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4.3.3　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和
学习任务 核心素养
1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点) 2．会用错位相减法求数列的和．(重点) 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题． 1．借助对等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，提升数学运算素养． 2．通过对等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养．
甲、乙二人约定在一个月(按30天)内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还两分，即后一天返还的钱是前一天的两倍．问谁盈谁亏？
知识点1　等比数列前n项和公式
类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn
[提示]　可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求． (　　)
(2)等比数列的前n项和公式可以简写成Sn＝＋A(q≠1)． (　　)
(3)1＋x＋x2＋…＋xn＝． (　　)
[提示]　(1)和(3)中应注意q＝1的情况．
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
2．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝(　　)
A．3 B．4
C． D．
C　[已知等比数列{an}的首项为a1，则．]
知识点2　错位相减法
一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1，①
用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn，②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
若q＝1，则Sn＝na1；
若q≠1，则Sn＝．
类型1　等比数列基本量的运算
【例1】　【链接教材P162例1】
已知等比数列{an}．
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q．
[解]　(1)由题意知
解得或
从而Sn＝或
Sn＝．
(2)法一：由题意知
解得从而S5＝．
法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得q3＝，从而q＝．
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以a1＝8，从而S5＝．
(3)因为a2an－1＝a1an＝128，a1＋an＝66，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．
从而或
又Sn＝＝126，所以q为2或．
【教材原题·P162例1】
在等比数列{an}中，
(1)已知a1＝－4，公比q＝，求前10项和S10；
(2)已知a1＝1，ak＝243，q＝3，求前k项和Sk．
[解]　(1)根据等比数列的前n项和公式，得
S10＝．
(2)根据等比数列的前n项和公式，得
Sk＝＝364．
　1．在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
[跟进训练]
1．已知等比数列{an}．
(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
(2)若a3＝，求a1和公比q．
[解]　(1)法一：由Sn＝，an＝a1qn-1以及已知条件得
∴a1·2n＝192，∴2n＝．
∴189＝a1(2n－1)＝a1，∴a1＝3．
又∵2n-1＝＝32，∴n＝6．
∴a1＝3，n＝6．
法二：由公式Sn＝及条件得
189＝，解得a1＝3，又由an＝a1·qn-1，
得96＝3·2n-1，解得n＝6．
∴a1＝3，n＝6．
(2)①当q≠1时，S3＝，
又a3＝a1·q2＝，
∴a1(1＋q＋q2)＝，
即(1＋q＋q2)＝，
解得q＝－(q＝1舍去)，
∴a1＝6．
②当q＝1时，S3＝3a1，
∴a1＝．
综上得或
类型2　等比数列前n项和公式的实际应用
【例2】　【链接教材P165例5】
借贷10 000元，以月利率为1%每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(≈1.062，1.015≈1.051)
[解]　法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，
则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…＝a．
由题意，可知a6＝0，
即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，
a＝．
∵1.016≈1.062，
∴a≈≈1 713(元)．
故每月应支付1 713元．
法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为
S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a
＝＝a(1.016－1)×102(元)．
由S1＝S2，得a＝．
∵1.016≈1.062，解得a≈1 713(元)，故每月应支付1 713元．
【教材原题·P165例5】
某人今年初向银行申请贷款20万元，月利率为3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
分析　对于分期付款，银行有如下规定：
(1)分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；
(2)到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．
为解决上述问题，我们先考察一般情形．设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式
等额地分成n次付清，每期期末所付款是x元，期利率为r，则分期付款方式可表示为
从而有
x[(1＋r)n-1＋(1＋r)n-2＋(1＋r)n-3＋…＋(1＋r)＋1]＝a(1＋r)n．
运用等比数列求和公式，化简得
x＝．
这就是分期付款的数学模型．
解：设每月应还贷x元，共付款12×10＝120次，则有
x[1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]
＝200 000(1＋0.003 375)120，化简得
x＝
≈2 029.66(元)．
答：每月应还贷款2 029.66元．
　解数列应用题的具体方法步骤
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；是求an，还是求Sn；特别要注意项数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
[跟进训练]
2．某人在年初用16万元购买了一辆家用轿车，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付多少元？(1.16≈1.771 6)
[解]　余款10万元6年的本利和是＝105×1.16．
设每年年底应支付a元，支付6次的本利和应是a＋a(1＋0.1)＋a(1＋0.1)2＋…＋a(1＋0.1)5
＝a·＝10a(1.16－1)．
由105×1.16＝10a(1.16－1)得
a＝≈22 960(元)．
∴每年年底应支付22 960元．
类型3　错位相减法求和
【例3】　设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4．
(1)求和的通项公式；
(2)记cn＝，n∈N*，
证明：c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*．
在等式 Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？
[提示]　Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，　①
两边同乘以{2n}的公比可变形为
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，　②
②－①得Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n+1
＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n+1．
此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．
[解]　(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则q>0．
由题意，得
解得
故an＝2＋2＝2n，bn＝2·2n-1＝2n．
(2)证明：∵cn＝，设数列的前n项和为Sn，
∴Sn＝，①
∴，②
∴①－②得
＝，
∴Sn＝2－，
又∵n∈N*，
∴>0，>0，
∴Sn＝2－<2，
即c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*．
[母题探究]
1．(变条件)本例题(2)中设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn′．
[解]　由题意知cn＝n·2n，
所以Sn′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n-2＋(n－1)×2n-1＋n·2n，
2Sn′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n-1＋(n－1)×2n＋n·2n+1，
两式相减得－Sn′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n-1＋2n－n·2n+1
＝－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2，
所以Sn′＝(n－1)·2n+1＋2．
2．(变条件)本例题中设dn＝，求数列{dn}的前n项和Tn．
[解]　由题意可得dn＝，
Tn＝1×＋…＋(2n－1)×，
＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，
两式相减得
－(2n－1)×－(2n－1)×，
所以Tn＝3－．
　错位相减法的适用题目及注意事项
(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
(2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1．
1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　)
A．93　　　B．－93　　　C．45　　　D．－45
A　[]
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若27a4＋a7＝0，则＝(　　)
A．10 B．9
C．－8 D．－5
A　[设等比数列{an}的公比为q，由27a4＋a7＝0，得a4(27＋q3)＝0．因为a4≠0，∴27＋q3＝0，则q＝－3，故＝1＋q2＝1＋9＝10．]
3．设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　)
A． B．
C．15 D．40
C　[法一：若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1．由－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15．故选C．
法二：设等比数列{an}的公比为q，则由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15．故选C．]
4．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝________．
510　[a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，两式联立解得q＝2或，而q为整数，
所以q＝2，a1＝2，代入公式求得S8＝＝510．]
5．一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%．这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
[解]　用an表示热气球在第n分钟上升的高度，
由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝<125．
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．等比数列的前n项和公式是什么？
[提示]　(1)已知首项a1、公比q与项数n，则Sn＝
(2)已知首项a1、末项an与公比q，则Sn＝
2．若cn＝anbn，其中{an}、{bn}分别是等差数列、等比数列，如何求数列{cn}的前n项和？
[提示]　用错位相减法．
课时分层作业(二十八)　等比数列的前n项和
一、选择题
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)
A．31 B．32
C．63 D．64
C　[设{an}的公比为q(q≠±1)，由题意知解得q2＝4，故S6＝S4＋a5＋a6＝S4＋(a1＋a2)q4＝S4＋S2·q4＝15＋3×42＝63．]
2．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于(　　)
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C．(1－4－n) D．(1－2－n)
C　[∵a3＝1，a6＝，∴q＝，∴a1＝4，
∴a1a2＝8，∵，
∴数列{anan＋1}是以8为首项，为公比的等比数列．
∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．]
3．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝(　　)
A．－2 B．－1
C． D．
B　[由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＋2，解得a1＝－1．故选B．]
4．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　)
A．120 B．85
C．－85 D．－120
C　[设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则化简整理得所以S8＝×(1－44)＝－85，故选C．]
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝＝381，解得a1＝3．故选B．]
二、填空题
6．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．
－　[由8S6＝7S3，可知数列{an}的公比q≠1，所以8×，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，所以q＝－．]
7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．
6　[由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n+1－2)棵，令2n+1－2100，则2n+1102，
又26＝64，27＝128，且{2n+1}单调递增，所以n6，即n的最小值为6．]
8．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn．已知S3＝，则a8＝________．
32　[设{an}的首项为a1，公比为q，
则解得
所以a8＝×27＝25＝32．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)已知数列{an}是等比数列．
(1)若a1＝，求S8；
(2)若a1＝27，a9＝，q＜0，求S8；
(3)若a1＝8，q＝，求n．
[解]　(1)因为a1＝，所以
S8＝．
(2)由a1＝27，a9＝，可得27×q8＝，
即q8＝．
又由q＜0，得q＝－，
所以S8＝．
(3)把a1＝8，q＝代入Sn＝，得
．
整理，得．
解得n＝5．
10．已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．
[解]　(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．
由题意知：
当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2．
当n2时，bn＝bn＋1－bn．
整理得，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n+1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1．
故Tn＝(n－1)2n+1＋2(n∈N*)．
11．已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　)
A．3 B．18
C．54 D．152
C　[因为an＋1＝2Sn＋2，所以当n2时，an＝2Sn－1＋2，两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，所以数列{an}是公比q＝＝3的等比数列．当n＝1时，a2＝2S1＋2＝2a1＋2，又a2＝3a1，所以3a1＝2a1＋2，解得a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54，故选C．]
12．(多选题)如图所示，作边长为3的正△ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后作新三角形的内切圆，如此下去．则下列说法正确的是(　　)
A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为
B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为
C．n个内切圆的面积和为π
D．n个内切圆的面积和为3π
BC　[，因为下一个三角形面积依次为上一个正三角形面积的，所以第三个正三角形的面积为．故A错误，B正确．又根据条件，第一个内切圆的半径为，面积为，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为π，则C正确，D错误．故选BC．]
13．等差数列{an}中，公差＝a1a4，若，…成等比数列，则kn＝________．
3n+1　[由题意得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
∴a1＝d，
∴q＝＝3．
∴＝9a1×3n-1＝kna1，
∴kn＝9×3n-1＝3n+1．]
14．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．问________天后两鼠相遇？如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打的洞长度之和，则Sn＝________尺．
2　2n－＋1　[由题意先估计两天不够，三天又多，设需要x天，则可得1＋2＋4(x－2)＋1＋(x－2)＝5．
解得x＝2，
即2天两只老鼠相遇．由题意可知，大老鼠前n天打洞长度为＝2n－1，小老鼠前n天打洞长度为，
所以Sn＝2n－1＋2－
＝2n－＋1．]
15．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2．
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn．
[解]　(1)设数列{xn}的公比为q，由已知可得q＞0．
由题意得
消去x1得3q2－5q－2＝0．
因为q＞0，
所以q＝2，x1＝1，
因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n-1．
(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1(图略)．
由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n-1＝2n-1，
记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，
由题意得bn＝×2n-1＝(2n＋1)×2n-2，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝3×2-1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n-3＋(2n＋1)×2n-2．　　　 ①
又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n-2＋(2n＋1)×2n-1． ②
①－②得，－Tn＝3×2-1＋(2＋22＋…＋2n-1)－(2n＋1)×2n-1＝－(2n＋1)×2n-1．所以Tn＝．
1 / 164.3.3　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和
学习任务 核心素养
1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点) 2．会用错位相减法求数列的和．(重点) 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题． 1．借助对等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，提升数学运算素养． 2．通过对等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养．
甲、乙二人约定在一个月(按30天)内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还两分，即后一天返还的钱是前一天的两倍．问谁盈谁亏？
知识点1　等比数列前n项和公式
类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn
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1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求． (　　)
(2)等比数列的前n项和公式可以简写成Sn＝＋A(q≠1)． (　　)
(3)1＋x＋x2＋…＋xn＝． (　　)
2．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝(　　)
A．3 B．4
C． D．
知识点2　错位相减法
一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1，①
用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn，②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
若q＝1，则Sn＝na1；
若q≠1，则Sn＝．
类型1　等比数列基本量的运算
【例1】　【链接教材P162例1】
已知等比数列{an}．
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　1．在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
[跟进训练]
1．已知等比数列{an}．
(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
(2)若a3＝，求a1和公比q．
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类型2　等比数列前n项和公式的实际应用
【例2】　【链接教材P165例5】
借贷10 000元，以月利率为1%每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(≈1.062，1.015≈1.051)
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　解数列应用题的具体方法步骤
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；是求an，还是求Sn；特别要注意项数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
[跟进训练]
2．某人在年初用16万元购买了一辆家用轿车，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付多少元？(1.16≈1.771 6)
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类型3　错位相减法求和
【例3】　设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4．
(1)求和的通项公式；
(2)记cn＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*．
在等式 Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变条件)本例题(2)中设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn′．
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2．(变条件)本例题中设dn＝，求数列{dn}的前n项和Tn．
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　错位相减法的适用题目及注意事项
(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
(2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1．
1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　)
A．93　　　B．－93　　　C．45　　　D．－45
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若27a4＋a7＝0，则＝(　　)
A．10 B．9
C．－8 D．－5
3．设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　)
A． B．
C．15 D．40
法二：设等比数列{an}的公比为q，则由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15．故选C．]
4．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝________．
5．一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%．这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
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回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．等比数列的前n项和公式是什么？
2．若cn＝anbn，其中{an}、{bn}分别是等差数列、等比数列，如何求数列{cn}的前n项和？
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