资源简介

3.2.2　双曲线的几何性质
学习任务 核心素养
了解双曲线的简单几何性质．(重点) 1．通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算核心素养． 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养．
凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．
你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质？
知识点1　双曲线的几何性质
标准方程 ＝1 (a＞0，b＞0) ＝1 (a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 __________ __________
对称性 对称轴：______，对称中心：____
顶点 __________，________ __________，________
轴长 实轴长＝__，虚轴长＝__
离心率 ________
渐近线 y＝±x ________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线＝1的焦点在y轴上． (　　)
(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大． (　　)
(3)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条． (　　)
2．双曲线＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________．
知识点2　等轴双曲线
(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线．
(2)性质：在双曲线的标准方程＝1中，如果a＝b，那么方程可化为___________，此时双曲线的实轴长和虚轴长都等于2a，且两条渐近线互相垂直．
3．若等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
知识点3　直线与双曲线的位置关系
将y＝kx＋m与＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0．
Δ的取值 位置关系 交点个数
k＝±时 相交 只有____交点
k≠±且Δ＞0 有____交点
k≠±且Δ＝0 相切 只有____交点
k≠±且Δ＜0 相离 ____公共点
类型1　根据双曲线方程研究几何性质
【例1】　【链接教材P105例1】
求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变条件)把本例双曲线方程“9y2－4x2＝－36”改为“9y2－4x2＝36”，它的性质如何？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(变条件)把本例中方程“9y2－4x2＝－36”改为“4x2－9y2＝－4”，它的性质又如何？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤是什么？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　由几何性质求双曲线的标准方程
【例2】　【链接教材P106例2】
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
(3)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)．
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)．如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
(4)与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为＝1(b2＜λ＜a2)．
[跟进训练]
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5，3)；
(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　求双曲线的离心率
【例3】　(1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________．
(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，求其离心率的值．
1．双曲线渐近线的斜率±与其离心率有什么关系？
2．已知a，b，c的关系式，如何求双曲线的离心率？
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
[跟进训练]
2．过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
类型4　直线与双曲线的位置关系
【例4】　已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
[尝试解答]　_________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
　直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)方程思想的应用
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
(2)数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．
提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程．
[跟进训练]
3．已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．已知双曲线＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
2．若双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为(　　)
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
3．若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
4．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|＝________．
5．直线l与双曲线x2－4y2＝4相交于A，B两点，若点P(4，1)为线段AB的中点，则直线l的方程是________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．双曲线有哪些几何性质？
2．如何由双曲线的方程求其渐近线的方程？如何由渐近线的方程求双曲线方程？
3．如何用待定系数法设出与双曲线＝1有相同渐近线的双曲线方程？
4．直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式与直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同？你能写出来吗？
1 / 73.2.2　双曲线的几何性质
学习任务 核心素养
了解双曲线的简单几何性质．(重点) 1．通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算核心素养． 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养．
凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．
你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质？
知识点1　双曲线的几何性质
标准方程 ＝1 (a＞0，b＞0) ＝1 (a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x－a y－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a)
轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率 e＝>1
渐近线 y＝±x y＝±x
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线＝1的焦点在y轴上． (　　)
(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大． (　　)
(3)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
　2．双曲线＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________．
5　[∵双曲线的标准方程为＝1(a>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5．]
知识点2　等轴双曲线
(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线．
(2)性质：在双曲线的标准方程＝1中，如果a＝b，那么方程可化为，此时双曲线的实轴长和虚轴长都等于2a，且两条渐近线互相垂直．
3．若等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
B　[由条件知，等轴双曲线焦点在x轴上，可设方程为＝1，a2＋a2＝62，解得a2＝18，故方程为＝1．]
知识点3　直线与双曲线的位置关系
将y＝kx＋m与＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0．
Δ的取值 位置关系 交点个数
k＝±时 相交 只有一个交点
k≠±且Δ＞0 有两个交点
k≠±且Δ＝0 相切 只有一个交点
k≠±且Δ＜0 相离 没有公共点
类型1　根据双曲线方程研究几何性质
【例1】　【链接教材P105例1】
求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[解]　双曲线的方程化为标准形式是＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝．
又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x．
[母题探究]
1．(变条件)把本例双曲线方程“9y2－4x2＝－36”改为“9y2－4x2＝36”，它的性质如何？
[解]　把方程9y2－4x2＝36化为标准方程为＝1，这里a2＝4，b2＝9，c2＝13．焦点在y轴上．所以顶点坐标为(0，2)，(0，－2)，
焦点坐标为(0，)，(0，－)，实轴长2a＝4，
虚轴长2b＝6，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x．
2．(变条件)把本例中方程“9y2－4x2＝－36”改为“4x2－9y2＝－4”，它的性质又如何？
[解]　方程4x2－9y2＝－4可化为标准方程－x2＝1，焦点在y轴上，这里a2＝，b2＝1，c2＝＋1＝．
所以顶点坐标为，．
焦点坐标为，．
实轴长2a＝，虚轴长2b＝2．
离心率e＝＝．
渐近线方程为y＝±x＝±x．
【教材原题·P105例1】
求双曲线＝1的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程．
[解]　由题意知a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2＋b2＝4＋3＝7，
解得a＝2，b＝，c＝．
因此，双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝2．
焦点坐标为(－，0)，(，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0)．
离心率e＝＝．
渐近线方程为y＝±x．
　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤是什么？
[提示]　(1)把双曲线方程化为标准形式；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
类型2　由几何性质求双曲线的标准方程
【例2】　【链接教材P106例2】
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
(3)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)．
[解]　(1)设所求双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为＝1．
(2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3．
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分，得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27．
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为＝1或＝1．
(3)法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为＝1．
由题意，得
解得a2＝，b2＝4，
所以双曲线的方程为＝1．
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为＝1．
由题意，得解得a2＝－4，b2＝－，舍去．
综上所得，双曲线的方程为＝1．
法二：设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)，
将点(－3，2)代入得λ＝，
所以双曲线方程为＝，即＝1．
【教材原题·P106例2】
已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的方程．
[解]　根据题意知2c＝16，＝，
解得a＝6，c＝8，
从而b2＝c2－a2＝82－62＝28．
因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，所以所求双曲线方程为＝1．
　1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)．如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
(4)与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为＝1(b2＜λ＜a2)．
[跟进训练]
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5，3)；
(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x．
[解]　(1)设双曲线的标准方程为＝1或＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为＝1或＝1．
(2)∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2．
又∵焦点在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为＝1(a＞0)．
把点(－5，3)代入方程，解得a2＝16．
∴双曲线的标准方程为＝1．
(3)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为＝λ(λ≠0)，
当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6 λ＝．
当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6 λ＝－1．
∴双曲线的标准方程为＝1或＝1．
类型3　求双曲线的离心率
【例3】　(1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________．
(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，求其离心率的值．
1．双曲线渐近线的斜率±与其离心率有什么关系？
[提示]　e＝＝＝．
2．已知a，b，c的关系式，如何求双曲线的离心率？
[提示]　与c2＝a2＋b2联立得到的方程组，消去字母b，利用离心率的公式求解．
(1)或　[当焦点在x轴上时，＝2，这时离心率e＝＝＝．
当焦点在y轴上时，＝2，即＝，这时离心率e＝＝＝．]
(2)[解]　因为双曲线的右焦点F(c，0)到渐近线y＝±x，
即bx±ay＝0的距离为＝＝b，所以b＝c，
因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，
所以离心率e＝＝2．
　求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
[跟进训练]
2．过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
2＋　[如图，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，将点P的横坐标2a代入＝1中，得y2＝3b2，
不妨令点P的坐标为(2a，－b)，
此时＝＝，
得到c＝(2＋)a，
即双曲线C的离心率e＝＝2＋．
]
类型4　直线与双曲线的位置关系
【例4】　已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
[解]　(1)联立方程
消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则解得－＜k＜，且k≠±1．
∴若l与C有两个不同的交点，实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，
x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝．
又∵点O(0，0)到直线y＝kx－1的距离d＝，
∴S△AOB＝·|AB|·d＝＝，
即2k4－3k2＝0，
解得k＝0或k＝±．
∴实数k的值为±或0．
　直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)方程思想的应用
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
(2)数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．
提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程．
[跟进训练]
3．已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．
[解]　法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，
由消去y，
整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴x1＋x2＝．
∵A(3，－1)为MN的中点，
∴＝3，即＝3，
解得k＝－．
当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，
∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，
即3x＋4y－5＝0．
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵M，N均在双曲线上，
两式相减，得＝，
∴＝．
∵点A平分弦MN，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2．
∴kMN＝＝＝－．
经验证，该直线MN存在．
∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，
即3x＋4y－5＝0．
1．已知双曲线＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
C　[由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝．]
2．若双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为(　　)
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
A　[椭圆4x2＋y2＝64，即＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，从而a＝6，b2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36．]
3．若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
　[由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．]
4．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|＝________．
3　[双曲线的左焦点为(－2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程为y＝(x＋2)，
即x－y＋2＝0，
由
得8y2－12y＋9＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝．
∴|AB|＝
＝＝3．]
5．直线l与双曲线x2－4y2＝4相交于A，B两点，若点P(4，1)为线段AB的中点，则直线l的方程是________．
x－y－3＝0　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，易知k存在且k≠0，
则＝＝4，
两式相减，得(x1－x2)(x1＋x2)－4(y1－y2)(y1＋y2)＝0，又∵点P(4，1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2．
代入，得(x1－x2)－(y1－y2)＝0，∴k＝＝1．
因此直线l的方程是y－1＝1×(x－4)，即x－y－3＝0．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．双曲线有哪些几何性质？
[提示]　双曲线的范围、对称性、顶点、轴长、离心率和渐近线．
2．如何由双曲线的方程求其渐近线的方程？如何由渐近线的方程求双曲线方程？
[提示]　渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．
3．如何用待定系数法设出与双曲线＝1有相同渐近线的双曲线方程？
[提示]　可设为＝λ(λ≠0)．
4．直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式与直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同？你能写出来吗？
[提示]　完全相同．直线y＝kx＋m与双曲线＝1相交，其交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝或|AB|＝．
课时分层作业(十七)　双曲线的几何性质
一、选择题
1．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1，2)
C　[由题意得双曲线的离心率e＝．
即e2＝＝1＋．
∵a＞1，∴0＜＜1，
∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜．故选C．]
2．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
A　[双曲线C的渐近线方程为＝0，又点P(2，1)在C的渐近线上，所以＝0，即a2＝4b2，①
又a2＋b2＝c2＝25，②
由①②，得b2＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为＝1，故选A．]
3．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
A　[设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝．]
4．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
B　[因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B．]
5．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A． B．3
C．2 D．4
B　[根据题意，可知其渐近线的斜率为±，且右焦点为F(2，0)，从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，
可以得出直线MN的方程为y＝(x－2)，
分别与两条渐近线y＝x和y＝－x联立，
求得M(3，)，N，
所以|MN|＝＝3．]
二、填空题
6．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________，渐近线方程是________．
2　y＝±x　[a2＝1，b2＝m，e2＝＝＝1＋m＝3，m＝2．渐近线方程是y＝±x＝±x．]
7．已知F为双曲线C：＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
44　[由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16．由左焦点F(－5，0)，且A(5，0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44．]
8．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
－y2＝1　[法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
法二：∵渐近线y＝x过点(4，2)，而＜2，
∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，
在y＝－x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)．
由已知条件可得
解得
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．]
三、解答题
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
[解]　(1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
因为＝，所以a＝5，b＝＝12．
故所求双曲线的标准方程为＝1．
(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，则＝．①
因为点A(2，－3)在双曲线上，所以＝1．②
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，
则＝．　③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴＝1．　④
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32．
∴所求双曲线的标准方程为＝1．
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8．
∴所求双曲线的标准方程为＝1．
10．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F(2，0)，离心率e＝2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
[解]　(1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝．
所以所求双曲线方程为x2－＝1．
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立
整理得2x2－2mx－m2－3＝0．(*)
设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝x0＋m＝，所以线段MN的垂直平分线的方程为
y－＝－，即x＋y－2m＝0，
与坐标轴的交点分别为(0，2m)，(2m，0)，
可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l的方程为y＝x±．
11．(多选题)关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是(　　)
A．有相同的焦点 B．有相同的焦距
C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
BD　[两方程均化为标准方程为＝1和＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝±x，故D正确．C1的离心率e＝，C2的离心率e＝，故C错误．]
12．设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
D　[结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝，化简得＝9，即·＝kAB·＝9，因此kAB＝9·．
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×＝－<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x重合，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D．]
13．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于________．
　[曲线C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为C(3，0)，半径r＝2，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝a2＝c2－a2，即a2＝c2，所以e2＝，e＝．]
14．已知椭圆＝1与双曲线－y2＝1的公共焦点为左焦点F1，右焦点F2，点P是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF1|＝________的值为________．
　[因为F1，F2分别为左、右焦点，点P在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得
解得
又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝．]
15．已知椭圆C1：＋y2＝1的左右顶点是双曲线C2：＝1的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l与C1相交于M1，M2两点，与C2相交于Q1，Q2两点，且·＝－5，求|M1M2|的取值范围．
[解]　(1)由椭圆C1：＋y2＝1的左右顶点为(－，0)，(，0)，可得a2＝3，又椭圆C1的上顶点(0，1)到双曲线C2的渐近线bx－ay＝0的距离为，由点到直线的距离公式有＝可得b＝1，
所以双曲线C2的方程为－y2＝1．
(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，
代入－y2＝1，消去y并整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，要与C2相交于两点，
则应有
，①设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1·x2＝－．
又·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，
又·＝－5，所以有－3)＋6k2m2＋m2(1－3k2)]＝－5，
整理得m2＝1－9k2，②
将y＝kx＋m，代入＋y2＝1，消去y并整理得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
要有两交点，则Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)＞0 3k2＋1＞m2，③
由①②③得0＜k2．
设M1(x3，y3)，M2(x4，y4)，则有
x3＋x4＝，x3·x4＝．
所以|M1M2|＝·
＝·，
又m2＝1－9k2，代入得
|M1M2|＝·
＝12，
令t＝k2，则t∈，
令f(t)＝，故函数f(t)在t∈内单调递增，
故f(t)∈，
则有|M1M2|∈(0，]．
1 / 20

展开更多......

收起↑