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5.1.2　瞬时变化率——导数
学习任务 核心素养
1．了解切线的含义．(重点) 2．理解瞬时速度与瞬时加速度．(重点) 3．掌握瞬时变化率——导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数．(难点) 1．通过对瞬时变化率、导数概念和导数几何意义的学习，培养数学抽象及直观想象的核心素养． 2．借助对切线方程的求解，提升数学运算的核心素养．
巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员在陡峭程度不同时，运动员的感受是不一样的，如何用数学知识反映山势的陡峭程度，给登山运动员一些有益的技术参考？
思考：什么是平均变化率？如何理解瞬时变化率？
知识点1　曲线上一点处的切线
(1)设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C．当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．
(2)若曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率．
知识点2　瞬时速度与瞬时加速度
(1)平均速度：在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．
(2)瞬时速度：一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
(3)瞬时加速度：一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
1．一辆汽车运动的速度为v(t)＝t2－2，则该汽车在t＝3时的瞬时加速度为________．
6　[＝＝＝6＋Δt，当Δt→0时，→6，即汽车在t＝3时的瞬时加速度为6．]
2．火箭发射t s后，其高度(单位：km)为h(t)＝0.9t2．那么t＝________s时火箭的瞬时速度为3.6 km/s．
2　[＝＝＝0.9Δt＋1.8t0．当Δt→0时，→1.8t0．
即t＝t0时的瞬时速度为1.8t0，
由1.8t0＝3.6得t0＝2．]
知识点3　导数
(1)导数：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
(2)导数的几何意义：导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
(3)导函数：①若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数；
②f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
1．f′(x0)＞0和f′(x0)＜0反映了怎样的意义？
[提示]　f′(x0)＞0反映了瞬时变化率呈增长趋势，f′(x0)＜0反映了瞬时变化率呈下降趋势．
2．f′(x0)与f′(x)有什么区别？
[提示]　f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．
3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　)
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)＜0 D．f′(x0)不存在
C　[由题意可知，f′(x0)＝－2＜0，故选C．]
类型1　求曲线上某一点处的切线
【例1】　【链接教材P192例5】
已知曲线y＝f(x)＝x＋上的一点A，用切线斜率定义求：
(1)点A处的切线的斜率；
(2)点A处的切线方程．
[解]　(1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋＝＋Δx，
∴＝＝＋1．
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于，即点A处的切线的斜率是．
(2)切线方程为y－＝(x－2)，即3x－4y＋4＝0．
【教材原题·P192例5】
已知f(x)＝x2，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率．
分析　为求得过点(2，4)的切线斜率，我们从经过点(2，4)的任意一条直线(割线)入手．
[解]　设P(2，4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)，则割线PQ的斜率为
kPQ＝＝4＋Δx．
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线y＝f(x)在点P(2，4)处的切线斜率为4．
　根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数．
[跟进训练]
1．(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为________．
(2)已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1，2)处的切线的斜率及切线方程．
(1)(3，30)　[设点P坐标为(x0，y0)，
则＝＝4x0＋4＋2Δx．
当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，
因此4x0＋4＝16，
即x0＝3，
所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30．
即点P坐标为(3，30)．]
(2)[解]　设B(1＋Δx，3(1＋Δx)2－(1＋Δx))，
则kAB＝＝5＋3Δx，
当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，
所以曲线y＝3x2－x在点A(1，2)处的切线斜率是5．
切线方程为y－2＝5(x－1)，
即5x－y－3＝0．
类型2　求瞬时速度
【例2】　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
[解]　∵＝
＝＝3＋Δt，
∴＝＝3．
∴物体在t＝1 s处的瞬时变化率为3．
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s．
[母题探究]
1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
[解]　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝＝1＋Δt，
∴＝1．
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s．
2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s
[解]　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s．
又＝＝2t0＋1＋Δt．
＝＝2t0＋1．
则2t0＋1＝9，∴t0＝4．
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s．
　求运动物体瞬时速度的三个步骤
设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：
(1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))．
(2)求平均速度：＝．
(3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v(常数)．
类型3　求函数在某点处的导数
【例3】　【链接教材P196例7】
已知f(x)＝x2－3．
(1)求f(x)在x＝2处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[解]　(1)因为＝
＝＝4＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，4＋Δx无限趋近于4，
所以f(x)在x＝2处的导数等于4．
(2)因为＝
＝＝2a＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，2a＋Δx无限趋近于2a，
所以f(x)在x＝a处的导数等于2a．
【教材原题·P196例7】
已知f(x)＝x2＋2．
(1)求f(x)在x＝1处的导数f′(1)；
(2)求f(x)在x＝a处的导数f′(a)．
[解]　(1)因为＝
＝＝2＋Δx，
所以，当Δx→0时，2＋Δx→2，即
＝＝2．
故f(x)在x＝1处的导数等于2，即f′(1)＝2．
(2)因为＝
＝＝2a＋Δx，
所以，当Δx→0时，2a＋Δx→2a，即
＝＝2a．
故f(x)在x＝a处的导数等于2a，即f′(a)＝2a．
　求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝．
(3)令Δx无限趋近于0，求得导数．
[跟进训练]
2．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________．
2　[∵＝＝a，∴f′(1)＝a，即a＝2．]
3．建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．
[解]　根据导数的定义，得
f′(100)＝＝
＝
＝
＝
＝＝0.105．
f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2．
类型4　导数几何意义的应用
【例4】　(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　　D
(2)某司机看见前方50 m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是(　　)
A　 　B　 　 C　　 　D
(1)B　(2)A　[(1)由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x＜0时，f′(x)＞0；当x＝0时，f′(x)＝0；当x＞0时，f′(x)＜0，故B符合．
(2)根据题意，刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图象较陡，排除选项B，故选A．]
　导数几何意义理解中的两个关键点
关键点一：y＝f(x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0 f′(x0)＞0；k＜0 f′(x0)＜0；k＝0 f′(x0)＝0．
关键点二：|f′(x0)|越大 在x0处瞬时变化越快；|f′(x0)|越小 在x0处瞬时变化越慢．
[跟进训练]
4．(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
(1)B　(2)A　[(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．
(2)由题意，知k＝＝1，
∴a＝1．
又点(0，b)在切线上，
∴b＝1，故选A．]
1．下面说法正确的是(　　)
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
C　[根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故ABD错误．]
2．已知函数y＝f(x)是可导函数，且f′(1)＝2，则＝(　　)
A． B．2
C．1 D．－1
C　[由题意可得：
＝＝f′(1)，
即＝×2＝1．故应选C．]
3．设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)
A．1 B．
C．－ D．－1
A　[因为f′(1)＝
＝＝＝2a，
所以2a＝2，
所以a＝1．]
4．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
x＋2y＋4＝0　[f′(－2)＝
＝＝＝－，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，
即x＋2y＋4＝0．]
5．已知曲线y＝f(x)＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．
[解]　设切点P(x0，y0)，切线斜率为k，
由＝
＝＝4x，
得f′(x0)＝4x0．
由题意可知4x0＝8，解得x0＝2．
代入y＝2x2－7得y0＝1．
故所求切点P的坐标为(2，1)．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．导数的概念与几何意义分别是什么？
[提示]　设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
2．求曲线的切线时，“在某点处的切线”与“过某点的切线”有什么不同？
[提示]　(1)若“在”，则该点为切点．
(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点．
课时分层作业(三十二)　瞬时变化率——导数
一、选择题
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
B　[由导数的几何意义可知选项B正确．]
2．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2
B　[由题意可知，曲线在点P处的切线方程为
y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0．]
3．已知函数f(x)在x＝x0处可导，若＝1，则f′(x0)＝(　　)
A．2 B．1
C． D．0
C　[∵＝1，
∴＝，
即f′(x0)＝＝．故选C．]
4．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3 s，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为(　　)
A．800 m/s B．600 m/s
C．200 m/s D．400 m/s
A　[位移公式为s＝at2，∵Δs＝＝at0Δt＋a(Δt)2，
∴＝at0＋aΔt，
∴＝＝at0，
已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10-3 s，
∴at0＝800 m/s．所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s．]
5．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　)
A．－4 B．3
C．－2 D．1
D　[直线l的方程为＝1，即x＋y－4＝0．
又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1，
∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1．]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________．
2　[∵f′(1)＝2，又＝＝＝2a，∴2a＝2，∴a＝1．
又f(1)＝a＋b＝3，∴b＝2．∴＝2．]
7．已知f(x)＝mx2＋n，且f(1)＝－1，f(x)的导函数f′(x)＝4x，则m＝________，n＝________．
2　－3　[＝
＝＝mΔx＋2mx，
故f′(x)＝＝＝2mx＝4x．
所以m＝2．
又f(1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，
故m＝2，n＝－3．]
8．若曲线y＝f(x)＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是________．
(0，0)　[设P(x0，y0)，则f′(x0)＝＝＝2x0＋2．
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
所以点P处的切线的斜率为2，
所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0，0)．]
三、解答题
9．若曲线y＝f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，求a的值．
[解]　∵f′(a)＝＝3a2，∴曲线在(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为．
∴三角形的面积为·|a3|＝，得a＝±1．
10．(源自人教A版教材)一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一路段内t s时的速度(单位：m/s)为y＝v(t)＝－t2＋6t＋17，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义．
[解]　在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6)．
根据导数的定义，
＝
＝
＝－Δt＋2，
所以v′(2)＝＝＝2．
同理可得v′(6)＝－6．
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与－6 m/s2．说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s．
11．(多选题)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2．则下列说法正确的是(　　)
A．此物体的初速度是3 m/s
B．此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度相反
C．t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s
D．t＝3 s时的瞬时速度为0 m/s
ABC　[A中，初速度v0＝＝＝＝3(m/s)，
即物体的初速度为3 m/s，故A正确；
B中，v＝
＝
＝＝
＝－1(m/s)．
即此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1 m/s，
方向与初速度相反，故B正确；
C中，＝＝＝1(m/s)．
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s，故C正确；
D中，v＝
＝＝－3，故D错误．故选ABC．]
12．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0B　[由函数的图象可知函数f(x)是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在x＝2处的切线斜率k1大于在x＝3处的切线斜率k2，所以f′(2)>f′(3)．记A(2，f(2))，B(3，f(3))，作直线AB，则直线AB的斜率k＝＝f(3)－f(2)，由函数图象，可知k1>k>k2>0，即f′(2)>f(3)－f(2)>f′(3)>0．故选B．]
13．已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．
(1，1)　x－2y＋1＝0　[由得
∴两曲线的交点坐标为(1，1)．
由f(x)＝，得f′(x)＝
＝＝，
∴曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0．]
14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)＞0，对于任意实数x，有f(x)0，则的最小值为________．
2　[由导数的定义，得f′(0)＝
＝＝＝b．
因为对于任意实数x，有f(x)0，
则所以ac，所以c＞0，
所以＝＝2，当且仅当a＝c＝时，等号成立．]
15．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
[解]　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，
∴f′(x)＝＝3x2＋2ax－9＝3－9－－9－．由题意知f′(x)的最小值是－12，
∴－9－＝－12，即a2＝9，又∵a＜0，∴a＝－3．
1 / 155.1.2　瞬时变化率——导数
学习任务 核心素养
1．了解切线的含义．(重点) 2．理解瞬时速度与瞬时加速度．(重点) 3．掌握瞬时变化率——导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数．(难点) 1．通过对瞬时变化率、导数概念和导数几何意义的学习，培养数学抽象及直观想象的核心素养． 2．借助对切线方程的求解，提升数学运算的核心素养．
巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员在陡峭程度不同时，运动员的感受是不一样的，如何用数学知识反映山势的陡峭程度，给登山运动员一些有益的技术参考？
思考：什么是平均变化率？如何理解瞬时变化率？
知识点1　曲线上一点处的切线
(1)设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C．当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的____．
(2)若曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率．
知识点2　瞬时速度与瞬时加速度
(1)平均速度：在物理学中，运动物体的位移与________的比称为平均速度．
(2)瞬时速度：一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在_____时的瞬时速度，也就是位移对于时间的__________．
(3)瞬时加速度：一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的__________．
1．一辆汽车运动的速度为v(t)＝t2－2，则该汽车在t＝3时的瞬时加速度为________．
2．火箭发射t s后，其高度(单位：km)为h(t)＝0.9t2．那么t＝________s时火箭的瞬时速度为3.6 km/s．
知识点3　导数
(1)导数：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx___________时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处____，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作_________．
(2)导数的几何意义：导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点________________处的切线的____．
(3)导函数：①若f(x)对于区间(a，b)内______都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是_______的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作________．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的____；
②f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的______．
1．f′(x0)＞0和f′(x0)＜0反映了怎样的意义？
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2．f′(x0)与f′(x)有什么区别？
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3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　)
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)＜0 D．f′(x0)不存在
类型1　求曲线上某一点处的切线
【例1】　【链接教材P192例5】
已知曲线y＝f(x)＝x＋上的一点A，用切线斜率定义求：
(1)点A处的切线的斜率；
(2)点A处的切线方程．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数．
[跟进训练]
1．(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为________．
(2)已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1，2)处的切线的斜率及切线方程．
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类型2　求瞬时速度
【例2】　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
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2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s
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　求运动物体瞬时速度的三个步骤
设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：
(1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))．
(2)求平均速度：＝．
(3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v(常数)．
类型3　求函数在某点处的导数
【例3】　【链接教材P196例7】
已知f(x)＝x2－3．
(1)求f(x)在x＝2处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝．
(3)令Δx无限趋近于0，求得导数．
[跟进训练]
2．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________．
3．建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．
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【例4】　(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　　D
(2)某司机看见前方50 m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是(　　)
A　 　B　 　 C　　 　D
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　导数几何意义理解中的两个关键点
关键点一：y＝f(x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0 f′(x0)＞0；k＜0 f′(x0)＜0；k＝0 f′(x0)＝0．
关键点二：|f′(x0)|越大 在x0处瞬时变化越快；|f′(x0)|越小 在x0处瞬时变化越慢．
[跟进训练]
4．(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
1．下面说法正确的是(　　)
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
2．已知函数y＝f(x)是可导函数，且f′(1)＝2，则＝(　　)
A． B．2
C．1 D．－1
3．设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)
A．1 B．
C．－ D．－1
4．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
5．已知曲线y＝f(x)＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．
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回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．导数的概念与几何意义分别是什么？
2．求曲线的切线时，“在某点处的切线”与“过某点的切线”有什么不同？
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