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2.3　圆与圆的位置关系
学习任务 核心素养
1．理解圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点) 2．掌握圆与圆的位置关系的应用． 通过对圆与圆的位置关系的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养．
如图为在某地拍到的日环食全过程．
可以用两个圆来表示变化过程．
根据上图，结合平面几何知识，判断圆与圆的位置关系有几种？能否通过数量关系表示这些圆的位置关系？
知识点　圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| 0＜d＜|r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？
[提示]　两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交． (　　)
(2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离． (　　)
(3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立． (　　)
(4)若两圆有公共点，则|r1－r2|dr1＋r2． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　)
A．相离　　　B．相交　　　C．外切　　　D．内切
B　[圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝3．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝10相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
x＋3y－5＝0　[由两圆方程消去二次项得10－2x＋1－6y＋9＝10，即直线AB的方程为x＋3y－5＝0．]
类型1　圆与圆的位置关系的判断
【例1】　【链接教材P68例1】
当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？
[解]　将两圆的一般方程化为标准方程，得
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．
圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)，从而|C1C2|＝＝5．
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．当|－1|＜5＜1＋，即14＜k＜34时，两圆相交．
当＋1＜5，即34＜k＜50时，两圆外离．
【教材原题P68例1】
判断下列两个圆的位置关系：
(1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16；
(2)x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0．
[解]　(1)根据题意得，两个圆的半径分别为r1＝1和r2＝4，两个圆的圆心距
d＝＝5．
因为d＝r1＋r2，所以两个圆外切．
(2)方法1：将两个圆的方程联立方程组
①－②，得x－y－3＝0． ③
由③，得y＝x－3．
代入①式，并整理，得x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3．
从而y1＝－2，y2＝0，即方程组有两组不同的解，所以两个圆相交．
方法2：将两个圆的方程都化为标准方程，得
(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2．
那么两个圆的半径分别为r1＝2和r2＝，两个圆的圆心距d＝＝．
因为|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以两个圆相交．
　判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
(2)计算两圆圆心的距离d；
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
[跟进训练]
1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
[解]　将圆C1，C2的方程化为标准方程，得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1．
∴|C1C2|＝＝a．
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含．
类型2　两圆相切问题
【例2】　【链接教材P69例2】
(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值是________．
(2)求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
[思路探究]　(1)利用|C1C2|＝r1＋r2建立方程来求出m的值．
(2)分外切与内切两种情况，通过其他条件求出标准方程的三个参数值即可．
(1)2或－5　[C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意知|C1C2|＝5，(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5．]
(2)[解]　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16，
由圆与直线y＝0相切，半径为4，
得圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4)．
已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3．
由两圆相切，得|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1．
①当圆心为C1(a，4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±2，
故所求圆的方程为＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16．
②当圆心为C2(a，－4)时，
(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±2．
故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16．
综上所述，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16．
【教材原题·P69例2】
求过点A(0，6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点的圆的方程．
分析　如图2-3-1，所求圆经过原点和A(0，6)，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．
[解]　将圆C的方程化为标准方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，
则圆心为C(－5，－5)，半径为5．
所以经过此圆心和原点的直线的方程为x－y＝0．
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由题意知，O(0，0)，A(0，6)在所求圆上，且圆心M(a，b)在直线x－y＝0上，则有
解得
因此，所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18．
　处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
[跟进训练]
2．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[解]　已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
则圆心为(1，0)，半径为1．
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
由题意，可得
解得或
即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或＝36．
类型3　两圆相交问题
【例3】　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1)求两圆公共弦所在直线的方程；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
1．两圆相交时，如何求出公共弦所在直线的方程？
[提示]　将两个方程化成一般式，然后作差即可求得．
2．两圆公共弦长如何求得？
[提示]　将公共弦与其中一个圆方程联立，利用勾股定理|AB|＝2求得．
[解]　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组
的解．
①－②，得x－y＋4＝0．
∵A，B两点坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
(2)法一：解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4．
则
＝，
解得a＝，故圆心为，半径为．
故圆的方程为2＋2＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0．
法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7．故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0．
[母题探究]
1．(变结论)在本例条件不变时，求两圆的公共弦长及公共弦的中垂线的方程．
[解]　由例题解析知道x－y＋4＝0是公共弦所在的直线的方程．
因圆C1的圆心(－3，0)，r＝．
C1到直线AB的距离d＝＝．
∴|AB|＝2＝2＝5．
即两圆的公共弦长为5．
弦AB的中垂线也就是C1C2所在的直线．
∵C1(－3，0)，C2(0，－3)．
∴AB的中垂线方程为＝1，即x＋y＋3＝0．
2．(变结论)本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程．
[解]　根据条件可知，所求的圆就是以AB为直径的圆．
∵AB所在直线方程为x－y＋4＝0，
C1C2所在直线方程为x＋y＋3＝0．
∴由得圆心，
又∵|AB|＝5，∴半径r＝，
故所求圆的方程为2＋2＝．
　1．求两圆公共弦长的方法
一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；
二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
1．(教材P71习题2.3T1改编)圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是(　　)
A．外离 B．外切
C．相交 D．内含
C　[将圆的一般方程化为标准方程得C1：(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，C2：(x－2)2＋(y－2)2＝9，
∴C1(－1，－4)，C2(2，2)，r1＝5，r2＝3．
从而|C1C2|＝＝3，∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2．因此两圆的位置关系为相交．故选C．]
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
C　[AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D．故选C．]
3．已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为________．
1　[O(0，0)，C(3，0)，两圆半径均为1，∵|OC|＝＝3，∴|PQ|的最小值为3－1－1＝1．]
4．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：x2＋y2＝1，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为________．
x2＋y2－x－2y＝0　[设所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋1＋λ(x2＋y2－1)＝0(λ≠－1)，把原点代入可得1－λ＝0，所以λ＝1，
即可得过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0．]
5．(源自湘教版教材)已知圆C1：x2＋y2＋x＋2y－3＝0与圆C2：x2＋y2－6＝0相交，求经过圆C1与圆C2的两个交点的直线方程．
[解]　将圆C1与圆C2的方程联立，得方程组
①－②，得x＋2y＋3＝0．　③
这是二元一次方程，它的图象是一条直线．
两圆的交点A，B的坐标同时满足方程①和②，因此也满足方程③，也就是说，这两个交点都在直线x＋2y＋3＝0上．
因此，x＋2y＋3＝0就是经过两圆交点A，B的直线方程．
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系，如何判断两个圆的位置关系？
[提示]　(1)相交 |R－r|＜d＜R＋r．
(2)相切
(3)相离
2．如何求两圆的公共弦所在直线的方程？
[提示]　把两个圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．
即若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
课时分层作业(十二)　圆与圆的位置关系
一、选择题
1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
D　[x2－4x＋y2＝0 (x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0 (x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D．]
2．已知半径为1的动圆与定圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D　[动圆可能在定圆的外部，也可能在定圆的内部，根据题意知，动圆圆心的轨迹应是(x－5)2＋(y＋7)2＝16的同心圆，半径分别为3和5，故应选D．]
3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
B　[法一：由得两交点为(0，0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段长度为2，
∴＝2．
又a>0，∴a＝2．
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0，2)，半径r1＝2．
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1，1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝．
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1<|MN|<3，∴两圆相交．
法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0) x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴M(0，a)，r1＝a．
依题意，有＝，解得a＝2．
以下同法一．]
4．圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝4的公共弦所对的圆心角是(　　)
A．60° B．45°
C．120° D．90°
D　[圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2，0)，半径为r＝2．
圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为r＝2．
圆心距为d＝＝2，弦心距d′＝＝．
设公共弦所对的圆心角是2θ，则cos θ＝＝，
∴θ＝45°，∴2θ＝90°．故选D．]
5．已知⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且|AB|＝4，则⊙O1的方程为(　　)
A．(x－4)2＋y2＝20 B．(x－4)2＋y2＝50
C．(x－5)2＋y2＝20 D．(x－5)2＋y2＝50
C　[根据题意，⊙O的圆心O为(0，0)，半径为．
⊙O1的圆心O1(a，0)，半径为r．
∵⊙O与⊙O1相交于A，B两点，且两圆在A点处的切线互相垂直，
∴()2＋r2＝a2． ①
又由|AB|＝4，则×|OO1|＝×r，
即|a|＝r． ②
联立①②得5＋r2＝，解得r2＝20，a＝5．故⊙O1的方程为(x－5)2＋y2＝20．]
二、填空题
6．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是________．
x2＋y2－x＋y＋2＝0　[设所求圆的方程为 (x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0(λ≠－1)，将(3，1)代入，解得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0．]
7．已知两圆(x＋2)2＋(y－2)2＝4和x2＋y2＝4相交于M，N两点，则|MN|＝________．
2　[由题意可知直线MN方程为(x＋2)2＋(y－2)2－x2－y2＝0，即MN：x－y＋2＝0．圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，
则圆心(0，0)到x－y＋2＝0的距离d＝＝．
所以|MN|＝2＝2×＝2．]
8．过原点O作圆x2＋y2－4x－8y＋16＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为________．
x＋2y－8＝0　[把圆的方程化成标准方程(x－2)2＋(y－4)2＝4，
∴圆心为(2，4)，半径为2．圆心到原点的距离为＝2．∴切线长为＝4，
∴P，Q在以(0，0)为圆心，以4为半径的圆上，方程为x2＋y2＝16．
由
得x＋2y－8＝0．这就是PQ所在直线的方程．]
三、解答题
9．设半径为3 km的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A，B两人的速度一定，其比为3∶1，问A，B两人在何处相遇？
[解]　由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北为y轴的正方向，建立直角坐标系，设A，B两人的速度分别为3v km/h，v km/h，A出发a h，在P处改变方向，又经过b h到达相遇点Q，
则|PQ|＝3bv，|OP|＝3av，|OQ|＝(a＋b)v，
则P(3av，0)，Q(0，(a＋b)v)，
在Rt△OPQ中，由|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2，得(a＋b)(5a－4b)＝0，所以5a＝4b，
kPQ＝，∴kPQ＝－，
设直线PQ的方程为y＝－x＋c(c>0)，
即3x＋4y－4c＝0(c>0)．
由PQ与圆x2＋y2＝9相切，得＝3，
解得c＝，故A，B两人相遇在正北方离村落中心 km处．
10．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程．
[解]　由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0．
∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，
圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
圆心C1(－2，0)，C2(－1，－1)，
∴两圆心连线所在直线的方程为＝，即x＋y＋2＝0．
过两圆的交点的圆中面积最小的圆也就是以公共弦为直径的圆．
由得所求圆的圆心为(－1，－1)．
又圆心C1(－2，0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝＝，
∴所求圆的半径r＝＝1，
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1．
11．(多选题)已知直线y＝x＋b与曲线y＝3－，下列说法正确的是(　　)
A．b＝1±2时，直线与曲线有且仅有一个交点
B．－1＜b3时，直线与曲线有且仅有一个交点
C．1－2＜b－1时，直线与曲线有两个交点
D．b＞3或b＜1－2时，直线与曲线没有交点
BCD　[把y＝3－化成(x－2)2＋(y－3)2＝4，因为0x4，y3，所以曲线表示圆的下半部分，如图，C(2，3)，A(0，3)，B(4，3)．
当y＝x＋b过点A时，b＝3，直线与曲线有且仅有一个交点，当y＝x＋b过点B时，b＝－1，这时直线与曲线有两个交点，当y＝x＋b与曲线相切时，＝2，解得b＝1－2(b＝1＋2舍去)．
∴当b＞3或b＜1－2时，直线与曲线无交点；当－1＜b3或b＝1－2时，直线与曲线有且仅有一个交点；当1－2＜b－1时，直线与曲线有两个交点，故选BCD．]
12．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过(　　)
A．1.4米 B．3.5米
C．3.6米 D．2米
B　[建立如图所示的平面直角坐标系．设篷顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)所在圆的方程为x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入，得0.82＋h2＝3.62．
∴h＝≈3.5(米)．]
13．设直线l：y＝kx＋b(k>0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝________；b＝________．
　－　[由题意，C1，C2到直线的距离等于半径，即＝1，＝1，所以|b|＝，所以k＝0(舍)或者b＝－2k，解得k＝，b＝－．]
14．写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(写出其中任意一个即可)　[圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3，4)，半径r1为4，
两圆圆心距为＝5＝r＋r1，故两圆外切．
如图，当切线为l时，因为＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t＞0)，
O到l的距离d＝＝1，解得t＝，
所以l的方程为y＝－x＋．
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，
由题意解得所以m的方程为y＝x－．
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．]
15．如图，圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0．
(1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程；
(2)已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)．过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由题意得
得x2－(1＋a)x＋a＝0，
由题意得Δ＝(1＋a)2－4a＝(a－1)2＝0，
所以a＝1．
故所求圆C的方程为x2－2x＋y2－y＋1＝0．
(2)令y＝0，得x2－(1＋a)x＋a＝0，
即(x－1)(x－a)＝0，
所以M(1，0)，N(a，0)，假设存在实数a，
当直线AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
代入x2＋y2＝4得，(1＋k2)x2－2k2x＋k2－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，从而x1＋x2＝，x1x2＝．
因为直线NA，NB的斜率之和为
＝，
而(x1－1)(x2－a)＋(x2－1)(x1－a)
＝2x1x2－(a＋1)(x2＋x1)＋2a
＝2×－(a＋1)＋2a
＝，
因为∠ANM＝∠BNM，
所以＝0，
即＝0，得a＝4．
当直线AB与x轴垂直时，也成立．
故存在a＝4，
使得∠ANM＝∠BNM．
1 / 162.3　圆与圆的位置关系
学习任务 核心素养
1．理解圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点) 2．掌握圆与圆的位置关系的应用． 通过对圆与圆的位置关系的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养．
如图为在某地拍到的日环食全过程．
可以用两个圆来表示变化过程．
根据上图，结合平面几何知识，判断圆与圆的位置关系有几种？能否通过数量关系表示这些圆的位置关系？
知识点　圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 _________ _________ ________ ________ __________
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交． (　　)
(2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离． (　　)
(3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立． (　　)
(4)若两圆有公共点，则|r1－r2|dr1＋r2． (　　)
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　)
A．相离　　　B．相交　　　C．外切　　　D．内切
3．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝10相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
类型1　圆与圆的位置关系的判断
【例1】　【链接教材P68例1】
当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
(2)计算两圆圆心的距离d；
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
[跟进训练]
1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　两圆相切问题
【例2】　【链接教材P69例2】
(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值是________．
(2)求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
[思路探究]　(1)利用|C1C2|＝r1＋r2建立方程来求出m的值．
(2)分外切与内切两种情况，通过其他条件求出标准方程的三个参数值即可．
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
[跟进训练]
2．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　两圆相交问题
【例3】　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1)求两圆公共弦所在直线的方程；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
1．两圆相交时，如何求出公共弦所在直线的方程？
2．两圆公共弦长如何求得？
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变结论)在本例条件不变时，求两圆的公共弦长及公共弦的中垂线的方程．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(变结论)本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．求两圆公共弦长的方法
一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；
二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
1．(教材P71习题2.3T1改编)圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是(　　)
A．外离 B．外切
C．相交 D．内含
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
3．已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为________．
4．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：x2＋y2＝1，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为________．
5．(源自湘教版教材)已知圆C1：x2＋y2＋x＋2y－3＝0与圆C2：x2＋y2－6＝0相交，求经过圆C1与圆C2的两个交点的直线方程．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系，如何判断两个圆的位置关系？
2．如何求两圆的公共弦所在直线的方程？
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