝kx＋b
两点式 点P1(x1，y1)和P2(x2，y2) ＝ 斜率存在且不为0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 直线在x轴上的截距为a和直线在y轴上的截距为b ＝1 斜率存在且不为0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 所有直线
要点2　两条直线的位置关系
位置关系 方程形式
斜截式： y＝k1x＋b1， y＝k2x＋b2 一般式： A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
平行 k1＝k2且b1≠b2 或 或＝≠(A2，B2，C2均不为0)
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－A2C1＝0
要点3　平面上的距离公式
(1)任意两点间的距离：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝．
(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行直线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A与B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝．
要点4　圆的方程
1．圆的标准方程
圆心为(a，b)，半径为r(r>0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
2．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，圆心为，半径为．
3．求圆的方程的方法
(1)几何性质法：利用圆的任意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程．
(2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，利用条件求出a，b，r或D，E，F即可．
要点5　直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系的判定方法
关系 相交 相切 相离
几何法 dr
代数法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
说明：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径，Δ为直线和圆的方程联立消元后所得一元二次方程的根的判别式．
2．求弦长的方法
(1)利用垂径定理：已知半径r、弦心距d、弦长l，则d2＋＝r2．
(2)利用弦长公式：联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，则弦长为|x1－x2|．
3．圆的切线方程
(1)经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0．
4．求切线方程的方法
若切线斜率存在，记为k，且不为0．
(1)几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即得切线方程．
(2)代数法：将切线方程与圆的方程联立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切线方程．
注意：过圆外一点的切线有两条，若解出的k值唯一，则应检验是否有一条与x轴垂直的切线．
要点6　圆与圆的位置关系
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
几何法 d>R＋r d＝R＋r R－r代数法 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
说明：d为两圆的圆心距，R，r(R>r)分别为两圆的半径，Δ为联立两圆方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式．由于利用代数法求出Δ<0或Δ＝0后两圆的位置关系仍不明确，因此一般利用几何法判断两圆的位置关系．
第三章　圆锥曲线的方程
要点1　椭圆、双曲线、抛物线的比较
椭圆 双曲线 抛物线
定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹
标准 方程 ＝1 (a>b>0) ＝1 (a>0，b>0) y2＝2px (p>0)
几何 图形
集合 表示 {M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|>0} {M|||MF2|－|MF1||＝2a，0<2a<|F1F2|} {M||MF|＝点M到直线l的距离}
焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(－c，0)， F2(c，0) F
范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(－a，0)， A2(a，0) O(0，0)
中心 原点(0，0) 原点(0，0) 无
离心 率 01 e＝1
通径 长 2p
焦 半径 |MF1|＝a＋exM， |MF2|＝a－exM 当点M在右支上时， |MF1|＝a＋exM， |MF2|＝－a＋exM； 当点M在左支上时，|MF1|＝－a－exM，|MF2|＝ |MF|＝＋xM
要点2　椭圆、双曲线的焦点三角形的相关结论
1．椭圆
设F1，F2是椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．则
(1)当且仅当a2≥2b2时，椭圆上存在以P为直角顶点的直角三角形，其中，当a2＝2b2时，直角顶点为短轴端点．
(2)离心率e＝＝，e＝．
(3)|PF1|·|PF2|＝＝b2tan ．
2．双曲线
设F1，F2是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．则
(1)离心率e＝＝，e＝．
(2)|PF1|·|PF2|＝＝．
要点3　抛物线焦点弦的相关结论
已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，PQ为过焦点F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直线的倾斜角为θ．则
(1)焦点弦长|PQ|＝x1＋x2＋p，且以焦点弦为直径的圆和准线相切．
(2)P，Q的横坐标之积、纵坐标之积均为定值：x1x2＝，y1y2＝－p2．
(3)|PF|＝(点P在x轴上方)，|FQ|＝(点Q在x轴下方)，从而|PQ|＝＝，S△OPQ＝抛物线的顶点)．
3/6第一章　空间向量与立体几何
要点1　共线、共面向量基本定理
1．共线向量基本定理
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
推论：若存在实数t，使＝＋t＝(1－t)＋t(O为空间任意一点)，则P，A，B三点共线．
2．共面向量基本定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则满足向量关系式＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C共面．
要点2　空间向量的数量积的应用
(1)a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，此结论一般用于证明空间中的垂直关系．
(2)|a|2＝a2，此结论一般用于求空间中线段的长度．
(3)cos 〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间角的问题．
(4)|b|cos 〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间中的距离问题．
要点3　空间向量在立体几何中的应用
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则
线线平行 l∥m a∥b a＝kb，k∈R
线面平行 l∥α a⊥u a·u＝0
面面平行 α∥β u∥v u＝kv，k∈R
线线垂直 l⊥m a⊥b a·b＝0
线面垂直 l⊥α a∥u a＝ku，k∈R
面面垂直 α⊥β u⊥v u·v＝0
线线夹角 l，m的夹角为θ，cos θ＝
线面夹角 l，α的夹角为θ，sin θ＝
面面夹角 α，β的夹角为θ，|cos θ|＝
注意：(1)线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为0≤θ≤．(2)二面角的范围为[0，π]，解题时应具体分析二面角是锐角还是钝角．
第二章　直线和圆的方程
要点1　直线的方程
已知条件 方程 适用范围
点斜式 点P0(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在，即适用于与x轴不垂直的直线
斜截式 斜率k和直线在y轴上的截距为b y＝kx＋b
两点式 点P1(x1，y1)和P2(x2，y2) ＝ 斜率存在且不为0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 直线在x轴上的截距为a和直线在y轴上的截距为b ＝1 斜率存在且不为0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 所有直线
要点2　两条直线的位置关系
位置关系 方程形式
斜截式： y＝k1x＋b1， y＝k2x＋b2 一般式： A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
平行 k1＝k2且b1≠b2 或 或＝≠(A2，B2，C2均不为0)
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－A2C1＝0
要点3　平面上的距离公式
(1)任意两点间的距离：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝．
(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行直线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A与B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝．
要点4　圆的方程
1．圆的标准方程
圆心为(a，b)，半径为r(r>0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
2．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，圆心为，半径为．
3．求圆的方程的方法
(1)几何性质法：利用圆的任意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程．
(2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，利用条件求出a，b，r或D，E，F即可．
要点5　直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系的判定方法
关系 相交 相切 相离
几何法 dr
代数法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
说明：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径，Δ为直线和圆的方程联立消元后所得一元二次方程的根的判别式．
2．求弦长的方法
(1)利用垂径定理：已知半径r、弦心距d、弦长l，则d2＋＝r2．
(2)利用弦长公式：联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，则弦长为|x1－x2|．
3．圆的切线方程
(1)经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0．
4．求切线方程的方法
若切线斜率存在，记为k，且不为0．
(1)几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即得切线方程．
(2)代数法：将切线方程与圆的方程联立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切线方程．
注意：过圆外一点的切线有两条，若解出的k值唯一，则应检验是否有一条与x轴垂直的切线．
要点6　圆与圆的位置关系
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
几何法 d>R＋r d＝R＋r R－r代数法 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
说明：d为两圆的圆心距，R，r(R>r)分别为两圆的半径，Δ为联立两圆方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式．由于利用代数法求出Δ<0或Δ＝0后两圆的位置关系仍不明确，因此一般利用几何法判断两圆的位置关系．
第三章　圆锥曲线的方程
要点1　椭圆、双曲线、抛物线的比较
椭圆 双曲线 抛物线
定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹
标准 方程 ＝1 (a>b>0) ＝1 (a>0，b>0) y2＝2px (p>0)
几何 图形
集合 表示 {M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|>0} {M|||MF2|－|MF1||＝2a，0<2a<|F1F2|} {M||MF|＝点M到直线l的距离}
焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(－c，0)， F2(c，0) F
范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(－a，0)， A2(a，0) O(0，0)
中心 原点(0，0) 原点(0，0) 无
离心 率 01 e＝1
通径 长 2p
焦 半径 |MF1|＝a＋exM， |MF2|＝a－exM 当点M在右支上时， |MF1|＝a＋exM， |MF2|＝－a＋exM； 当点M在左支上时，|MF1|＝－a－exM，|MF2|＝ |MF|＝＋xM
要点2　椭圆、双曲线的焦点三角形的相关结论
1．椭圆
设F1，F2是椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．则
(1)当且仅当a2≥2b2时，椭圆上存在以P为直角顶点的直角三角形，其中，当a2＝2b2时，直角顶点为短轴端点．
(2)离心率e＝＝，e＝．
(3)|PF1|·|PF2|＝＝b2tan ．
2．双曲线
设F1，F2是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．则
(1)离心率e＝＝，e＝．
(2)|PF1|·|PF2|＝＝．
要点3　抛物线焦点弦的相关结论
已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，PQ为过焦点F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直线的倾斜角为θ．则
(1)焦点弦长|PQ|＝x1＋x2＋p，且以焦点弦为直径的圆和准线相切．
(2)P，Q的横坐标之积、纵坐标之积均为定值：x1x2＝，y1y2＝－p2．
(3)|PF|＝(点P在x轴上方)，|FQ|＝(点Q在x轴下方)，从而|PQ|＝＝，S△OPQ＝抛物线的顶点)．
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