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1.2.2　直线的两点式方程
学习任务 核心素养
1．了解直线方程的两点式的推导过程．(难点) 2．掌握直线方程两点式、截距式的形式、特点及适用范围．(重点) 1．通过对直线的两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养． 2．通过对直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养．
某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东侧P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km．现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交会于A，B两处，并使商业中心O到A，B两处的距离之和最短．
在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？
知识点　直线的两点式方程和截距式方程
名称 两点式方程 截距式方程
已知 条件 直线l过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0
示意图
直线 方程 _______________ ______________
适用 范围 斜率存在且不为零 斜率存在且不为零，不过原点
方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同吗？
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1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的两点式方程也可以用＝(x1≠x2，y1≠y2)表示． (　　)
(2)任何直线都可以用方程＝1表示． (　　)
(3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出． (　　)
2．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0　　　
B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y－1＝0
3．直线y＝3x＋2在x轴上的截距是____________．
类型1　直线的两点式方程
【例1】　(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标．
(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．
提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．
[跟进训练]
1．求经过两点A(2，m)和B(n，3)的直线方程．
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类型2　直线的截距式方程
【例2】　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变条件)本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线l的方程．
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__________________________________________________________________________________________________________________________________________2．(变条件)本例中把“相等”改为“绝对值相等”呢？
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　利用截距式求直线方程的注意事项
(1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0．
①若a＝0，b≠0，则直线方程为x＝0；
②若a≠0，b＝0，则直线方程为y＝0；
③若a＝0，b＝0，则直线方程为y＝kx(k≠0)．
(2)截距相等且不为零，可设x＋y＝a；
截距相反且不为零，可设x－y＝a；
截距相等且均为零，可设y＝kx．
类型3　直线方程的灵活应用
【例3】　【链接教材P15例4】
在△ABC中，已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)．
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
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　直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
[跟进训练]
2．过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有________条．
1．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是(　　)
A．＝0 B．＝0
C．＝1 D．＝1
2．直线＝1过第一、三、四象限，则(　　)
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
3．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是________．
4．过点(5，2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是________．
5．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．直线的两点式方程及其适用情形分别是什么？
2．直线的截距式方程及其适用情形分别是什么？
1 / 51.2.2　直线的两点式方程
学习任务 核心素养
1．了解直线方程的两点式的推导过程．(难点) 2．掌握直线方程两点式、截距式的形式、特点及适用范围．(重点) 1．通过对直线的两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养． 2．通过对直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养．
某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东侧P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km．现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交会于A，B两处，并使商业中心O到A，B两处的距离之和最短．
在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？
知识点　直线的两点式方程和截距式方程
名称 两点式方程 截距式方程
已知 条件 直线l过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0
示意图
直线 方程
适用 范围 斜率存在且不为零 斜率存在且不为零，不过原点
方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同吗？
[提示]　不同．前者为分式形式方程，它不表示垂直于坐标轴的直线，后者为整式形式方程，它表示过任何两点的直线．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的两点式方程也可以用＝(x1≠x2，y1≠y2)表示． (　　)
(2)任何直线都可以用方程＝1表示． (　　)
(3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0　　　
B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y－1＝0
D　[由直线的两点式方程，得＝，化简得x－y－1＝0．]
3．直线y＝3x＋2在x轴上的截距是____________．
－　[令y＝0得x＝－，即在x轴上的截距为－．]
类型1　直线的两点式方程
【例1】　(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
(1)x＝2　(2)－2　[(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2．
(2)由直线方程的两点式得＝，即＝．所以直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，因为点P(3，m)在直线AB上，所以m＋1＝－3＋2，得m＝－2．]
　由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标．
(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．
提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．
[跟进训练]
1．求经过两点A(2，m)和B(n，3)的直线方程．
[解]　当m＝3时，直线垂直于y轴，方程为y＝3；当n＝2时，直线垂直于x轴，方程为x＝2；当m≠3且n≠2时，由两点式得直线方程为＝．
类型2　直线的截距式方程
【例2】　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？
[提示]　选择截距式较好．
[解]　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b．①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＝1．∵点(4，－3)在直线上，∴＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0．
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0．综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0．
[母题探究]
1．(变条件)本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线l的方程．
[解]　当截距均为零时，设直线方程为y＝kx，把点(4，－3)代入得－3＝4k，解得k＝－，所求的直线方程为y＝－x，即3x＋4y＝0．当截距均不为零且相反时，可设直线方程为＝1，把点(4，－3)代入得＝1，解得a＝7，所求直线方程为＝1，即x－y－7＝0，故所求直线l的方程为x－y－7＝0或3x＋4y＝0．
2．(变条件)本例中把“相等”改为“绝对值相等”呢？
[解]　当直线在两轴上的截距的绝对值相等时，包括：
①两截距均为零，即3x＋4y＝0．
②两截距均不为零且相等，即x＋y－1＝0．
③两截距均不为零且相反，即x－y－7＝0．
故所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0．
　利用截距式求直线方程的注意事项
(1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0．
①若a＝0，b≠0，则直线方程为x＝0；
②若a≠0，b＝0，则直线方程为y＝0；
③若a＝0，b＝0，则直线方程为y＝kx(k≠0)．
(2)截距相等且不为零，可设x＋y＝a；
截距相反且不为零，可设x－y＝a；
截距相等且均为零，可设y＝kx．
类型3　直线方程的灵活应用
【例3】　【链接教材P15例4】
在△ABC中，已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)．
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[解]　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，故BC边所在直线的方程是2x＋5y＋10＝0．
(2)设BC的中点为M(a，b)，则a＝＝，b＝＝－3，所以M，
又BC边的中线过点A(－3，2)，所以＝，即10x＋11y＋8＝0，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0．
【教材原题·P15例4】
例4　已知三角形的顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)(图1-2-4)，分别求这个三角形三边所在直线的方程．
[解]　直线AB过A(－5，0)，B(3，－3)两点，由直线的两点式方程，得
＝，即3x＋8y＋15＝0，这就是直线AB的方程．直线BC在y轴上的截距为2，斜率是k＝＝－，由直线的斜截式方程，得y＝－x＋2，即5x＋3y－6＝0，这就是直线BC的方程．直线AC在x轴、y轴上的截距分别是－5，2，由直线的截距式方程，得＝1，即2x－5y＋10＝0，这就是直线AC的方程．
　直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
[跟进训练]
2．过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有________条．
2　[设直线的两截距都是a，则有
①当a＝0时，直线设为y＝kx，将P(2，3)代入得k＝，∴直线l的方程为3x－2y＝0．
②当a≠0时，直线设为＝1，即x＋y＝a，把P(2，3)代入得a＝5，∴直线l的方程为x＋y＝5．∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0．∴满足题意的直线共有2条．]
1．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是(　　)
A．＝0 B．＝0
C．＝1 D．＝1
C　[由条件可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为2，3，所以方程为＝1．]
2．直线＝1过第一、三、四象限，则(　　)
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
B　[因为直线过第一、三、四象限，所以它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，所以a＞0，b＜0．]
3．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是________．
－　[由两点式得＝，即y－1＝2(x＋1)，令y＝0得x＝－，所以直线在x轴上的截距为－．]
4．过点(5，2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是________．
x＋2y－9＝0或2x－5y＝0　[当y轴上截距b＝0时，设直线方程为y＝kx．将点(5，2)代入，得y＝x，即2x－5y＝0．当b≠0时，设直线方程为＋＝1，将点(5，2)代入，得＝1，解得b＝，即直线方程为＝1，整理，得x＋2y－9＝0．所以满足条件的直线方程为2x－5y＝0或x＋2y－9＝0．]
5．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
[解]　设直线方程的截距式为＝1(a≠0且a≠－1)．则＝1，解得a＝2或a＝1，则直线方程是＝1或＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．直线的两点式方程及其适用情形分别是什么？
[提示]　直线的两点式方程为＝，直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式＝求它的方程．
2．直线的截距式方程及其适用情形分别是什么？
[提示]　直线的截距式方程为＝1，其适用情形是斜率存在且不为零，不过原点．
课时分层作业(三)　直线的两点式方程
一、选择题
1．已知点A(1，1)，B(3，5)，若点C(―2，y)在直线AB上，则y的值是(　　)
A．―5 B．2.5
C．5 D．―2.5
A　[点A(1，1)，B(3，5)，直线AB的方程为＝，即2x―y―1＝0，点C(―2，y)在直线AB上，得―4―y―1＝0，解得y＝―5．故选A．]
2．已知△ABC三个顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　)
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0　 D．2x－y－12＝0
A　[点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0．]
3．两条直线＝1与＝1在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　)
A　　　　B　 　　C　　　 　D
B　[＝1在两轴上的截距分别为m，－n；直线＝1在两轴上的截距分别为n，－m，所以符合题意的是B．]
4．过点P(1，3)，且与x、y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是(　　)
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
A　[设直线方程为＝1(a＞0，b＞0)，∴∴故所求的直线方程为3x＋y－6＝0．]
5．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy(　　)
A．无最小值，且无最大值
B．无最小值，但有最大值
C．有最小值，但无最大值
D．有最小值，且有最大值
D　[线段AB的方程为＝1(0x3)，∴y＝41－，∴xy＝4x1－＝－x－2＋3．∴当x＝时，xy取最大值3；当x＝0或x＝3时，xy取最小值0．]
二、填空题
6．已知A(3，0)，B(0，4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x0＋3y0＝________．
12　[AB所在直线的方程为＝1，则＝1，即4x0＋3y0＝12．]
7．过点(0，3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．
3x＋2y－6＝0　[因为过点(0，3)，所以直线在y轴上的截距为3，又截距之和为5，即在x轴上的截距为2，由截距式方程得＝1，即3x＋2y－6＝0．]
8．直线l过点P(－1，2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为________．
2x－y＋4＝0　[设A(x，0)，B(0，y)．由P(－1，2)为AB的中点，得∴由截距式方程得l的方程为＝1，即2x－y＋4＝0．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求边BC所在直线的方程，以及BC边上的中线AM所在直线的方程．
[解]　如图，过B(3，－3)，C(0，2)的直线的两点式方程为＝，整理得5x＋3y－6＝0．
这就是边BC所在直线的方程．
边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段，
由中点坐标公式，可得点M的坐标为，即．
过A(－5，0)，M两点的直线方程为＝，
整理可得x＋13y＋5＝0．
这就是边BC上中线AM所在直线的方程．
10．设直线l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等，所以a＝2，方程为3x＋y＝0；
由题可知a＋1≠0，即a≠－1．
当a≠2时，由＝a－2，解得a＝0，
所以直线l的方程为x＋y＋2＝0．
综上所述，所求直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0．
(2)若l不经过第二象限，
则或
解得a－1．
所以实数a的取值范围为(－∞，－1]．
11．(多选题)下列说法正确的是(　　)
A．不经过原点的直线都可以表示为＝1
B．若直线与两轴交点分别为A，B且AB的中点为(4，1)，则直线l的方程为＝1
C．过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2
D．直线3x－2y＝4的截距式方程为＝1
BCD　[A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；B中，AB的中点为(4，1)，不妨取A(8，0)，B(0，2)，故所求直线方程为＝1，故B正确；C中，过原点时直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C正确；D中，方程3x－2y＝4可化为＝1，故D正确．]
12．已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图所示，则(　　)
A．若c＞0，则a＞0，b＞0
B．若c＞0，则a＜0，b＞0
C．若c＜0，则a＞0，b＜0
D．若c＜0，则a＞0，b＞0
D　[由ax＋by＋c＝0，得斜率k＝－，直线在x，y轴上的截距分别为－，－．由题图，知k＜0，即－＜0，∴ab＞0．
∵－＞0，－＞0，∴ac＜0，bc＜0．
若c＜0，则a＞0，b＞0；
若c＞0，则a＜0，b＜0．故选D．]
13．若A(2，5)，B(4，1)，则直线AB的方程为______________；
设直线AB与x轴、y轴的交点分别为M，N且点P(x，y)在线段MN上，则xy的最大值为____________．
2x＋y－9＝0　　[由两点式得＝，整理为2x＋y－9＝0．又P(x，y)在线段MN上，
∴0∴xy＝(2x)·y＝＝，
当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，取等号．
∴xy的最大值为．]
14．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
2x－3y＝0或x＋y－5＝0　[点A(1，－2)，B(5，6)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y＝x，即2x－3y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＝k，把中点M(3，2)的坐标代入直线的方程，得k＝5，故所求直线的方程是x＋y－5＝0．综上，所求的直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0．]
15．已知直线l过点P(4，1)．
(1)若直线l过点Q(－1，6)，求直线l的方程；
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．
[解]　(1)l过点P(4，1)，Q(－1，6)．由两点式可得＝，整理得x＋y－5＝0，这就是直线l的方程．
(2)当在两轴上的截距均为0时，
l的方程为y＝x，
即x－4y＝0．
当直线l在两轴上的截距均不为零时，
根据条件可设为＝1，
把点(4，1)代入得＝1，
解得a＝．
所以l的方程为2x＋y－9＝0．
综上可知，直线l的方程为2x＋y－9＝0或x－4y＝0．
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