资源简介

类型1　求圆的方程
1．求圆的方程的方法
求圆的方程主要是联立圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．
2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选择圆的方程的某一形式．
(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)．
(3)解出a，b，r(或D，E，F)．
(4)代入圆的方程．
【例1】　已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
[思路探究]　设标准方程，由相切可得d＝r，由圆心在直线上，可将(a，b)代入直线方程，由已知弦长可列出弦长公式．通过求解方程组，从而得到圆的方程．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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类型2　直线与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d，然后比较所求距离d与半径r的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系．
【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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类型3　圆与圆的位置关系
判断两圆位置关系的两种方法比较
(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系．
(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．
【例3】　已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0．
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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1 / 3类型1　求圆的方程
1．求圆的方程的方法
求圆的方程主要是联立圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．
2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选择圆的方程的某一形式．
(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)．
(3)解出a，b，r(或D，E，F)．
(4)代入圆的方程．
【例1】　已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
[思路探究]　设标准方程，由相切可得d＝r，由圆心在直线上，可将(a，b)代入直线方程，由已知弦长可列出弦长公式．通过求解方程组，从而得到圆的方程．
[解]　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由圆C与y轴相切，得|a|＝r，①
又圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，②
圆心C(a，b)到直线y＝x的距离为d＝，由于弦心距d，半径r及弦的一半构成直角三角形，∴2＋()2＝r2．③
联立①②③解方程组可得或
故圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9．
类型2　直线与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d，然后比较所求距离d与半径r的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系．
【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
[解]　圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5．
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y0＜7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1．
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1．
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2．
设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝．
因为BC＝OA＝＝2，
而MC2＝d2＋2，
所以25＝＋5，
解得m＝5或m＝－15．
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0．
类型3　圆与圆的位置关系
判断两圆位置关系的两种方法比较
(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系．
(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．
【例3】　已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0．
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
[解]　(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13．
圆心与半径长分别为C1(－2，2)，r1＝；
C2(4，－2)，r2＝．
因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2，
所以圆C1与圆C2相切．
由
得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程．
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为
x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0．
点(2，3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝．
所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，
即x2＋y2＋8x－y－9＝0．
章末综合测评(二)　圆与方程
(满分：150分　时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．圆心在x轴上，且过点(－1，－3)的圆与y轴相切，则该圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
C　[圆心在x轴上，且过点(－1，－3)的圆与y轴相切，
可设圆的方程为(x－a)2＋y2＝a2，再把点(－1，－3)代入，解得a＝－5，
故该圆的方程为(x＋5)2＋y2＝25，即x2＋y2＋10x＝0，故选C．]
2．圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　)
A． B．2
C．3 D．3
D　[将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝＝3．]
3．若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是(　　)
A．k>2 B．－3C．k<－3或k>2 D．以上都不对
C　[由题意知点在圆外，故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得k<－3或k>2．]
4．已知点P和圆C：x2＋y2＝4，则过点P且与圆C相切的直线方程是(　　)
A．x－y＝4 B．x＋y＝4
C．x－y＝4 D．x＋y＝4
B　[由题意知点P在圆上，kPC＝，则切线的斜率为－，所以切线方程为y－1＝－，即x＋y＝4．]
5．已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：x＋y＋2＝0，点P为l上一动点，过点P作圆O的切线PA，PB(切点为A，B)，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x－y＋＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y－＝0
C　[∵圆x2＋y2＝1的圆心为C(0，0)，半径r＝1，
当点P与圆心的距离最小时，切线长PA，PB最小，此时四边形PAOB的面积最小．
∴PO⊥直线l，
则PO的方程为x－y＝0，
联立
解得x＝y＝－1，
∴P(－1，－1)，
∴以OP为直径的圆的方程为2＋2＝，
即x2＋y2＋x＋y＝0，两圆方程相减可得x＋y＋1＝0．]
6．若直线l：x－y－＝0与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是(　　)
A． B．
C． D．
A　[由圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，
则圆心C(2，0)，半径r＝1，圆心C到直线l的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝1，
又原点O到直线l的距离h＝＝，
∴S△AOB＝|AB|·h＝×1×＝．]
7．若方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　)
A．45° B．135°
C．60° D．120°
B　[将圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化成标准方程，得＋(y＋1)2＝1－，
∴r2＝1－，
当圆取得最大面积时，k＝0，半径r＝1，
因此直线y＝(k－1)x＋2，即y＝－x＋2．
得直线的倾斜角α满足tan α＝－1，∴α＝135°．]
8．若P是直线l：3x＋4y－9＝0上一动点，过P作圆C：x2＋y2＋4x＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为(　　)
A． B．2
C． D．2
B　[圆C：(x＋2)2＋y2＝4，圆心为C(－2，0)半径|AC|＝r＝2，画出图象，如图所示．
因为直线与圆相切，所以∠PAC＝∠PBC＝90°，且△PAC≌△PBC，
所以四边形PACB面积S＝2S△PAC＝2×|AC|·|PA|＝2|PA|，
又|PA|＝＝，
所以当PC最小时，PA最小，四边形PACB的面积最小，
由图象可得，PC最小值即为点C到直线3x＋4y－9＝0的距离，
所以|PC|min＝＝3，
所以|PA|min＝＝，
所以四边形PACB面积的最小值
S＝2|PA|＝2，故选B．]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．过点P(3，4)作圆C：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是(　　)
A．|AB|＝
B．AB所在直线的方程为3x＋4y－4＝0
C．四边形PACB的外接圆方程为x2＋y2－3x－4y＝0
D．△PAB的面积为
BCD　[由题可得C(0，0)，半径r＝2，
对A：|CP|＝＝5，在Rt△CAP中，
cos ∠ACP＝＝，
∴sin ∠ACP＝＝，
∵AB⊥CP，∴sin ∠ACP＝，
∴|AB|＝2|CA|sin ∠ACP＝2×2×＝，故A错误；
对B：直线AB可看作已知圆与以AP为半径、P为圆心的圆的交线，x2＋y2＝4的圆心(0，0)，半径为2．
|AP|＝＝＝，以AP为半径、P为圆心的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝21，即x2＋y2－6x－8y＋4＝0，
将两圆的方程相减，得6x＋8y＝8即3x＋4y－4＝0．∴直线AB的方程是3x＋4y－4＝0，故B正确；
对C：∵PA⊥AC，PB⊥BC，所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆，PC的中点坐标，PC＝5，
所以四边形PACB的外接圆为2＋(y－2)2＝，即x2＋y2－3x－4y＝0，故C正确；
对D：点P到AB的距离d＝＝，则S△PAB＝|AB|·d＝＝，故D正确．]
10．已知点D，直线l：2kx－2y－k＋2＝0，圆C：x2＋y2－2x＝1，过点P(0，－2)分别作圆C的两条切线PA，PB(A，B为切点)，H在△ABC的外接圆上．则(　　)
A．直线AB的方程是x＋2y－1＝0
B．l被圆C截得的最短弦的长为
C．四边形PACB的面积为
D．DH的取值范围为
BD　[对于A，圆C的圆心坐标为C(1，0)，P(0，－2)，则PC的中点为T，
|PC|＝，则以PC为直径的圆的方程为x－2＋(y＋1)2＝，又圆C：x2＋y2－2x＝1，
两式作差，得直线AB的方程为x＋2y＋1＝0，故A错误；
对于B，令直线l与圆C相交的两点为M，N，直线l：2kx－2y－k＋2＝0可化为k(2x－1)－2y＋2＝0，
联立解得直线l恒过定点R，
且定点R在圆C内，当且仅当CR⊥MN时，弦长MN最短，又|CR|＝＝，
∴|MN|的最小值为2＝，故B正确；
对于C，四边形PACB的对角线AB，PC互相垂直，则四边形PACB的面积S＝|AB||PC|，
∵|AB|＝2＝，|PC|＝，
∴S＝＝，故C错误；
对于D，由题意知，△ABC的外接圆恰好是经过P，A，C，B四点的圆，
∵PC的中点T为外接圆的圆心，∴圆上的点H到点D距离最小值是|DT|－r＝＝，
最大值是|DT|＋r＝＝，
∴DH的取值范围为，故D正确．]
11．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
ACD　[设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜－4＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故CD都正确．]
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________．
(x－1)2＋(y＋1)2＝2　[∵圆C的圆心在直线x＋y＝0上，∴设圆C的圆心为(a，－a)，
又∵圆C与直线x－y＝0相切，
∴半径r＝＝．
又圆C在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，
圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴d2＋＝r2，即＝2a2，
解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．]
13．已知点Q是直线l：x＋y－4＝0上的动点，过点Q作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点 ________．
(1，1)　[根据题意，设Q(4－m，m)，又由QA，QB是圆O的切线，得OA⊥QA，OB⊥QB，
则AB是圆O与以QO为直径的两圆的公共弦，可得以QO为直径的圆的方程为＋2＝2＋2，
即x2－(4－m)x＋y2－my＝0，①
又圆O的方程为x2＋y2＝4，②
②－①，得(4－m)x＋my－4＝0，即m(y－x)＋4x－4＝0，则该直线必过点(1，1)．]
14．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，则实数m的值为________．
3　[∵x2＋y2＋x－6y＋m＝0，∴2＋(y－3)2＝－m，圆心C，半径r＝，所以圆心C(－，3)到直线x＋2y－3＝0距离为＝，
过圆心C且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为2x－y＋4＝0，
由 得PQ中点M坐标为(－1，2)，
因为OP⊥OQ，
所以OM2＝2＝r2－2，
∴1＋4＝－m－，∴m＝3．]
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)在①圆经过C，②圆心在直线x＋y－2＝0上，③圆截y轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解．
已知圆E经过点A，B且________；
(1)求圆E的方程；
(2)已知直线l经过点，直线l与圆E相交所得的弦长为8，求直线l的方程．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
[解]　选条件①，
(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
依题意有
解得D＝－6，E＝2，F＝－15，
所以圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0，
即圆E的标准方程为＋＝25．
(2)设圆心到直线的距离为d，
则弦长L＝2＝8 ＝4 d＝3，
当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在，
设其方程为y－2＝k，
即kx－y＋2k＋2＝0，
d＝＝3，
解得k＝0，k＝－，
所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0．
选条件②，
(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为圆E经过点A，B，且圆心在直线x＋y－2＝0上，
依题意有
解得D＝－6，E＝2，F＝－15，
所以圆E的方程为＋＝25．
(2)设圆心到直线的距离为d，
则弦长L＝2＝8 ＝4 d＝3，
当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在，
设其方程为y－2＝k，即kx－y＋2k＋2＝0，
d＝＝3，
解得k＝0，k＝－，
所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0．
选条件③，
(1)设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由圆E经过点A，B，
故 ，
又因为圆截y轴所得弦长为8，
故方程y2＋Ey＋F＝0的两个实数根y1，y2的差的绝对值为8．
所以＝＝＝8，即E2－4F＝64，
解方程组，
得D＝－6，E＝2，F＝－15或D＝－，E＝－，F＝，
由于圆心E的坐标为整数，
故圆E的方程为＋＝25．
(2)设圆心到直线的距离为d，
则弦长L＝2＝8 ＝4 d＝3，
当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在，
设其方程为y－2＝k，即kx－y＋2k＋2＝0，
d＝＝3，
解得k＝0，k＝－，
所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0．
16．(本小题满分15分) 已知直线l：x＋y＋2＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)相切，O为原点，A(－2，0)．
(1)若过点A的直线l1与圆C相交所得弦长等于4，求直线l1的方程；
(2)P为C上任意一点，求的值．
[解]　(1)由题知圆心C(2，0)，因为l与圆C相切，所以r＝＝2，
所以圆C：(x－2)2＋y2＝8．
设圆心C到l1的距离为d，
由题得d＝＝2，
设l1：y＝k(x＋2)，
所以d＝＝2，
解得k＝±，
所以l1：y＝±(x＋2)．
(2)设P，所以|PO|＝，|PA|＝，
所以＝，
因为＝8，
所以＝
＝＝．
17．(本小题满分15分)已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0与直线l：3x－4y－7＝0相交于M，N两点且|MN|＝2．
(1)求m的值；
(2)过点P作圆C的切线，切点为Q，再过P作圆C′：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1的切线，切点为R，若|PQ|＝|PR|，求|OP|的最小值(其中O为坐标原点)．
[解]　(1)化圆C为(x－2)2＋(y－1)2＝5－m＞0，
圆心到直线l的距离d＝＝1，
由题意，|MN|＝2＝2，
解得m＝1．
(2)设P(x，y)，由(1)得C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，
切线|PQ|＝
＝，
同理，切线|PR|＝
＝，
由
＝，
化简得到4x＋3y＋3＝0．
可知直线4x＋3y＋3＝0与两圆都无公共点，故P为直线上任意点都符合题意．
因此|OP|最小值即为原点到直线4x＋3y＋3＝0的距离，则|OP|min＝d＝＝．
18．(本小题满分17分)已知直线l：(m＋2)x＋(1－2m)y＋4m－2＝0与圆C：x2－2x＋y2＝0交于M，N两点．
(1)求出直线l恒过定点的坐标；
(2)求直线l的斜率的取值范围；
(3)若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，试问k1＋k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
[解]　(1)由直线l：(m＋2)x＋(1－2m)y＋4m－2＝0，
得m(x－2y＋4)＋(2x＋y－2)＝0，
联立
解得
∴直线l恒过定点(0，2)．
(2)由圆C：x2－2x＋y2＝0，知圆心C(1，0)，半径r＝1，
当直线l和圆C相切时，
＝1，
解得m＝或m＝－，
当m＝时，直线l方程x＝0，
当m＝－时，直线l方程3x＋4y－8＝0，
∴直线l与圆C相交时，直线l的斜率取值范围为．
(3)由(2)知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
联立得(1＋k2)x2＋(2kb－2)x＋b2＝0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
k1＋k2＝＝
＝
＝
＝2k＋b·
＝2k＋b·＝2k＋－2k＝．
由(1)可知，b＝2，则k1＋k2＝1，
∴k1＋k2是定值，定值为1．
19．(本小题满分17分)
如图，已知圆C1：＋＝2，圆C2：＋＝5，过原点O的直线l与圆C1，C2的交点依次是P，O，Q．
(1)若＝2，求直线l的方程；
(2)若线段的中点为M，求点M的轨迹方程．
[解]　(1)设直线l的方程为y＝kx，C1，C2到直线l的距离为d1，d2．
由条件＝，即＝3，
所以4×－＝3，
整理得k2－4k＝0，解得k＝0或k＝4，
所以直线l的方程为y＝0或y＝4x．
(2)设l：y＝kx．则由
消去y，得x2＋x＝0，
解得x1＝0，x2＝－．其中k≠－2，
所以Q，
由
消去y，得x2＋x＝0，
解得x3＝0，x4＝，其中k≠1，所以P，
设M，则
将k＝代入①式消去k，得x2＋y2＋x＋2y＝0，又k≠1且k≠－2，
将k＝1，k＝－2代入①②求得和，
故点M的轨迹方程为x2＋y2＋x＋2y＝0(挖去点和)．
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