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第2课时　圆的一般方程
学习任务 核心素养
1．正确理解圆的方程的一般形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点) 2．会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1．通过对圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养． 2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养．
(1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？
(2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？
这就是今天我们将要研究的问题．
知识点　圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(_____________)叫作圆的一般方程．其中圆心为____________，圆的半径为r＝______________．
(2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明
方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F＞0 表示以点为圆心，为半径的圆
方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程． (　　)
(2)圆的一般方程和标准方程可以互化． (　　)
(3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆． (　　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F>0． (　　)
2．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋ 2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　 B．，1
C．(1，＋∞)∪－∞， D．R
A　[因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选A．]
3．过点(0，0)，(4，0)和(0，6)三点的圆的一般方程为________．
类型1　圆的一般方程的认识
【例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
[跟进训练]
1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
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类型2　求圆的一般方程
【例2】　【链接教材P58例3】
已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　利用待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意，设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；
(3)解方程组，求出D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．
[跟进训练]
2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
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类型3　与圆有关的轨迹问题
【例3】　点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
1．线段AP的中点M的坐标为M(x，y)，那么点P的坐标是什么？
2．直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程．
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2．(变结论)本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程．
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　1．直接法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；
(2)列出点M 满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
2．代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标为(x，y)；
(2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程；
(3)用x，y表示x0，y0；
(4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程；
(5)化简方程为最简形式．
1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．m＜ B．m
C．m＜2 D．m2
2．若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k等于________．
3．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是________．
4．(源自湘教版教材)已知A(0，0)，B(6，0)，C(－1，7)，求△ABC的外接圆的圆心坐标和半径．
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回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．圆的一般方程是什么？
2．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？
3．求轨迹方程的一般方法有哪些？
1 / 5第2课时　圆的一般方程
学习任务 核心素养
1．正确理解圆的方程的一般形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点) 2．会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1．通过对圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养． 2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养．
(1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？
(2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？
这就是今天我们将要研究的问题．
知识点　圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程．其中圆心为，圆的半径为r＝．
(2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明
方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F＞0 表示以点为圆心，为半径的圆
方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？
[提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程． (　　)
(2)圆的一般方程和标准方程可以互化． (　　)
(3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆． (　　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F>0． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋ 2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　 B．，1
C．(1，＋∞)∪－∞， D．R
A　[因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选A．]
3．过点(0，0)，(4，0)和(0，6)三点的圆的一般方程为________．
x2＋y2－4x－6y＝0　[设过点(0，0)(4，0)和(0，6)三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴∴∴一般方程为x2＋y2－4x－6y＝0．]
类型1　圆的一般方程的认识
【例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[解]　(1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜，
故m的取值范围为．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径为．
　解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
[跟进训练]
1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
[解]　(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，
∴方程不表示任何图形．
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示点(－a，0)．
(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，
D＝a，E＝－a，F＝0，
∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，
∴方程表示圆，它的圆心为，
半径r＝＝|a|．
类型2　求圆的一般方程
【例2】　【链接教材P58例3】
已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
[解]　法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵点A，B，C在圆上，
∴
∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25．
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5．
法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC．
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5．
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25．
【教材原题·P58例3】
已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程．
[解]　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
因为点A，B，C在所求的圆上，所以
解得
故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋5＝0．
　利用待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意，设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；
(3)解方程组，求出D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．
[跟进训练]
2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
[解]　圆心C－，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－1＝0，
即D＋E＝－2．①
又∵半径长r＝＝，
∴D2＋E2＝20．②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，
∴－＜0，即D＞0．
则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．
类型3　与圆有关的轨迹问题
【例3】　点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
1．线段AP的中点M的坐标为M(x，y)，那么点P的坐标是什么？
[提示]　(2x－2，2y)．
2．直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？
[提示]　直角三角形斜边的中线长是斜边长的二分之一．
[解]　(1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为(2x－2，2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|．
设O为坐标原点，连接ON(图略)，
则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．
[母题探究]
1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程．
[解]　设T(x，y)．
因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT．
当斜率存在时，有kOT·kBT＝－1．
即＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0．
当x＝0或1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上．
故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0．
2．(变结论)本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程．
[解]　设点E(x，y)，P(x0，y0)．
∵B(1，1)，∴
整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－＝0．
　1．直接法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；
(2)列出点M 满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
2．代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标为(x，y)；
(2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程；
(3)用x，y表示x0，y0；
(4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程；
(5)化简方程为最简形式．
1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．m＜ B．m
C．m＜2 D．m2
A　[由D2＋E2－4F＞0，得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜，故选A．]
2．若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k等于________．
－2　[由条件可知，直线经过圆的圆心(k，－1)，∴2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2．]
3．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是________．
x2＋y2－4x＋2y＋1＝0　[由条件知A(2，－1)，设M(x，y)，则P(2x－2，2y＋1)，由于P在圆上，
∴(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，
整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0．]
4．(源自湘教版教材)已知A(0，0)，B(6，0)，C(－1，7)，求△ABC的外接圆的圆心坐标和半径．
[解]　设外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． ①
将圆上三点的坐标依次代入方程①，得到一个关于D，E，F的三元一次方程组
解这个方程组，得D＝－6，E＝－8，F＝0．
因此，外接圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0．
整理得(x－3)2＋(y－4)2＝52．
所以外接圆的圆心坐标为(3，4)，半径为5．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．圆的一般方程是什么？
[提示]　x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．
2．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？
[提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0．
3．求轨迹方程的一般方法有哪些？
[提示]　直接法，代入法(相关点法)．
课时分层作业(十)　圆的一般方程
一、选择题
1．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为，则a＝(　　)
A．0或－1 B．0
C．7 D．－1或7
D　[将x2＋y2－2x－8y＋13＝0整理得(x－1)2＋(y－4)2＝4，所以圆的圆心坐标为(1，4)，
所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝，
整理得a2－6a－7＝0，解得a＝－1或a＝7．]
2．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝25(y≠0)
B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
D．(x－2)2＋y2＝25
C　[线段AB的中点为(2，0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2，0)的距离为|AB|＝5，所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)，
即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．]
3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是(　　)
A．π B．π
C．3π D．不存在
B　[所给圆的半径为r＝＝．
所以当m＝－1时，半径r取最大值，此时最大面积是π．]
4．过三个点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
C　[设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
故圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0．
令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则|MN|＝|y1－y2|＝＝4．故选C．]
5．已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
B　[圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0化简为(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1，圆心坐标为C(－1，a)，半径为．如图，
由题意可得，当弦AB最短时，过圆心与点(1，2)的直线与直线2x－y＝0垂直．
则＝－，即a＝3．故选B．]
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为________．
(2，－3)　[由x2＋y2－2x＋2y－3＝0，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0，1)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，－3)．]
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为________．
x2＋y2－4x－5＝0　[设圆C的圆心坐标为(a，0)(a＞0)，由题意可得＝，解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆C的半径为＝3，所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0．]
8．已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最小值是________．
3－　[|AB|＝＝2，又直线AB方程为＝1，即x－y＋2＝0，圆x2＋y2－2x＝0上的点到直线距离的最小值为d＝－1＝，∴S△ABC的最小值为×2＝3－．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
[解]　设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)．由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，所以x＝，y＝．
于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3． ①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即＝4． ②
把①代入②，得
(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
整理，得＋＝1．
这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆．
10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2，3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
[解]　(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，
∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，
∴a＝4，P(4，5)，
∴|PQ|＝＝2，
kPQ＝＝．
(2)∵圆心C的坐标为(2，7)，
∴|QC|＝＝4，
圆的半径是2，点Q在圆外，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2．
11．(多选题)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确的是(　　)
A．圆心在直线y＝－x上
B．圆心在直线y＝x上
C．圆过原点
D．圆的半径为|a|
ACD　[圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2．圆心坐标为(－a，a)适合方程y＝－x．
∴A正确，不适合y＝x，∴B错误，把(0，0)代入圆的方程适合，∴C正确，又r2＝2a2，∴r＝|a|，∴D正确．故选ACD．]
12．使方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的实数a的可能取值为(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．
B　[该方程若表示圆，则有(－a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，
即3a2＋4a－4＜0，
解得－2＜a＜，
其中B项满足条件，应选B．]
13．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3，1)连线中点Q的轨迹方程为________．
＋＝　[设Q(x，y)，P(a，b)，由中点坐标公式得
所以点P(2x－3，2y－1)满足圆x2＋y2＝2的方程，所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，化简得＋＝，即为点Q的轨迹方程．]
14．M(3，0)是圆C：x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．
x－y－3＝0　x＋y－3＝0　[由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦．易求出圆心为C(4，1)，kCM＝＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0．]
15．设△ABC的顶点坐标A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由．
[解]　(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，
∴解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a．∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0．
(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0．
由
解得x＝0，y＝－3．
∴圆M过定点(0，－3)．
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