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第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用
[学习目标]　
1．了解抛物线的简单应用．(逻辑推理、数学运算)
2．掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题．(直观想象、数学运算)
探究1　直线与抛物线的位置关系
问题1　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
直线与抛物线有三种位置关系：______________、______________和______________．
设直线y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．
(1)k＝0时，直线与抛物线只有______________个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线______________ 有______________个公共点．
Δ＝0 直线与抛物线______________ 只有______________个公共点．
Δ＜0 直线与抛物线______________ ______________公共点．
[典例讲评]　1．(源自湘教版教材)已知抛物线C：y2＝2x，直线l过定点(0，－2)．讨论直线l与抛物线的公共点的情况．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点．
[学以致用]　【链接教材P139习题3.3T12】
1．已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
探究2　弦长问题
[典例讲评]　2．已知直线l：y＝x＋b与抛物线C：y2＝4x．
(1)若直线l与抛物线C相切，求实数b的值；
(2)若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求直线l的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　试完成下列求弦长问题的方法
斜率为k的直线和抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点时，
(1)对斜率存在的直线才能使用弦长公式，斜率不存在的直线|AB|＝|y1－y2|．弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝．
(2)当直线经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (θ为直线的倾斜角)．
[学以致用]　2．已知抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x＋t与抛物线W相交于A，B两点．
(1)将|AB|表示为t的函数；
(2)若|AB|＝3，求△AFB的周长．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　抛物线的中点弦问题
[典例讲评]　3．过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解决中点弦问题的常用方法
[学以致用]　3．斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝9相切于点M，且M为线段AB的中点，则k＝(　　)
A．±　　　　　　 B．±
C．± D．±
1．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝________．
3．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为________．
1．知识链：
2．方法链：数形结合法、设而不求、整体代换．
3．警示牌：(1)在设直线方程时，易忽略斜率不存在的情况．(2)直线与抛物线有一个公共点，易忽略直线与抛物线的对称轴重合或平行的情况．
圆锥的截线
如图所示，空间中的两条相交直线l，m(交点为S，夹角为锐角θ)绕直线l旋转一周形成圆锥面．其中，S称为圆锥面的顶点，l称为圆锥面的轴，圆锥面上过点S的任意一条直线都称为圆锥面的母线．
用一个不经过点S的平面β去截这个圆锥面，随着平面β与轴l所成角α的不同，截线的形状也随之变化(如图所示)．
　
　
(1)当α＝，即平面β与轴l垂直时，截线是圆．
(2)当θ<α<时，截线是椭圆．
(3)当α＝θ时，截线是抛物线．
(4)当0<α<θ时，截线是双曲线．
圆、椭圆、抛物线、双曲线都可以由平面截圆锥面得到，因此把它们统称为圆锥曲线．
5/5第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用
[学习目标]　
1．了解抛物线的简单应用．(逻辑推理、数学运算)
2．掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题．(直观想象、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．直线与抛物线的位置关系有哪几种？
问题2．当直线与抛物线相交于两个点时，如何求相交弦的弦长？
探究1　直线与抛物线的位置关系
问题1　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系．
[提示]　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点．
[新知生成]
直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．
设直线y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．
(1)k＝0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线相交 有两个公共点．
Δ＝0 直线与抛物线相切 只有一个公共点．
Δ＜0 直线与抛物线相离 没有公共点．
【教用·微提醒】　(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况．
[典例讲评]　1．(源自湘教版教材)已知抛物线C：y2＝2x，直线l过定点(0，－2)．讨论直线l与抛物线的公共点的情况．
[解]　(Ⅰ)若直线l的斜率存在，记为k．又直线过定点(0，－2)，可设直线l的方程为
y＝kx－2．①
由方程组
②
消去y，并整理得
k2x2－(4k＋2)x＋4＝0．③
(1)当k＝0时，由方程③得x＝2．代入方程①，得y＝－2．
这时，直线l与抛物线只有一个公共点(2，－2)．
(2)当k≠0时，方程③的判别式
Δ＝[－(4k＋2)]2－4·k2·4＝16k＋4．
若Δ>0，解得k>－．
于是，当k>－，且k≠0时，方程③有两个不相等的实数解，从而方程组②有两组实数解．这时，直线l与抛物线相交，有两个公共点．
若Δ＝0，解得k＝－．
于是，当k＝－时，方程③有两个相等的实数解，从而方程组②只有一组实数解．这时，直线l与抛物线有一个公共点．
若Δ<0，解得k<－．
于是，当k<－时，方程③无实数解，从而方程组②无实数解．这时，直线l与抛物线没有公共点．
(Ⅱ)若直线l的斜率不存在，这时直线l即y轴所在直线，它与抛物线y2＝2x相切，即有一个公共点．
综上可得：
当k＝0，或k＝－，或直线的斜率不存在时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当k>－，且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；
当k<－时，直线l与抛物线没有公共点．
　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点．
[学以致用]　【链接教材P139习题3.3T12】
1．已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
[－1，1]　[由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1．
因此直线l的斜率的取值范围是[－1，1]．]
【教材原题·P139习题3.3T12】
已知抛物线的方程为y2＝4x，点P(－2，1)在直线l上，直线l绕点P旋转，讨论直线l与抛物线y2＝4x的公共点个数，并回答下列问题：
(1)画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？
(2)y2＝4x与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？
[解]　(1)图略；直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点时，直线l与抛物线相切，或平行于抛物线的对称轴．
(2)方程组解的个数与公共点的个数相等．
讨论直线l的方程与抛物线y2＝4x的方程联立组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l与抛物线的公共点个数．
若直线l有斜率k，设l的方程为y－1＝k(x＋2)．
由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0．①
(Ⅰ)当k＝0时，由方程①得y＝1．把y＝1代入y2＝4x，得x＝．
从而方程组只有一组实数解这时，直线l与抛物线只有一个公共点．
(Ⅱ)当k≠0时，方程①的根的判别式Δ＝－16·(2k2＋k－1)．
(ⅰ)由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1，或k＝．于是，当k＝－1，或k＝时，方程①有两个相等的实数根，从而方程组只有一组实数解．这时，直线l与抛物线只有一个公共点．
(ⅱ)由Δ＞0，即2k2＋k－1＜0，解得－1＜k＜．于是，当－1＜k＜，且k≠0时，方程①有两个不等的实数根，从而方程组
有两组实数解．这时，直线l与抛物线有两个公共点．
(ⅲ)由Δ＜0，即2k2＋k－1＞0，解得k＜－1，或k＞．于是，当k＜－1，或k＞时，方程①没有实数根，从而方程组没有实数解．这时，直线l与抛物线没有公共点．
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－2，从而方程组没有实数解．这时，直线l与抛物线没有公共点．
综上可得：当k＝－1，或k＝，或k＝0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当－1＜k＜，且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k＜－1，或k＞，或l的斜率不存在时，直线l与抛物线没有公共点．
探究2　弦长问题
[典例讲评]　2．已知直线l：y＝x＋b与抛物线C：y2＝4x．
(1)若直线l与抛物线C相切，求实数b的值；
(2)若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求直线l的方程．
[解]　(1)已知直线l：y＝x＋b与抛物线C：y2＝4x，
联立消去y得x2＋(2b－4)x＋b2＝0，
∵直线l与抛物线C相切，∴Δ＝(2b－4)2－4b2＝16－16b＝0，
即b＝1．
(2)联立消去y得x2＋(2b－4)x＋b2＝0，
由Δ＝(2b－4)2－4b2＝16－16b＞0，可得b＜1，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－2b，x1x2＝b2，
∵|AB|＝8，
且|AB|＝，
∴8＝＝4 1－b＝2 b＝－1，
又b＝－1满足b＜1，即直线l的方程为y＝x－1．
　试完成下列求弦长问题的方法
斜率为k的直线和抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点时，
(1)对斜率存在的直线才能使用弦长公式，斜率不存在的直线|AB|＝|y1－y2|．弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝．
(2)当直线经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (θ为直线的倾斜角)．
[学以致用]　2．已知抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x＋t与抛物线W相交于A，B两点．
(1)将|AB|表示为t的函数；
(2)若|AB|＝3，求△AFB的周长．
[解]　(1)联立直线与抛物线的方程可得消去y整理得4x2＋4(t－1)x＋t2＝0，Δ＝16t2－32t＋16－16t2＝16－32t＞0，t＜．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
所以|AB|＝＝＝．
(2)由|AB|＝3，可得＝3，解得t＝－4．
经检验，此时Δ＝16－32t＞0，
所以x1＋x2＝1－t＝5．
由抛物线的定义，有|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7．又|AB|＝3，所以△AFB的周长为7＋3．
探究3　抛物线的中点弦问题
[典例讲评]　3．过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度．
[解]　法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＝＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)．
∵P是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
则kAB＝＝＝4，
∴所求直线AB的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0．
由消去x并整理得y2－2y－30＝0，Δ＝124＞0，
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30．
由弦长公式得|AB|＝|y1－y2|＝＝．
法二：由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0．
设AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)，
由消去x并整理得ky2－8y－32k＋8＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，
∵P是AB的中点，
∴＝1，∴＝2，∴k＝4．
∴所求直线AB的方程为4x－y－15＝0．
由消去x并整理得y2－2y－30＝0，
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30，
由弦长公式得|AB|＝|y1－y2|
＝＝．
　解决中点弦问题的常用方法
[学以致用]　3．斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝9相切于点M，且M为线段AB的中点，则k＝(　　)
A．±　　　　　　 B．±
C．± D．±
A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则＝＝4x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
则k＝＝＝．
设圆心C(5，0)，则kCM＝，直线l与圆C相切，切点为M，所以＝－1，解得x0＝3，将x0＝3代入(x－5)2＋y2＝9，得y0＝±，所以k＝＝±．
故选A．]
1．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
D　[当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点，此时直线l与抛物线相交；当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点时，直线l与抛物线相切．故选D．]
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝________．
0　[因为抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，直线x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0．]
3．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为________．
2　[设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB的斜率为－2，且过点(1，0)，得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，与抛物线方程y2＝8x联立，整理，消去y得x2－4x＋1＝0，Δ＞0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，所以|AB|＝＝＝2．]
1．知识链：
2．方法链：数形结合法、设而不求、整体代换．
3．警示牌：(1)在设直线方程时，易忽略斜率不存在的情况．(2)直线与抛物线有一个公共点，易忽略直线与抛物线的对称轴重合或平行的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线与抛物线有几种位置关系？如何判断？
[提示]　设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0．
①若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
②若k≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点；
当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．
2．求弦长问题有哪几种方法？
[提示]　(1) 一般弦长：|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|．
(2)焦点弦长：在抛物线y2＝2px(p＞0)中，设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p．
3．只要是弦中点问题，就可以应用“点差法”吗？
[提示]　不一定．应用“点差法”的前提是知道中点坐标或直线的斜率．
圆锥的截线
如图所示，空间中的两条相交直线l，m(交点为S，夹角为锐角θ)绕直线l旋转一周形成圆锥面．其中，S称为圆锥面的顶点，l称为圆锥面的轴，圆锥面上过点S的任意一条直线都称为圆锥面的母线．
用一个不经过点S的平面β去截这个圆锥面，随着平面β与轴l所成角α的不同，截线的形状也随之变化(如图所示)．
　
　
(1)当α＝，即平面β与轴l垂直时，截线是圆．
(2)当θ<α<时，截线是椭圆．
(3)当α＝θ时，截线是抛物线．
(4)当0<α<θ时，截线是双曲线．
圆、椭圆、抛物线、双曲线都可以由平面截圆锥面得到，因此把它们统称为圆锥曲线．
课时分层作业(三十四)　抛物线的标准方程及性质的应用
一、选择题
1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　)
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
C　[∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1，0)．
又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部，
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．故选C．]
2．已知抛物线C：y2＝4x，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若线段AB的中点为(2，1)，则直线l的方程为(　　)
A．y＝2x－3 B．y＝3x－5
C．y＝x－3 D．y＝x－1
A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝＝4x2，
两式相减可得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
又y1＋y2＝2，则＝＝2，
即直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3．
故选A．]
3．已知抛物线y2＝4x，则抛物线上一点P到直线x－y＋5＝0的最小距离为(　　)
A．2 B．4
C． D．5
A　[根据题意可知，当平行于x－y＋5＝0的直线与抛物线相切，并且P为切点时，P点到直线x－y＋5＝0的距离最小，如图所示，
设切线方程为x－y＋m＝0，y＝x＋m，
联立消去x得y2－4y＋4m＝0，
Δ＝16－16m＝0，解得m＝1，
因此所以点P(1，2)，
因此点P到直线x－y＋5＝0的最小距离d＝＝2．
故选A．]
4．已知O为坐标原点，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，B两点，若S△OAB＝，则线段AB的中点的横坐标为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
B　[如图所示，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，其坐标为(1，0)，由题意知直线l的斜率不为0，
直线l过点F(1，0)，设l：x＝ty＋1，联立抛物线方程得y2－4ty－4＝0，显然Δ＞0，
所以yA＋yB＝4t，yAyB＝－4，则|yA－yB|＝＝4，
所以S△OAB＝|OF||yA－yB|＝2＝，可得t2＝，
又xA＋xB＝t(yA＋yB)＋2＝4t2＋2＝8，故线段AB中点的横坐标为4．故选B．]
5．(多选)已知抛物线C：y2＝4x，点M(－2，0)，P(2，0)，过点P的直线l交抛物线C于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，下列说法正确的有(　　)
A．y1y2＝－8
B．|AB|的最小值为4
C．以AB为直径的圆过原点
D．∠AMP＝∠BMP
ABD　[对于A，由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋2，
联立消去x并整理得y2－4my－8＝0，Δ＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，故A正确；
对于B，|AB|＝＝
＝4＝4≥4，当且仅当m＝0时等号成立，故B正确；
对于C，如果以AB为直径的圆过原点，则⊥．
由于＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
则＝x1x2＋y1y2＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4
＝－8(m2＋1)＋8m2＋4＝－4≠0，不垂直，故C不正确；
对于D，kAM＋kBM＝＝＝＝，＝＝0，即∠AMP＝∠BMP，故D正确．故选ABD．]
二、填空题
6．已知O为坐标原点，直线y＝x－2与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，则△AOB的面积为________．
2　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y得x2－6x＋4＝0，Δ＞0，所以x1＋x2＝6，x1x2＝4，
所以|AB|＝＝＝2，
因为点O到直线y＝x－2的距离d＝＝，
所以S△AOB＝×2＝2．]
7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点A(5，4)射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则|BC|＝________．
　[因为抛物线的方程为y2＝4x，可知焦点F(1，0)，
过A(5，4)平行于对称轴的入射光线为y＝4，代入抛物线的方程可得B(4，4)，
由题意可知反射光线为BF，可得kBF＝＝，所以直线BF的方程为x＝y＋1，
联立消去x并整理得y2－3y－4＝0，
可得y＝4或y＝－1，将y＝－1代入抛物线的方程可得x＝，
即B(4，4)，C，
可得|BC|＝＝．]
8．物理学中的凸凹透镜的表面一般都是抛物面(抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，由我国天文学家南仁东先生1994年提出构想，2016年9月25日落成，2020年1月11日投入正式运行的“中国天眼”——500 m口径球面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面(如图甲)，若其上边缘一点P距离底部的落差约为156.25 m，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分，放入如图乙所示的平面直角坐标系内．一条平行于对称轴的光线射到Q点，经抛物面反射后经过焦点射到P点，则△OPQ的面积为________m2．
20 500　[设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，由题意可得P(250，156.25)，
将点P的坐标代入抛物线方程可得p＝200，即抛物线方程为x2＝400y，
则抛物线的焦点坐标为F(0，100)，直线PF的斜率为＝，
即直线PF的方程为y＝x＋100，
联立
消去y可得x2－90x－40 000＝0，则(x－250)(x＋160)＝0，即x＝250或x＝－160，
则△OPQ的面积为×|OF|×[250－(－160)]＝×100×410＝20 500(m2)．]
三、解答题
9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求k的值．
[解]　(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，其准线方程为x＝－，
∵P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，∴4＋＝6，∴p＝4．
∴抛物线C的方程为y2＝8x．
(2)∵直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A，B，则有k≠0，联立消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，
Δ＝64(k＋1)＞0，解得k＞－1且k≠0，又＝＝2，解得k＝2或k＝－1(舍去)，
∴k的值为2．
10．古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，M为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高PO＝2，底面半径OA＝2，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．3
C．
D　[由题意知|PO|＝2，|OA|＝2，所以|PA|＝2．
因为M是PB的中点，O是AB的中点，
所以AP∥OM，|OM|＝|AP|＝，
因为截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M，故O也在截面上，
根据对称性可知，抛物线的对称轴为OM，焦点在OM上，
以M为坐标原点，OM为x轴，过M点的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线与底面交点为E，则xE＝|OM|＝，yE＝|OA|＝2，
设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则4＝2p×，解得p＝，
即该抛物线的焦点到准线x＝－的距离为p，即为．故选D．]
11．(多选)在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：y2＝2x，则(　　)
A．直线x－y－2＝0与抛物线C相交所得弦长为2
B．直线x－y－2＝0与抛物线C交于M，N两点，则OM⊥ON
C．过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
D．抛物线C上的点到直线x－y＋2＝0的最短距离为
ABD　[由抛物线C：y2＝2x，
则其焦点为F，准线方程为x＝－，
联立消去y可得x2－6x＋4＝0，Δ＞0，x1＋x2＝6，x1x2＝4，
直线x－y－2＝0与抛物线C相交所得弦长为：＝＝2，所以A正确；
联立消去x得y2－2y－4＝0，则y1＋y2＝2，y1y2＝－4，而x1x2＝＝4，
由＝x1x2＋y1y2＝0，即⊥，故∠MON＝90°，所以B正确；
过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C相切，有且只有一个公共点，此外y＝0与抛物线也有一个公共点，所以有3条直线满足题意，所以C不正确；
设抛物线y2＝2x上点P的坐标为，则点P到直线x－y＋2＝0的距离
d＝＝[(m－1)2＋3]，∴当m＝1时，即点P的坐标为时，
d的最小值为，所以D正确．故选ABD．]
12．设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为3，则实数b的值为________．
－4　[由
消去y得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0．
由Δ＞0，解得b＜．
设A(x1，y1)，B，
则x1＋x2＝1－b，x1x2＝，
所以|x1－x2|＝＝，
所以|AB|＝·|x1－x2|＝＝3，所以1－2b＝9，即b＝－4．]
13．已知直线y＝－2x＋4与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，则p＝ ________；△AOB的面积为________．
1　　[如图所示，联立
消去x得y2＋py－4p＝0，
则Δ＝p2＋16p＞0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－p，y1y2＝－4p，
所以＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝4－4p＝0，解得p＝1，
所以y1＋y2＝－1，y1y2＝－4，
则|y1－y2|＝＝＝，
又直线y＝－2x＋4交x轴于点E(2，0)，
所以S△OAB＝|OE|×|y1－y2|＝×2×＝．]
14．已知抛物线C：y2＝4x的顶点为O，过点(2，0)的直线交C于A，B两点．
(1)判断是否为定值，并说明理由；
(2)设直线OA，OB分别与直线l：y＝x＋1交于点D，E，求|DE|的最小值．
[解]　(1)为定值，理由如下：∵过点(2，0)的直线交C：y2＝4x于A，B两点，
∴直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得y2－4my－8＝0，Δ＝16m2＋32＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，
∴＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝－8＝－4．
∴为定值．
(2)直线OA的方程为：y＝x，
由得xD＝＝＝，同理xE＝＝，
而|y1(4－y2)－y2(4－y1)|＝4|y1－y2|＝4＝4×＝16，|(4－y1)(4－y2)|＝|16－16m－8|＝|8－16m|，
若m＝，则y2－2y－8＝0，解得y1＝4，y2＝－2，
∴A(4，4)，B(1，－2)，此时直线OA：y＝x与直线l：y＝x＋1平行，不存在交点，∴m≠，
∴|DE|＝|xD－xE|＝＝＝＝，令t＝，则t≠0，m＝，
∴|DE|＝＝＝＝＝，当t＝－，即m＝－4时，|DE|取得最小值为．
15．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________．
(x－14)2＝－y　　[根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，溢流孔ABC所在方程为(x－14)2＝－2p′y(p′＞0)，由它们均过(20，－5)，代入可得400＝10p，36＝10p′，解得p＝40，p′＝，可得桥拱所在抛物线的方程为x2＝－80y，溢流孔ABC所在抛物线方程为(x－14)2＝－y，
则由
解得x＝或x＝20，又7＜x＜20，即溢流孔与桥拱交点A的横坐标为．]
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