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3.1.2　椭圆的几何性质
第1课时　椭圆的几何性质
学习任务 核心素养
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点) 2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点) 1．通过对椭圆性质的学习与应用，培养数学运算的核心素养． 2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养．
奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处．当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)，所以能产生很好的听觉效果．其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？
知识点1　椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＝1(a＞b＞0) (a>b>0)
范围 __________ __________
对称性 对称轴为______，对称中心为____
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长|B1B2|＝__，长轴长|A1A2|＝__， 其中a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长
焦点 ______________________ ________________________
焦距 |F1F2|＝__
1．经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0，)，则椭圆的标准方程是________．
知识点2　离心率
(1)定义：焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为e．
(2)性质：离心率e的范围是__________．当e越接近于1时，椭圆____；当e越接近于_时，椭圆就越接近于圆．
离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？
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类型1　由椭圆方程研究几何性质
【例1】　【链接教材P89例1】
(1)椭圆＝1(a＞b＞0)与椭圆＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　)
A．相同的焦点　　　　　　 B．相同的顶点
C．相同的离心率 D．相同的长、短轴
[尝试解答]　_________________________________________________________
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(2)求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变条件)本例(1)中把方程“＝λ(λ＞0且λ≠1)”改为“＝1(λ≠0)”，结果会怎样呢？
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2．(变条件)本例(2)中，把方程改为“16x2＋9y2＝144”，结果又会怎样呢？
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　由标准方程研究性质时的两点注意
(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不分别是a，b，c，而应分别是2a，2b，2c．
类型2　由几何性质求椭圆的方程
【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同的离心率．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，由轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
[跟进训练]
已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．
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类型3　求椭圆的离心率
【例3】　设椭圆＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·＝0，求椭圆的离心率e的取值范围．
题中的条件“·＝0”如何转化？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变条件)本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等边三角形”，求椭圆的离心率．
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2．(变条件)本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率．
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3．(变条件)本例中把条件“使·＝0”改为“使∠F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围．
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　求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
1．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　)
A．＝1　　　　　　　 B．＋y2＝1
C．＝1 D．x2＋＝1
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
3．若焦点在y轴上的椭圆＝1的离心率为，则m的值为________．
4．已知椭圆的两焦点为F1，F2，A为椭圆上一点，且·＝0，∠AF2F1＝60°，则该椭圆的离心率为________．
5．已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
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回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．椭圆的几何性质包括哪些？
2．根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本思路是什么？3.1.2　椭圆的几何性质
第1课时　椭圆的几何性质
学习任务 核心素养
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点) 2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点) 1．通过对椭圆性质的学习与应用，培养数学运算的核心素养． 2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养．
奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处．当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)，所以能产生很好的听觉效果．其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？
知识点1　椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＝1(a＞b＞0) (a>b>0)
范围 －axa且－byb －bxb且－aya
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a， 其中a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
1．经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
A　[由题易知点P(3，0)，Q(0，2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为＝1．]
2．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0，)，则椭圆的标准方程是________．
x2＋＝1　[依题意得2a＝4b，c＝，又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，故椭圆的标准方程为x2＋＝1．]
知识点2　离心率
(1)定义：焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为e．
(2)性质：离心率e的范围是．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．
离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？
[提示]　不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度．
类型1　由椭圆方程研究几何性质
【例1】　【链接教材P89例1】
(1)椭圆＝1(a＞b＞0)与椭圆＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　)
A．相同的焦点　　　　　　 B．相同的顶点
C．相同的离心率 D．相同的长、短轴
(2)求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
(1)C　[在两个方程的比较中，端点a，b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C．]
(2)[解]　把已知方程化成标准方程为＝1，
知椭圆的焦点在x轴上，
所以a＝4，b＝3，c＝＝，
所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；
离心率e＝＝；
两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)；
四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．
[母题探究]
1．(变条件)本例(1)中把方程“＝λ(λ＞0且λ≠1)”改为“＝1(λ≠0)”，结果会怎样呢？
[解]　由于a＞b，所以方程＝1中，c2＝(a2＋λ)－(b2＋λ)＝a2－b2．
焦点与＝1(a＞b＞0)的焦点完全相同．
而因长轴长，短轴长发生了变化，所以顶点、离心率、长轴长、短轴长均变化．]
2．(变条件)本例(2)中，把方程改为“16x2＋9y2＝144”，结果又会怎样呢？
[解]　把方程16x2＋9y2＝144化为标准形式得＝1．
知椭圆的焦点在y轴上，
这里a2＝16，b2＝9，
所以c2＝16－9＝7，
所以椭圆16x2＋9y2＝144的长轴长为2a＝2×4＝8，短轴长为2b＝2×3＝6，
离心率：e＝＝，焦点坐标：(0，)，(0，－)，
顶点坐标：(0，－4)，(0，4)，(－3，0)，(3，0)．
【教材原题·P89例1】
求椭圆＝1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
分析：由椭圆的标准方程＝1可以知道a＝5，b＝3，则椭圆位于四条直线x＝±5，y＝±3所围成的矩形内．又椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出在第一象限内的图形就可画出整个椭圆．
[解]　根据椭圆的方程＝1，得a＝5，b＝3，c＝＝4，
所以，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，离心率e＝＝，焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，顶点为A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)．
将方程变形为y＝±，根据y＝算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示)：
x 0 1 2 3 4 5
y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0
先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(图3-1-5)．
　由标准方程研究性质时的两点注意
(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不分别是a，b，c，而应分别是2a，2b，2c．
类型2　由几何性质求椭圆的方程
【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同的离心率．
[解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3．
∴椭圆的方程为＝1．
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，解得a2＝27．
∴椭圆的方程为＝1．
∴所求椭圆的方程为＝1或＝1．
(2)设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为＝1．
(3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＝1或＝1．
将点M(1，2)代入椭圆方程得
＝1或＝1，
解得b2＝或b2＝3．
故所求椭圆的方程为＝1或＝1．
法二：设所求椭圆方程为＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＝k1或＝k2，解得k1＝，k2＝，故＝或＝，即所求椭圆的标准方程为＝1或＝1．
　利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，由轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
[跟进训练]
已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．
[解]　法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋y2＝1．
若椭圆的焦点在y轴上，则设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为＝1．
综上所述，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＝1．
法二：设椭圆方程为＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则由题意得或
解得或
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1或＝1．
类型3　求椭圆的离心率
【例3】　设椭圆＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·＝0，求椭圆的离心率e的取值范围．
题中的条件“·＝0”如何转化？
[提示]　由条件·＝0，知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解．
[解]　由题意知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2＋y2＝c2上．
又点P在椭圆上，所以圆x2＋y2＝c2与椭圆＝1有公共点．
连接OP(图略)，则易知0＜bc＜a，
所以b2c2＜a2，即a2－c2c2＜a2．
所以c2＜a2，所以e＜1．所以e∈．
[母题探究]
1．(变条件)本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等边三角形”，求椭圆的离心率．
[解]　当△PF1F2为等边三角形时，即|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|，又|PF1|＝a，∴a＝2c，故离心率e＝＝．
2．(变条件)本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率．
[解]　当△PF1F2为等腰直角三角形时，
∠F1PF2＝90°，
这时|F1F2|＝|PF1|，
即2c＝a，
∴离心率e＝＝．
3．(变条件)本例中把条件“使·＝0”改为“使∠F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围．
[解]　由题意，知c＞b，∴c2＞b2．
又b2＝a2－c2，∴c2＞a2－c2，
即2c2＞a2．∴e2＝＞，
∴e＞．
故椭圆的离心率的取值范围为．
　求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
1．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　)
A．＝1　　　　　　　 B．＋y2＝1
C．＝1 D．x2＋＝1
A　[依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＝1．]
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
D　[右焦点为F(1，0)，说明椭圆的焦点在x轴上，且c＝1．
又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＝1．]
3．若焦点在y轴上的椭圆＝1的离心率为，则m的值为________．
　[由题意知04．已知椭圆的两焦点为F1，F2，A为椭圆上一点，且·＝0，∠AF2F1＝60°，则该椭圆的离心率为________．
－1　[∵·＝0，∴AF1⊥AF2，
设|F1F2|＝2c，且∠AF2F1＝60°，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝c．
由椭圆定义知：c＋c＝2a，即(＋1)c＝2a．
∴e＝＝＝－1．]
5．已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
[解]　(1)由椭圆C1：＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e＝．
(2)椭圆C2：＝1．
性质：①范围：－8x8，－10y10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；
④离心率：e＝．
⑤焦点坐标分别为(0，6)，(0，－6)．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．椭圆的几何性质包括哪些？
[提示]　包括椭圆的范围、对称性、长轴与短轴、焦距、离心率等．
2．根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本思路是什么？
[提示]　其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．
课时分层作业(十四)　椭圆的几何性质
一、选择题
1．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝(　　)
A． B．
C．2 D．4
D　[将椭圆方程化为标准形式为x2＋＝1，
所以长轴长为2，短轴长为2，
由题意得2＝2×2，解得m＝4．]
2．椭圆＝1与＝1(0A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
D　[由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．]
3．已知椭圆x2＋＝1(b＞0)的离心率为，则b等于(　　)
A．3 B．
C． D．
B　[易知b2＋1＞1，由题意得＝＝，解得b＝或b＝－(舍去)，故选B．]
4．如图所示，把椭圆＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝(　　)
A．35 B．30
C．25 D．20
A　[设椭圆右焦点为F′(图略)，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35．]
5．已知O是坐标原点，F是椭圆＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos ∠MON的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
B　[由题意，a2＝4，b2＝3，故c＝＝＝1．
不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以＝1，解得y0＝±，
所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝＝．
由余弦定理知cos ∠MON＝＝＝－．]
二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．
　[如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝．]
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5，4)，则椭圆的标准方程为________．
＝1　[∵e＝＝，∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2，即4a2＝5b2．
设椭圆的标准方程为＝1(a＞0)，
∵椭圆过点P(－5，4)，∴＝1．
解得a2＝45．∴椭圆的标准方程为＝1．]
8．过椭圆＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．
4，3　[过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＝1，得＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为；
(2)经过点P(－6，0)和Q(0，8)．
[解]　(1)由已知2a＝12，e＝＝，
得a＝6，c＝4，
从而b2＝a2－c2＝20．
所以椭圆的标准方程为＝1．
(2)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，
于是有b＝6，a＝8．
又因为短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为＝1．
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
[解]　根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)．
依题意设点A的坐标为，则点B的坐标为，所以|AB|＝．
由△ABF2是正三角形，得2c＝，即b2＝2ac．
又因为b2＝a2－c2，所以a2－c2－2ac＝0，两边同除以a2，得2＋2·＝0，解得e＝＝(负值舍去)．
11．(多选题)
如图，椭圆C1：＋y2＝1和C2：＋x2＝1的交点依次为A，B，C，D．则下列说法正确的是(　　)
A．四边形ABCD为正方形
B．阴影部分的面积大于3　
C．阴影部分的面积小于4　
D．四边形ABCD的外接圆方程为x2＋y2＝2
ABC　[根据曲线的对称性，可知四边形ABCD为正方形，选项A正确；
联立椭圆方程可得
A，B，C，D，
正方形ABCD的面积为3，所以阴影部分的面积大于3，选项B正确；
由直线x＝±1，y＝±1 围成的正方形的面积为4，所以阴影部分的面积小于4，选项C正确；
四边形ABCD的外接圆方程为x2＋y2＝，选项D错误．]
12．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　)
A．＝1　　　　 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
B　[因为离心率e＝＝＝，解得＝，b2＝a2，
A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，B为上顶点，所以B(0，b)．
所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为·＝－1，
所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，
故椭圆C的方程为＝1．
故选B．]
13．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．若点P为椭圆上任意一点，则·的取值范围是________．
＝1　[0，12]　[因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2．
因为离心率e＝，所以c＝1，b＝＝，
则椭圆的方程为＝1，
所以点A的坐标为(－2，0)，点F的坐标为(－1，0)．
设P(x，y)，则·＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2．
由椭圆的方程，得y2＝3－x2，
所以·＝x2＋3x－x2＋5＝(x＋6)2－4．
因为x∈[－2，2]，所以·∈[0，12]．]
14．已知点A，B分别是椭圆＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．则点P的坐标为________；设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，则椭圆上的点到点M的距离d的最小值________．
　　[(1)由已知可得A(－6，0)，B(6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6．
由于y>0，所以只能取x＝，于是y＝．
所以点P的坐标是．
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0．
设点M的坐标是(m，0)，
则M到直线AP的距离是，又B(6，0)，
于是＝|m－6|，
又－6m6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝＋15，
由于－6x6，所以当x＝时，d取最小值为．]
15．设F1，F2分别是椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|．
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos ∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
[解]　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1．
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义，得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8．
故|AF2|＝8－3＝5．
(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，
|AB|＝4k．
由椭圆定义，得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．
在△ABF2中，由余弦定理，得|AB|2＝－2|AF2|·|BF2|·cos ∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k＞0，故a＝3k．
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k．
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝．
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