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3.1　椭圆
3.1.1　椭圆的标准方程
学习任务 核心素养
1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1．通过对椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算的核心素养． 2．借助对轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象的核心素养．
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
知识点1　椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
[提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2．
(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
知识点2　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c，0)与(c，0) 与
a，b，c的关系 b2＝a2－c2
1．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
C　[由条件知，焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，所以b2＝a2－c2＝36，所以椭圆的标准方程为＝1．]
2．方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
(－6，－2)∪(3，＋∞)　[由a2＞a＋6＞0，得a＞3或－6＜a＜－2．]
类型1　求椭圆的标准方程
【例1】　【链接教材P83例1、例2】
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3)；
(3)经过两点(2，－)，．
[解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＝1．
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
法一：由椭圆的定义知2a＝＝12，解得a＝6．又c＝2，所以b＝＝4．
所以椭圆的标准方程为＝1．
法二：因为所求椭圆过点(4，3)，所以＝1．
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32．
所以椭圆的标准方程为＝1．
(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得解得
则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＝1．
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
【教材原题·P83例1、例2】
例1　已知椭圆的两个焦点分别是F1(－3，0)，F2(3，0)，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程．
[解]　因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由已知得2a＝10，即a＝5．
又因为椭圆的两个焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)，所以c＝3，从而b2＝a2－c2＝52－32＝16．
因此，所求椭圆的标准方程为＝1．
例2　已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且该椭圆经过点(2，－2)，求椭圆的标准方程．
解法1：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且点(2，－2)在椭圆上，所以由椭圆的定义知2a＝＋＝8，
所以a＝4．
又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－8＝8．
因此，所求椭圆的标准方程为＝1．
解法2：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，所以c＝2，
从而a2－b2＝c2＝8． ①
又因为点(2，－2)在椭圆上，
所以＝1． ②
由①②解得a2＝16，b2＝8．
因此，所求椭圆的标准方程为＝1．
　用待定系数法求椭圆的标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
[跟进训练]
1．求与椭圆＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程．
[解]　法一：因为所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16．
设所求椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16．　①
又点(3，)在所求椭圆上，所以＝1，
即＝1．②
由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＝1．
法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为＝1．
又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．
故所求椭圆的标准方程为＝1．
类型2　椭圆中的焦点三角形
【例2】　(1)已知椭圆＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝(　　)
A．3∶5　　B．3∶4　　C．5∶3　　D．4∶3
(2)已知在椭圆＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
(1)C　(2)　　[(1)依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有|PF1|2－|PF2|2＝4c2＝16，又根据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝8，
所以|PF1|－|PF2|＝2，
从而|PF1|＝5，|PF2|＝3，
即|PF1|∶|PF2|＝5∶3．
(2)由＝1，
可知a＝2，b＝，
所以c＝＝1，
从而|F1F2|＝2c＝2．
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝－2|PF1| |F1F2|cos ∠PF1F2，
即|PF2|2＝|．　①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4．　②
由①②联立可得|PF1|＝．
所以＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝×2×＝．]
[母题探究]
1．(变条件)本例(2)中，把“∠PF1F2＝120°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△PF1F2的面积．
[解]　由椭圆方程＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°．
∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝，
因此＝·|F1F2|·|PF1|＝．
故所求△PF1F2的面积为．
2．(变条件、变结论)本例(2)中方程改为＝1(a＞b＞0)，且把“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝120°”．若△PF1F2的面积为，求b的值．
[解]　由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为，可得|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝，∴|PF1|·|PF2|＝4．根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a．再利用余弦定理可得4c2＝＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－4，
∴b2＝1，即b＝1．
　椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a．
(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无须单独求解．
类型3　与椭圆有关的轨迹问题
【例3】　(1)已知P是椭圆＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．
(2)如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．
(1)x2＋＝1　[设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＝1，
所以＝1，即x2＋＝1．]
(2)[解]　由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，
∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，
∴|CM|＋|MA|＝5．
∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1，0)，A(1，0)，∴a＝，c＝1，∴b2＝a2－c2＝－1＝．
∴所求点M的轨迹方程为＝1，
即＝1．
　1．求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．
2．对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛运用，是一种重要的解题方法．
3．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法)．
[跟进训练]
2．已知x轴上一定点A(1，0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．
[解]　设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．
利用中点坐标公式，
得∴
∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，
＝1．
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，
得＋(2y)2＝1．
故所求AQ的中点M的轨迹方程是＋4y2＝1．
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8
D　[根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8．]
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　[椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知解得k＝2．]
3．若方程＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．
　[由方程＝1表示椭圆，得解得m＞且m≠1．]
4．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为________．
＝1　[如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3．
又∵c＝4，
∴a2＝b2＋c2＝25．
∴椭圆的标准方程为＝1．]
5．设F1，F2分别是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
[解]　∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，
∴2a＝4，a2＝4，
∵点是椭圆上的一点，
∴＝1，
∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为＝1．
焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．椭圆的标准方程是什么？
[提示]　焦点在x轴上：＝1(a＞b＞0)，
焦点在y轴上：＝1(a＞b＞0)．
2．方程＝1一定表示椭圆吗？
[提示]　对于方程＝1，当m＞n＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
当n＞m＞0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．
特别地，当n＝m＞0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程不是标准方程，需先进行转化．
3．求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有哪些方法？
[提示]　定义法、直接法和代入法(相关点法)．
倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆
在化学课上，你一定有注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆形的．你知道怎样利用有关的数学知识证明这一点吗？
如图所示，假设平面α与圆柱相交，而且平面α不与圆柱的轴垂直，我们需要证明的是：平面α与圆柱表面的交线C是一个椭圆．
取半径与圆柱底面半径相同的两个球，从平面α的两侧放入圆柱内(这两个球称为圆柱面的两个内切球)，并使得两个球都与平面α相切，切点分别为F1，F2．
设P为交线C上任意一点，过P作圆柱的母线，分别与两个球相切于A，B．可以看出，PF1与PA是同一个球的两条切线，PF2与PB也是同一个球的两条切线，因此
|PF1|＝|PA|，|PF2|＝|PB|，从而
|PF1|＋|PF2|＝|PA|＋|PB|＝|AB|，
又因为AB的值是不变的，因此P到F1与F2的距离之和是一个常数，且|AB|＞|F1F2|，这就证明了C是一个椭圆．
课时分层作业(十三)　椭圆的标准方程
一、选择题
1．“a＞0，b＞0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的(　　)
A．充要条件
B．充分非必要条件　
C．必要非充分条件
D．既不充分也不必要条件
C　[a＞0，b＞0时，方程ax2＋by2＝1不一定表示椭圆，如a＝b＝1；
反之，若方程ax2＋by2＝1表示椭圆，则a＞0，b＞0．
∴“a＞0，b＞0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的必要非充分条件．]
2．已知椭圆＝1的一个焦点为F(－，0)，则这个椭圆的方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
C　[∵椭圆＝1的一个焦点为F(－，0)，
∴b2＝2，c＝，∴a2＝b2＋c2＝3＋2＝5，
∴椭圆方程为＝1．]
3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|＝2|F1F2|－|PF2|，则椭圆C的标准方程为(　　)
A．＝1
B．＝1或＝1
C．＝1
D．＝1或＝1
B　[∵2c＝|F1F2|＝2，∴c＝．
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2．
∴b2＝a2－c2＝9．
故椭圆C的标准方程是＝1或＝1．]
4．设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)
A．5 B．4
C．3 D．1
B　[由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B．]
5．已知P为椭圆＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5 B．7
C．13 D．15
B　[由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7．]
二、填空题
6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．
＝1　[由题意知解得则b2＝a2－c2＝3，故椭圆的标准方程为＝1．]
7．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)，B(4，0)，点C在椭圆＝1上，则＝________．
　[由题意知|AB|＝8，|AC|＋|BC|＝10，所以＝＝＝．]
8．已知P是椭圆＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积是________．
8－4　[由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2．
又由椭圆的定义，知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝2．
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且经过点P，求椭圆的标准方程．
[解]　法一：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
根据椭圆的定义知
2a＝
＝
＝2，
从而a＝．
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6．
所以椭圆的标准方程为＝1．
法二：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
因为点P在椭圆上，又c＝2，所以
解得b2＝6或b2＝－(舍)，
则a2＝10．
所以椭圆的标准方程为＝1．
10．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．求C的方程．
[解]　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3．
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R．因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2．
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，则a＝2，c＝1，故b2＝a2－c2＝4－1＝3，故所求C的方程为＝1(x≠－2)．
11．(多选题)下列说法中错误的是(　　)
A．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆
ABD　[A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5，3)到F1，F2两点的距离之和为＝4＞|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选ABD．]
12．若α∈0，，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是(　　)
A． B．0，
C．0， D．
A　[易知sin α≠0，cos α≠0，方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＝1．因为椭圆的焦点在y轴上，所以＞＞0，即sin α＞cos α＞0．
又α∈0，，
所以＜α＜．]
13．已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝______．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是______．
120°　2　[由题得a2＝9，b2＝2，∴a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，∴c＝，
∴|F1F2|＝2．
∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2．
∴cos ∠F1PF2＝
＝＝－，又0＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝120°．
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2)2＝28，
配方得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝28，
∴36－2|PF1||PF2|＝28，即|PF1||PF2|＝4，
＝|PF1||PF2|＝2．]
14．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为________．
＝1　[由题可知，c＝2，
过点P作PM垂直x轴于M(图略)，设|OM|＝t，则|FM|＝2－t，
由勾股定理知，|PM|2＝|OP|2－|OM|2＝|PF|2－|FM|2，即(2)2－t2＝42－(2－t)2，
解得t＝，
∴|PM|＝＝，
∴点P的坐标为，
设椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，则＝1，化简得＝1，
又a2＝b2＋c2＝b2＋20，∴a2＝36，b2＝16，
∴椭圆的标准方程为＝1．]
15．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的焦点分别是，F2(0，1)，且3a2＝4b2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
[解]　(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，
所以a2－a2＝1，即a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，
故椭圆的标准方程为＝1．
(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4．又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝，|PF2|＝．又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝．
故∠F1PF2的余弦值等于．
1 / 163.1　椭圆
3.1.1　椭圆的标准方程
学习任务 核心素养
1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1．通过对椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算的核心素养． 2．借助对轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象的核心素养．
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
知识点1　椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于________________的点的轨迹叫作椭圆，______________叫作椭圆的焦点，________________叫作椭圆的焦距．
(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
知识点2　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 _______________ ＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c，0)与(c，0) __________与___________
a，b，c的关系 b2＝______
1．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
类型1　求椭圆的标准方程
【例1】　【链接教材P83例1、例2】
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3)；
(3)经过两点(2，－)，．
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　用待定系数法求椭圆的标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
[跟进训练]
1．求与椭圆＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程．
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类型2　椭圆中的焦点三角形
【例2】　(1)已知椭圆＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝(　　)
A．3∶5　　B．3∶4　　C．5∶3　　D．4∶3
(2)已知在椭圆＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变条件)本例(2)中，把“∠PF1F2＝120°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△PF1F2的面积．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(变条件、变结论)本例(2)中方程改为＝1(a＞b＞0)，且把“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝120°”．若△PF1F2的面积为，求b的值．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a．
(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无须单独求解．
类型3　与椭圆有关的轨迹问题
【例3】　(1)已知P是椭圆＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．
(2)如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．
2．对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛运用，是一种重要的解题方法．
3．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法)．
[跟进训练]
2．已知x轴上一定点A(1，0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．
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1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．若方程＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．
4．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为________．
5．设F1，F2分别是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
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_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．椭圆的标准方程是什么？
2．方程＝1一定表示椭圆吗？
3．求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有哪些方法？
倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆
在化学课上，你一定有注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆形的．你知道怎样利用有关的数学知识证明这一点吗？
如图所示，假设平面α与圆柱相交，而且平面α不与圆柱的轴垂直，我们需要证明的是：平面α与圆柱表面的交线C是一个椭圆．
取半径与圆柱底面半径相同的两个球，从平面α的两侧放入圆柱内(这两个球称为圆柱面的两个内切球)，并使得两个球都与平面α相切，切点分别为F1，F2．
设P为交线C上任意一点，过P作圆柱的母线，分别与两个球相切于A，B．可以看出，PF1与PA是同一个球的两条切线，PF2与PB也是同一个球的两条切线，因此
|PF1|＝|PA|，|PF2|＝|PB|，从而
|PF1|＋|PF2|＝|PA|＋|PB|＝|AB|，
又因为AB的值是不变的，因此P到F1与F2的距离之和是一个常数，且|AB|＞|F1F2|，这就证明了C是一个椭圆．

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