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1.2　直线的方程
1.2.1　直线的点斜式方程
学习任务 核心素养
1．了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点) 2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点) 3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点) 通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养．
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．
已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置能确定吗？
知识点　直线的点斜式方程和斜截式方程
名称 点斜式 斜截式
已知 条件 点P(x1，y1)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距_
图示
方程 形式 y－y1＝__________ y＝_____
适用 条件 斜率存在
提醒：在直线l的斜截式方程y＝kx＋b中，我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线． (　　)
(2)＝k与y－y1＝k(x－x1)都是直线的点斜式方程． (　　)
2．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　　)
A．2 B．－1
C．3 D．－3
3．直线＝1在y轴上的截距是(　　)
A．|b| B．－b2
C．b2 D．±b
4．过点(2，1)且斜率为3的直线的点斜式方程为________．
类型1　直线的点斜式方程
【例1】　【链接教材P12例1】
(1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．
(2)经过点(－5，2)且与y轴的夹角为30°的直线方程为________．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　求直线的点斜式方程的步骤
提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0．
[跟进训练]
1．分别求出经过点P(3，4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形．
(1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直．
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类型2　直线的斜截式方程
【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，与y轴的交点坐标为(0，2)；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　求直线的斜截式方程
(1)先求参数k和b，再写出斜截式方程．
(2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率．
(3)b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离．
[跟进训练]
2．已知直线l在y轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l的斜截式方程．
(1)直线l经过点M(m，n)，N(n，m)(m≠n)；
(2)直线l与坐标轴围成等腰三角形．
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类型3　直线的方程的简单应用
【例3】　已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
直线y－y1＝k(x－x1)与x轴和y轴的交点坐标分别是什么？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　利用待定系数法求直线方程
(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率．
(2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定直线在y轴上的截距．
[跟进训练]
3．已知△ABC的三个顶点分别是A，B，C．若直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分，求直线l的斜截式方程．
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4．已知直线l的倾斜角等于直线y＝x＋1的倾斜角的一半，且经过点，求直线l的点斜式方程．
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1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)
A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
3．已知直线l过点(3，4)且与y轴的交点坐标为(0，1)，则直线l的方程为________．
4．无论k取何值，直线y＝kx＋2k－3所过的定点是________．
5．直线l1过点P(－1，2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程．
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回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．建立点斜式方程的依据是什么？
2．斜截式方程的标准形式及特征是什么？
1 / 61.2　直线的方程
1.2.1　直线的点斜式方程
学习任务 核心素养
1．了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点) 2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点) 3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点) 通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养．
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．
已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置能确定吗？
知识点　直线的点斜式方程和斜截式方程
名称 点斜式 斜截式
已知 条件 点P(x1，y1)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程 形式 y－y1＝k(x－x1) y＝kx＋b
适用 条件 斜率存在
提醒：在直线l的斜截式方程y＝kx＋b中，我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线． (　　)
(2)＝k与y－y1＝k(x－x1)都是直线的点斜式方程． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×
2．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　　)
A．2 B．－1
C．3 D．－3
C　[由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3．]
3．直线＝1在y轴上的截距是(　　)
A．|b| B．－b2
C．b2 D．±b
B　[令x＝0，则y＝－b2．]
4．过点(2，1)且斜率为3的直线的点斜式方程为________．
y－1＝3(x－2)　[因为直线的斜率为3，所以所求直线方程的点斜式方程为y－1＝3(x－2)．]
类型1　直线的点斜式方程
【例1】　【链接教材P12例1】
(1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．
(2)经过点(－5，2)且与y轴的夹角为30°的直线方程为________．
(1)y－5＝x－2　(2)y－2＝(x＋5)或y－2＝－(x＋5)　[(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2．
(2)因为直线与y轴夹角为30°，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以斜率k＝tan 60°＝或k＝tan 120°＝－，所以直线的点斜式方程为y－2＝(x＋5)或y－2＝－(x＋5)．]
【教材原题·P12例1】
已知一直线经过点P(－2，3)，斜率为2，求这条直线的方程．
[解]　由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0．
　求直线的点斜式方程的步骤
提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0．
[跟进训练]
1．分别求出经过点P(3，4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形．
(1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直．
[解]　(1)由点斜式方程得y－4＝2(x－3)．(2)与x轴平行时，k＝0，∴y－4＝0×(x－3)，即y＝4．(3)与x轴垂直，斜率不存在，方程为x＝3．
类型2　直线的斜截式方程
【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，与y轴的交点坐标为(0，2)；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3．
[解]　(1)由题意知直线在y轴上的截距为2，由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋2．
(2)因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得直线方程为y＝－x－2．
(3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝．因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3．
　求直线的斜截式方程
(1)先求参数k和b，再写出斜截式方程．
(2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率．
(3)b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离．
[跟进训练]
2．已知直线l在y轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l的斜截式方程．
(1)直线l经过点M(m，n)，N(n，m)(m≠n)；
(2)直线l与坐标轴围成等腰三角形．
[解]　(1)由题意得直线l的斜率为k＝＝－1，所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2．
(2)因为直线l在y轴上的截距为－2，所以l与y轴的交点为P(0，－2)，而直线l与坐标轴围成等腰三角形，又是直角三角形，所以l与x轴的交点坐标为(－2，0)或(2，0)．由过两点的斜率公式得k＝－1或1，所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2或y＝x－2．
类型3　直线的方程的简单应用
【例3】　已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
直线y－y1＝k(x－x1)与x轴和y轴的交点坐标分别是什么？
[提示]　令x＝0，得y＝y1－kx1，所以直线y－y1＝k(x－x1)与y轴的交点坐标是(0，y1－kx1)；
令y＝0，得x＝x1－，所以直线y－y1＝k(x－x1)与x轴的交点坐标是．
[解]　设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b．由已知可得·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1．故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1．
　利用待定系数法求直线方程
(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率．
(2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定直线在y轴上的截距．
[跟进训练]
3．已知△ABC的三个顶点分别是A，B，C．若直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分，求直线l的斜截式方程．
[解]　由题意知：直线l是△ABC在BC边上的中线，由B，C，得B，C的中点坐标为，所以直线l的斜率k＝＝－，则直线l的斜截式方程为y＝－x＋3．
4．已知直线l的倾斜角等于直线y＝x＋1的倾斜角的一半，且经过点，求直线l的点斜式方程．
[解]　设直线y＝x＋1的倾斜角为α，则tan α＝，又α∈[0，π)，所以α＝，因为直线l的倾斜角等于直线y＝x＋1的倾斜角的一半，所以直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率为tan ＝tan ＝，所以直线l的点斜式方程为y＋3＝．
1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
D　[α＝135°的斜率k＝－1，所以方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0．]
2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)
A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
C　[直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1．]
3．已知直线l过点(3，4)且与y轴的交点坐标为(0，1)，则直线l的方程为________．
y＝x＋1　[由题意知直线的斜率k＝＝1，∴直线l的方程为y＝x＋1．]
4．无论k取何值，直线y＝kx＋2k－3所过的定点是________．
(－2，－3)　[直线方程能化成点斜式方程：y＋3＝k(x＋2)，所以过定点(－2，－3)．]
5．直线l1过点P(－1，2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程．
[解]　直线l1的方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－6＋＝0．∵k1＝－＝tan α1，∴α1＝150°．如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－，∴l2的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－2＋＝0．
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．建立点斜式方程的依据是什么？
[提示]　直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1．
2．斜截式方程的标准形式及特征是什么？
[提示]　斜截式方程的标准形式是y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k＝0时)．
课时分层作业(二)　直线的点斜式方程
一、选择题
1．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　)
A．60°，2 B．120°，2－
C．60°，2－ D．120°，2
B　[由方程y－2＝－(x＋1)，得y＝－x＋2－，∴斜率k＝－，在y轴上的截距为2－，倾斜角为120°．]
2．直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为(　　)
A．a＋b B．2a－b
C．b－2a D．|2a－b|
C　[由y－b＝2(x－a)，得y＝2x－2a＋b，故在y轴上的截距为b－2a．]
3．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　　)
A　　　 　B　　　　　C　　　 　D
C　[A中，y＝ax，a＞0，y＝x＋a的图象错误；B中，y＝ax，a＞0，y＝x＋a的图象错误；D中，y＝ax，a＜0，y＝x＋a的图象错误．]
4．经过点(0，－1)且斜率为－的直线方程为(　　)
A．2x＋3y＋3＝0
B．2x＋3y－3＝0
C．2x＋3y＋2＝0
D．3x－2y－2＝0
A　[经过点(0，－1)且斜率为－的直线，其斜截式方程为y＝－x－1，整理得2x＋3y＋3＝0，故选A．]
5．直线y＝x＋1绕着其上一点(1，2)，逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程为(　　)
A．y－4＝2(x－3)
B．y－1＝－(x－2)
C．y－2＝－(x－1)
D．y－4＝－2(x－3)
C　[逆时针旋转90°，即与y＝x＋1垂直，由于y＝x＋1的倾斜角为45°，则所求直线的倾斜角为135°，斜率为－1，又因过点(1，2)，故直线方程为y－2＝－(x－1)．]
二、填空题
6．在y轴上的截距为2，且斜率为－3的直线的斜截式方程为________．
y＝－3x＋2　[∵直线的斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2．]
7．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．
　[由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k．]
8．一条直线经过点A(2，－)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的点斜式方程是________．
y－(－)＝(x－2)　[因为直线y＝x的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k＝tan 60°＝．又该直线过点A(2，－)，故所求直线为y－(－)＝(x－2)．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)求出经过点P(－1，2)且满足下列条件的直线的方程，并画出直线：
(1)倾斜角为；(2)与x轴垂直；(3)与x轴平行．
[解]　(1)因为直线的倾斜角为，所以该直线的斜率为k＝tan ＝．因为直线经过点P(－1，2)且斜率为，所以该直线方程的点斜式为y－2＝[x－(－1)]，化简，得x－y＋＋2＝0(如图1)．
(2)因为直线经过点P(－1，2)且与x轴垂直，所以该直线的方程为x＝－1(如图2)．
(3)因为直线经过点P(－1，2)且与x轴平行，即斜率k＝0，所以该直线的方程为y＝2(如图3)．
10．直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
[解]　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2．
令y＝0得，x＝．由三角形的面积为2，得×2＝2．解得k＝．
可得直线l的方程为y－2＝(x－2)，综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2)．
11．(多选题)下列说法正确的有(　　)
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限
B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2)
C．过点(2，－1)且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3
ABC　[A中，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，所以(k，b)在第二象限，正确．B中，直线可写为y－2＝a(x－3)，所以直线过定点(3，2)，正确．C中根据点斜式方程知正确．D中，由斜截式方程得y＝－2x＋3，故D错误．]
12．直线y＝－cos αx＋5的倾斜角θ的取值范围是(　　)
A．[0，π) B．
C． D．
B　[设该直线的斜率为k，倾斜角为θ，则k＝－cos α，故－1k1，又k＝tan θ，故－1tan θ1，所以θ∈．]
13．若直线l：y＝kx＋2k＋1，那么直线过定点____________，
若当－3＜x＜3时，直线l上的点都在x轴上方，则实数k的取值范围是________．
(－2，1)　　[由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)，由直线的斜截式方程知，直线过定点(－2，1)．又设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若－3＜x＜3，直线l上的点都在x轴上方，则需满足
即解得－k1．所以实数k的取值范围是－，1．]
14．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．
(－∞，－1]∪[1，＋∞)　[令y＝0，则x＝－2k．令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2．由题意知，三角形的面积不小于1，可得k21，所以k1或k－1．]
15．已知直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)．
(1)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
[解]　(1)直线l的方程可化为y＝kx＋2＋4k，则直线在y轴上的截距为4k＋2，要使直线l不经过第四象限，需满足解得k0，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(2)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为4k＋2，且k＞0，所以A，B(0，4k＋2)，故S＝|OA|·|OB|＝＝22×(4＋4)＝16，当且仅当4k＝，即k＝时取等号，故S的最小值为16，此时直线l的方程为y＝x＋4．
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