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3.2　双曲线
3.2.1　双曲线的标准方程
学习任务 核心素养
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过对双曲线概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过对双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养．
做下面一个实验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
知识点1　双曲线的定义
文字语言 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹
符号语言 |PF1－PF2|＝常数(0＜常数＜F1F2)
焦点 两个定点F1，F2
焦距 两个焦点间的距离
(1)在双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)在双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M的轨迹为双曲线的右支．
知识点2　双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 (a＞0，b＞0)
焦点 F1，F2 F1，F2
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
1．双曲线＝1的焦距为(　　)
A．3 B．4
C．3 D．4
D　[c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4．]
2．已知方程＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________．
(－∞，－2)　[由双曲线标准方程的特点知2＋m＜0且－(m＋1)＞0，解得m＜－2．即m的取值范围为(－∞，－2)．]
类型1　求双曲线的标准方程
【例1】　【链接教材P97例1、例2】
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9．所以所求双曲线的标准方程为＝1．
(2)法一：设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
∵焦点相同，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．①
∵双曲线经过点(3，2)，∴＝1．②
由①②得a2＝12，b2＝8，
∴所以双曲线的标准方程为＝1．
法二：设所求双曲线的方程为＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，
∴＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所以双曲线的标准方程为＝1．
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0．
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
∴所以双曲线的标准方程为＝1．
【教材原题·P97例1、例2】
例1　已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程．
[解]　由题意可设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)．
因为2a＝8，c＝5，所以a＝4，b2＝c2－a2＝52－42＝9．
故所求双曲线的标准方程为＝1．
例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，b＝4，焦点在x轴上；
(2)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上．
[解]　(1)依题意a＝3，b＝4，且焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为＝1．
(2)因为焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)．
由a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，可得解得b2＝16．
因此，所求双曲线的标准方程为＝1．
　1．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
2．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程＝1或＝1(a，b均为正数)，再根据条件求出待定的系数，然后将其代入方程即可．
提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0．
[跟进训练]
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)以椭圆＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；
(2)焦距为2，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上；
(3)焦点为(0，－6)，(0，6)，且过点A(－5，6)．
[解]　(1)依题意得，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝5．
所以所求双曲线的标准方程为＝1．
(2)因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设双曲线的标准方程为＝1，0＜a2＜6．
又因为过点(－5，2)，所以＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍去)．
所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1．
(3)法一：由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5，6)在双曲线上，所以2a＝||＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20．
所以所求双曲线的标准方程为＝1．
法二：因为焦点在y轴上，所以双曲线方程可以设为＝1．
由题意知
解得a2＝16，b2＝20．
所以所求双曲线的标准方程为＝1．
类型2　双曲线的焦点三角形
【例2】　(1)在△ABC中，A(－5，0)，B(5，0)，点C在双曲线＝1上，则＝(　　)
A．　　　B．±　　　C．－　　　D．±
(2)已知F1，F2分别是双曲线＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32．试求△F1PF2的面积．
1．对如何运用？
[提示]　结合三角形中正弦定理及双曲线的定义进行转化解题．
2．如何把条件“|PF1|·|PF2|＝32”与所求“△F1PF2的面积”联系起来？
[提示]　在焦点三角形F1PF2中，运用余弦定理和双曲线的定义，以及三角形面积公式．
(1)D　[在△ABC中，sin A＝，sin B＝，sin C＝＝(其中R为△ABC外接圆的半径)．
∴＝＝．
又∵|BC|－|AC|＝±8，
∴＝±＝±．]
(2)[解]　由双曲线的标准方程＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5．
因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100．
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos ∠F1PF2＝
＝＝0，
所以∠F1PF2＝90°，
所以＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16．
[母题探究]
1．(变条件，变结论)若本例(2)中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10．求点P到F2的距离．
[解]　由双曲线的标准方程＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5．
由双曲线定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
∴|10－|PF2||＝6，
解得|PF2|＝4或|PF2|＝16．
2．(变条件)若本例(2)条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
[解]　由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
||PF2|－|PF1||＝6，可知|PF2|＝10，|PF1|＝＝×4×4＝8．
3．(变条件)本例(2)中，将条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
[解]　由＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5．
由定义和余弦定理，得|PF1|－|PF2|＝－6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝64，
＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝×64×＝16．
　求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式＝求得面积．
(2)利用公式＝×|F1F2|×|yP|求得面积．
类型3　与双曲线有关的轨迹问题
【例3】　如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
[解]　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，
∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|．
由双曲线的定义，知点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为＝1(x>a)，
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6．
即所求轨迹方程为＝1(x>)．
　求解与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
(1)建立恰当的坐标系，列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
[跟进训练]
2．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解]　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1．
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4．
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|．
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝．
故动圆圆心M的轨迹方程为＝．
类型4　双曲线在实际问题中的应用
【例4】　【链接教材P98例3】
某地发生地震，为了援救灾民，救援队在如图所示的P处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA，PB运送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程．
[解]　灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样近．依题意，知界线是第三类点的轨迹．
设M为界线上的任一点，
则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，
即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)．
因为|AB|＝＝50>50，
所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．
如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)．
因为a＝25，c＝25，
所以b2＝c2－a2＝3 750．
故双曲线的标准方程为＝1．
注意到点C的坐标为(25，60)，
故y的最大值为60，此时x＝35．
故界线的曲线方程为＝1(25x35，0y60)．
【教材原题·P98例3】
已知A，B两地相距800 m，一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2 s，设声速为340 m/s．
(1)爆炸点在什么曲线上？
(2)求这条曲线的方程．
[解]　(1)设M为爆炸点，由题意得MA－MB＝340×2＝680．
因为爆炸点离A点比离B点距离更远，所以爆炸点在以A，B为焦点且距B较近的双曲线的一支上(图3-2-3)．
(2)如图3-2-3，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy．设M(x，y)为曲线上任一点．
由MA－MB＝680，得2a＝680，即a＝340．
由AB＝800，得2c＝800，即c＝400，
所以b2＝c2－a2＝44 400．
因为MA－MB＝680＞0，
所以x＞0．
因此，所求曲线的方程为
＝1(x＞0)．
　利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题．
注意：①解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用；
②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围．
[跟进训练]
3．如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到B地的距离远2 km．现要在河岸PQ上选一处M建码头，向B，C两地转运货物．经测算，修建公路的费用是a万元/km，求修建这两条公路的总费用最低是多少．
[解]　以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)．根据题意，得C(3，)，A(－2，0)．
因为|MA|－|MB|＝2<|AB|，
所以点M的轨迹是双曲线x2－＝1的右支．
总费用为a|MB|＋a|MC|＝a(|MB|＋|MC|)．
因为|MB|＋|MC|＝|MA|－2＋|MC|≥|AC|－2＝2－2，当M，A，C三点共线时，等号成立，
所以总费用最低为(2－2)a万元．
1．以椭圆＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是(　　)
A．－y2＝1 B．y2－＝1
C．＝1 D．＝1
B　[椭圆＝1的焦点为F1(0，1)，F2(0，－1)，长轴的端点A1(0，2)，A2(0，－2)，所以对于所求双曲线a＝1，c＝2，b2＝3，焦点在y轴上，双曲线的方程为y2－＝1．]
2．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C　[方程＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程＝1表示双曲线，所以“mn＜0”是“方程＝1表示双曲线”的充要条件．]
3．已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，则k的值为________．
±6　[若焦点在x轴上，则方程可化为＝1，所以＋k＝32，解得k＝6；
若焦点在y轴上，则方程可化为＝1，所以－k＋＝32，
即k＝－6．
综上所述，k的值为6或－6．]
4．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________．
4　[在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4．]
5．已知双曲线与椭圆＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程．
[解]　因为椭圆＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，A点的坐标为(，4)或(－，4)，
设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
所以解得
所以所求双曲线的标准方程为＝1．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．椭圆与双曲线的定义、方程及图形特征有什么不同？
[提示]　如下表所示：
曲线 椭圆 双曲线
定义 |PF1|＋|PF2|＝2a (|F1F2|＝2c，2a＞2c) ||PF1|－|PF2||＝2a (|F1F2|＝2c，2a＜2c)
标准方程 ＝1或＝1(a＞b＞0) ＝1或＝1(a＞0，b＞0)
图形特征 封闭的连续曲线 分两支，不封闭，不连续
根据标准方程确定a，b的方法 以大小分a，b 以正负分a，b如
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2(a最大) a2＋b2＝c2(c最大)
2．如何用待定系数法求双曲线的方程？
[提示]　用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解．
课时分层作业(十六)　双曲线的标准方程
一、选择题
1．已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　)
A．＝1 B．＝1(x≥4)
C．＝1 D．＝1(x≥3)
D　[由题意知，轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴M点的轨迹方程为＝1(x≥3)．]
2．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
C　[由得(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C．]
3．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　)
A． B．
C． D．
D　[因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，
所以F(2，0)．
因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．
因为P是C上一点，所以＝1，解得yP＝±3，
所以P(2，±3)，|PF|＝3．
又因为A(1，3)，所以点A到直线PF的距离为1，
所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝．故选D．]
4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2等于(　　)
A． B．
C． D．
C　[双曲线的方程为＝1，
所以a＝b＝，c＝2，
因为|PF1|＝2|PF2|，
所以点P在双曲线的右支上，
则有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝2，|PF1|＝4，
所以根据余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝＝．]
5．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为(　　)
A． B．
C． D．
B　[∵||PF1|－|PF2||＝2，
∴|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝4＋2|PF1||PF2|，
由余弦定理知
|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2＝2|PF1||PF2|·cos 60°，
又∵a＝1，b＝1，
∴c＝＝，
∴|F1F2|＝2c＝2，
∴4＋2|PF1||PF2|－8＝|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|＝4，
设P到x轴的距离为|y0|，
＝|PF1||PF2|sin 60°
＝|F1F2||y0|，
∴×4×＝×2|y0|，
∴y0＝＝．]
二、填空题
6．若方程＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________．
(－3，2)∪(3，＋∞)　[依题意有或解得－3＜m＜2或m＞3．所以实数m的取值范围是(－3，2)∪(3，＋∞)．]
7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5．若2a＝8，那么△ABF2的周长是________．
26　[根据双曲线定义知，|AF2|－|AF1|＝8，|BF2|－|BF1|＝8．∴|AF2|＋|BF2|＝16＋|AF1|＋|BF1|＝16＋|AB|＝16＋5＝21．所以△ABF2的周长是|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26．]
8．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
x2－＝1　[设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)．
由题意得B(2，0)，C(2，3)，所以解得
所以双曲线的标准方程为x2－＝1．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)已知双曲线的两个焦点分别是F1(－5，0)，F2(5，0)，该双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6，求该双曲线的标准方程．
[解]　因为双曲线的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)．
又c＝5，a＝3，故b2＝52－32＝16．
因此，所求双曲线的标准方程为＝1．
10．已知双曲线＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；
(2)若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积又是多少？
(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．
[解]　设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(不妨设r1＞r2)，θ＝∠F1MF2，因为＝r1r2sin θ，
θ已知，所以只要求r1r2即可，
因此考虑到用双曲线定义及余弦定理的知识，求出r1r2．
(1)当θ＝90°时＝r1r2sin θ＝r1r2．
由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，
由双曲线定义，得|r1－r2|＝2a＝4，
两边平方，得－2r1r2＝16，
又＝|F1F2|2，
即＝16，
也即52－16＝，求得＝9．
(2)若∠F1MF2＝120°，在△MF1F2中，
|F1F2|2＝－2r1r2cos 120°＝(r1－r2)2＋3r1r2＝52，所以r1r2＝12，
求得＝r1r2sin 120°＝3．
同理，可求得若∠F1MF2＝＝9．
(3)由以上结果可见，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．
证明如下：
由双曲线定义及余弦定理，得
②－①，得r1r2＝，
所以＝r1r2sin θ＝＝．
因为0＜θ＜π，所以0＜＜，
在0，内，tan 是增函数．
因此当θ增大时＝减小．
即随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．
11．(多选题)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q的内切圆的周长为π，则双曲线C的方程为(　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．＝1 D．＝1
AB　[四边形 A1PA2Q 的面积为2，
∴4××a×b＝2，
得ab＝，
记四边形 A1PA2Q 内切圆半径为r，
则2πr＝π，得r＝．
∴2cr＝2，∴c＝，
又∵c2＝a2＋b2＝3，
得或
∴C的方程为－y2＝1或x2－＝1．]
12．(多选题)已知方程＝1表示的曲线为C．给出以下判断，正确的是(　　)
A．当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆
B．当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4
BCD　[A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0，
∴1＜t＜；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则
∴t＞4．]
13．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，则|AB|＝________；若三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C，则点C的轨迹方程为________．
4　x2－＝1(x＞1)　[将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1．
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2，0)，B(2，0)，|AB|＝4．
又∵sin B－sin A＝sin C，
∴由正弦定理得
|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x＞1)．]
14．过双曲线＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．
　[因为双曲线方程为＝1，所以c＝＝13，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则F1(－13，0)，F2(13，0)．设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y＞0)，则＝－1＝，
所以y＝，即|AF1|＝．
又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，
所以|AF2|＝24＋＝．
即所求距离分别为．]
15．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值．
[解]　(1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r．由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，
即||CA|－|CB||＝4．
则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1，
∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1．
(2由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，
此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．又|MF|＝＝2，
∴||MP|－|FP||的最大值为2．
1 / 203.2　双曲线
3.2.1　双曲线的标准方程
学习任务 核心素养
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过对双曲线概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过对双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养．
做下面一个实验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
知识点1　双曲线的定义
文字语言 平面内到两个定点F1，F2的距离之__________等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹
符号语言 |PF1－PF2|＝常数(0＜常数＜F1F2)
焦点 两个定点______
焦距 __________的距离
(1)在双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)在双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
知识点2　双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ______________ ___________ (a＞0，b＞0)
焦点 F1_______，F2_________ F1_________，F2___________
a，b，c的关系 c2＝______
1．双曲线＝1的焦距为(　　)
A．3 B．4
C．3 D．4
2．已知方程＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________．
类型1　求双曲线的标准方程
【例1】　【链接教材P97例1、例2】
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
2．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程＝1或＝1(a，b均为正数)，再根据条件求出待定的系数，然后将其代入方程即可．
提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0．
[跟进训练]
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)以椭圆＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；
(2)焦距为2，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上；
(3)焦点为(0，－6)，(0，6)，且过点A(－5，6)．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　双曲线的焦点三角形
【例2】　(1)在△ABC中，A(－5，0)，B(5，0)，点C在双曲线＝1上，则＝(　　)
A．　　　B．±　　　C．－　　　D．±
(2)已知F1，F2分别是双曲线＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32．试求△F1PF2的面积．
1．对如何运用？
2．如何把条件“|PF1|·|PF2|＝32”与所求“△F1PF2的面积”联系起来？
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变条件，变结论)若本例(2)中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10．求点P到F2的距离．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(变条件)若本例(2)条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3．(变条件)本例(2)中，将条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
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　求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式＝求得面积．
(2)利用公式＝×|F1F2|×|yP|求得面积．
类型3　与双曲线有关的轨迹问题
【例3】　如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　求解与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
(1)建立恰当的坐标系，列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
[跟进训练]
2．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型4　双曲线在实际问题中的应用
【例4】　【链接教材P98例3】
某地发生地震，为了援救灾民，救援队在如图所示的P处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA，PB运送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程．
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题．
注意：①解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用；
②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围．
[跟进训练]
3．如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到B地的距离远2 km．现要在河岸PQ上选一处M建码头，向B，C两地转运货物．经测算，修建公路的费用是a万元/km，求修建这两条公路的总费用最低是多少．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．以椭圆＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是(　　)
A．－y2＝1 B．y2－＝1
C．＝1 D．＝1
2．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，则k的值为________．
4．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________．
5．已知双曲线与椭圆＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程．
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回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．椭圆与双曲线的定义、方程及图形特征有什么不同？
2．如何用待定系数法求双曲线的方程？
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