资源简介

2.2　直线与圆的位置关系
学习任务 核心素养
1．掌握直线与圆的三种位置关系，并会用代数法和几何法判断．(重点) 2．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点) 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养．
“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．
图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？
知识点　直线与圆的三种位置关系及判定
位置关系 相离 相切 相交
图示
公共点个数 __个 __个 __个
判定方法 几何法：设圆心到直线 的距离d＝ 比较d与r的大小 d__r d__r d__r
代数法：由 依据方程组解的情况 方程组____ 方程组__________ 方程组有两组不同解
判断直线与圆的位置关系有哪些常用方法？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断． (　　)
(2)过圆外一点作圆的切线有两条． (　　)
(3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离． (　　)
(4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切． (　　)
2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
类型1　直线与圆的位置关系
【例1】　【链接教材P63例1】
已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　直线与圆位置关系判断的三种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
[跟进训练]
1．已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，则直线l与圆C的位置关系为________．
类型2　直线与圆相切问题
【例2】　【链接教材P64例2】
(1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，则直线l的方程为________．
(2)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
[思路探究]　(1)利用MP⊥l，同时点P在直线l上．
(2)先确定点A在圆外，利用d＝r求切线方程．
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0．
(2)点在圆外时
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
提醒：要注意切线的斜率不存在的情况．
[跟进训练]
2．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为________．
类型3　直线与圆相交问题
【例3】　【链接教材P65例3】
(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|．
(2)过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
1．若直线与圆交于两点A，B，连接AB的中点M和圆心C，则在直角三角形ACM中，应用勾股定理可得到什么？
2．在(1)中如何表示CM的长？
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　求弦长常用的三种方法
(1)利用圆的半径r、圆心到直线的距离d、弦长l之间的关系＋d2＝r2求解．
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，用两点间距离公式计算弦长．
(3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝·．
[跟进训练]
3．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)
A．4　　　　B．2　　　　C．　　　　D．
类型4　直线与圆位置关系的实际应用
【例4】　一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
[思路探究]　以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后将实际问题转化为代数问题来解决．
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和待求的数据；
(2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；
(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；
(4)还原：将运算结果还原为对实际问题的解释．
[跟进训练]
4．一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后，水面宽度为(　　)
A．14米 B．15米
C．米 D．2米
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
2．若直线x－2y＝0与圆(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝(　　)
A． B．5
C． D．25
3．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
4．已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
5．已知圆C经过点A(2，0)，B(1，－)，且圆心C在直线y＝x上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线l截圆C所得弦长为2，求直线l的方程．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断直线与圆的位置关系有几种方法．
2．常用的求弦长的方法有哪些？
1 / 62.2　直线与圆的位置关系
学习任务 核心素养
1．掌握直线与圆的三种位置关系，并会用代数法和几何法判断．(重点) 2．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点) 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养．
“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．
图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？
知识点　直线与圆的三种位置关系及判定
位置关系 相离 相切 相交
图示
公共点个数 零个 一个 两个
判定方法 几何法：设圆心到直线 的距离d＝ 比较d与r的大小 d＞r d＝r d＜r
代数法：由 依据方程组解的情况 方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同解
判断直线与圆的位置关系有哪些常用方法？
[提示]　代数法和几何法．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断． (　　)
(2)过圆外一点作圆的切线有两条． (　　)
(3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离． (　　)
(4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
B　[圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1．∵d＝r，∴直线与圆相切．故选B．]
3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
D　[直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2．]
类型1　直线与圆的位置关系
【例1】　【链接教材P63例1】
已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0．
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，
即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0时，即－即直线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2．
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝．
(1)当d<2即m>0或m<－时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2即－即直线与圆没有公共点．
【教材原题P63例1】
求直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点的坐标，并判断它们的位置关系．
[解]　直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点的坐标就是方程组的解．
解这个方程组，得
所以公共点的坐标为(10，0)，．
因为直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100有两个公共点，所以直线和圆相交．
　直线与圆位置关系判断的三种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
[跟进训练]
1．已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，则直线l与圆C的位置关系为________．
相交　[由直线方程得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，令得
故直线l过定点A(3，1)．
由|AC|＝＝＜5得A点在圆内，因此直线l与圆C相交．]
类型2　直线与圆相切问题
【例2】　【链接教材P64例2】
(1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，则直线l的方程为________．
(2)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
[思路探究]　(1)利用MP⊥l，同时点P在直线l上．
(2)先确定点A在圆外，利用d＝r求切线方程．
(1)x＋2y－3＝0　[根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，即(x＋2)2＋y2＝5，其圆心M(－2，0)，
直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，
则P在直线l上且MP与直线l垂直．
kMP＝＝2，则有－＝－，即b＝2a，
又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2，
则直线l的方程为x＋2y－3＝0．]
(2)[解]　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0．
设圆心为C，
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，
即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，
解得k＝－．
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0．
②若直线斜率不存在，
圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4．
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4．
【教材原题·P64例2】
自点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．
解法1：当直线l垂直于x轴时，直线l：x＝－1与圆相离，不满足条件．
当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为
y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋(k＋4)＝0．
如图2-2-1，因为直线与圆相切，所以圆心(2，3)到直线l的距离等于圆的半径，从而＝1，
解得k＝0或k＝－．
因此，所求直线l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0．
解法2：当直线l垂直于x轴时，直线l：x＝－1与圆相离，不满足条件．
当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为
y－4＝k(x＋1)．
因为直线l与圆相切，所以方程组仅有一组解．
由方程组消去y，得到关于x的一元二次方程
(1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0．
依题意，这个一元二次方程有两个相等的实数根，所以可得判别式Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0，
解得k＝0或k＝－．
因此，所求直线l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0．
　圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0．
(2)点在圆外时
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
提醒：要注意切线的斜率不存在的情况．
[跟进训练]
2．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为________．
4　[因为圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C(－1，2)在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即a－b＝3．又圆的半径为，
当点(a，b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a，b)与圆心的距离为＝3，所以切线长的最小值为＝4．]
类型3　直线与圆相交问题
【例3】　【链接教材P65例3】
(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|．
(2)过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
1．若直线与圆交于两点A，B，连接AB的中点M和圆心C，则在直角三角形ACM中，应用勾股定理可得到什么？
[提示]　AB2＝4AM2＝4(AC2－CM2)．
2．在(1)中如何表示CM的长？
[提示]　应用圆心到直线的距离．
[解]　(1)联立直线l与圆C的方程，得解得所以交点为A(1，3)，B(2，0)．故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|＝＝．
(2)圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3．
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0．
由点到直线的距离公式，得3＝，
解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0．
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0．
【教材原题·P65例3】
求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长．
解法1：直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点的坐标就是方程组
的解．
解这个方程组，
得
所以公共点的坐标为(－，1)，(0，2)．
从而知直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为
＝2．
解法2：如图2-2-2，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)，
所以OM＝＝，从而AB＝2AM＝2＝2＝2．
　求弦长常用的三种方法
(1)利用圆的半径r、圆心到直线的距离d、弦长l之间的关系＋d2＝r2求解．
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，用两点间距离公式计算弦长．
(3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝·．
[跟进训练]
3．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)
A．4　　　　B．2　　　　C．　　　　D．
B　[∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，
∴圆M的圆心坐标为(1，2)，半径为，又点(1，2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，直线m被圆M截得的弦长为2＝2．故选B．]
类型4　直线与圆位置关系的实际应用
【例4】　一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
[思路探究]　以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后将实际问题转化为代数问题来解决．
[解]　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l的方程为＝1，即4x＋7y－28＝0．圆心(0，0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3，
因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．
　直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和待求的数据；
(2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；
(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；
(4)还原：将运算结果还原为对实际问题的解释．
[跟进训练]
4．一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后，水面宽度为(　　)
A．14米 B．15米
C．米 D．2米
D　[以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，设圆的半径长为r，则C(0，－r)，
则圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2．
将点A的坐标代入上述方程，可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，
当水面下降1米后，水面所在弦的端点为A′，B′，
可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，∴水面宽度|A′B′|＝2米．]
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
D　[圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝＜r＝3．又点(1，－1)不在直线3x＋4y＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D．]
2．若直线x－2y＝0与圆(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝(　　)
A． B．5
C． D．25
C　[设圆心到直线的距离为d，则d＝＝．由直线与圆相切可得r＝．故选C．]
3．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
D　[由弦长公式l＝2，可知圆心到直线的距离d＝，即＝，解得a＝0或4．]
4．已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
2　[设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径r＝2，C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝．由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．]
5．已知圆C经过点A(2，0)，B(1，－)，且圆心C在直线y＝x上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线l截圆C所得弦长为2，求直线l的方程．
[解]　(1)AB的中点坐标为，AB的斜率为．可得AB垂直平分线方程为2x＋6y＝0，与x―y＝0的交点为(0，0)，圆心坐标(0，0)，半径为2，
所以圆C的方程为x2＋y2＝4．
(2)当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过点，
∴直线l的方程为y－＝k(x－1)，即y＝kx＋－k，
则圆心(0，0)到直线l的距离d＝，又圆的半径r＝2，截得的弦长为2，
则有＋()2＝4，解得k＝－，
则直线l的方程为y＝－x＋．
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足题意．
∴直线l的方程为x＝1或y＝－x＋．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断直线与圆的位置关系有几种方法．
[提示]　(1)几何法；(2)代数法；(3)直线系法．
2．常用的求弦长的方法有哪些？
[提示]　(1)＋d2＝r2；(2)求出直线和圆的交点坐标，用两点间距离公式计算弦长．
课时分层作业(十一)　直线与圆的位置关系
一、选择题
1．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
D　[法一：由3x＋4y＝b得y＝－x＋，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或b＝12．
法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，所以＝1，解得b＝2或b＝12．]
2．与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是(　　)
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
B　[设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，
直线与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1，0)到直线l的距离为半径2，即＝2，∴m＝6或m＝－14，所以直线l方程为4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，由选项可知B正确，故选B．]
3．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．0°＜α30° B．0°＜α60°
C．0°α30° D．0°α60°
D　[易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0．
因为直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l的距离d＝1，即k2－k0，解得0k，故直线l的倾斜角α的取值范围是0°α60°．]
4．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－ay－11＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
D　[依题意可知直线过圆心(1，－2)，即3＋2a－11＝0，解得a＝4．故，－＝(1，－1)．圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，点(1，－1)与圆心距离为1，故弦长为2＝4．]
5．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)
A．－
B．－，0∪0，
C．－
D．－∞，－∪，＋∞
B　[曲线C1是以(1，0)为圆心，1为半径的圆，当m≠0时，C2是两直线y＝0，y＝m(x＋1)，其中y＝0与圆一定有两个交点，直线y＝m(x＋1)与圆相切时，m＝±，若有两个交点则m∈－，0∪0，．故选B．]
二、填空题
6．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有________个．
3　[圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以弦心距为d＝＝．
又圆的半径为2，所以圆上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有3个．]
7．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A，B，则|AB|＝________．
2　[圆心到直线的距离d＝＝，半径r＝2，∴|AB|＝2＝2．]
8．过原点作圆x2＋(y－6)2＝9的两条切线，则两条切线所成的锐角是________．
60°　[根据题意作出图象如图所示，其中OA，OB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，
则AC⊥AO，由圆的方程x2＋(y－6)2＝9可得圆心C(0，6)，圆的半径r＝3，
在Rt△AOC中，可得∠COA＝30°，又OC将∠AOB平分，所以∠AOB＝60°．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)已知直线m：3x＋4y－2＝0与圆P：x2＋y2－2x－2y＝0．
(1)写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形；
(2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明．
[解]　(1)将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－1)2＝2，即圆P是以点(1，1)为圆心，为半径的圆(如图1)．
(2)因为圆心P到直线m的距离d＝＝1＜，所以直线m与圆P相交．
设交点为A，B，圆P的半径为r(如图2)，易知△PAB是等腰三角形，腰PA，PB的长为圆P的半径长，即PA＝PB＝r＝，底边AB上的高为圆心P到直线m的距离d．
所以由勾股定理，得|AB|＝2＝2．
故直线m被圆P截得的弦长为2．
10．已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
[解]　(1)设圆A的半径为r，
∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20．
(2)当直线l与x轴垂直时，
则直线l的方程为x＝－2，
此时有|MN|＝2，即x＝－2符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0．
∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，
∴|AQ|2＋＝r2，
又∵|MN|＝2，r＝2，
∴|AQ|＝＝1，
解方程|AQ|＝＝1，得k＝，
∴此时直线l的方程为y－0＝(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0．
综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0．
11．(多选题)已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是(　　)
A．圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上
B．圆M的面积的最大值为50π
C．圆M的半径的最小值为1
D．满足条件的所有圆M的半径之积为10
ABD　[对A：因为圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，
故直线AM与直线x＋y＋2＝0垂直，故M落在直线x－y－2＝0上，故A正确；
对BCD：设圆心为(a，a－2)，
则r＝＝|a|＝，
解得a＝1或a＝－5，∴r＝或5，
∴满足条件的所有圆C的半径之积是10，故BD正确，C错误．]
12．若直线x－my＋m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(0，2)
C．(－1，0) D．(－2，0)
D　[圆与直线的方程联立
整理得(1＋m2)y2－2m(m＋1)y＋m2＋2m＝0，
∵图象有两个交点，
∴方程有两个不同的实数根，即Δ＞0，
Δ＝4m2(m＋1)2－4(m2＋2m)(m2＋1)＝－8m＞0，解得m＜0．
∵圆(x－1)2＋y2＝1都在x轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限．
∴y1y2＝＜0，解得－2＜m＜0，故选D．]
13．过直线l：y＝x－2上任意点P作圆C：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，切线长为________，同时△PAB的面积为________．
1　　[依据题意作出图象，如图：
因为直线l过点P且与圆x2＋y2＝1相切于点A，所以PA⊥OA，
所以PA＝＝，要使得PA最小，则OP要最小，由题可得，OP的最小值就是点O到直线l：y＝x－2的距离d＝＝．
此时，(PA)min＝＝＝1．
又∠OPA＝，
由切线的对称性可得
∠BPA＝，PB＝1，
所以S△PAB＝×1×1＝．]
14．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
4±　[圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为．
因为△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝2，所以＋12＝22，解得a＝4±．]
15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
[解]　(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为．
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|．
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋＝＋9．
所以当x＝－时＝9
所以|AP|min＝＝2．
即四边形PACB面积的最小值为2．
(2)由(1)知圆心C到点P的距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°，易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．
11 / 18

展开更多......

收起↑