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类型1　圆锥曲线的定义及应用
“回归定义”解题的三点应用
应用1：求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用2：涉及椭圆、双曲线的焦点三角形问题，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用3：求与抛物线有关的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．
【例1】　(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　　　　　　 B．双曲线
C．抛物线 D．以上都不对
(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝________．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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类型2　圆锥曲线的方程
求圆锥曲线方程的一般步骤
求曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是圆锥曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪条坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
【例2】　(1)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)已知直线y＝－x＋2和椭圆＝1(a＞b＞0)交于A，B两点，且a＝2b．若|AB|＝2，求椭圆的方程．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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类型3　圆锥曲线的性质及应用
求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
【例3】　(1)已知F1，F2是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)若双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)
A．2 B．
C． D．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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类型4　直线与圆锥曲线的位置关系
1．圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)证明代数式为定值．依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形．
(3)求某线段长度为定值．利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形即可．
2．圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k间的等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
【例4】　设椭圆C：＝1(a＞b＞0)，右顶点是A(2，0)，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
[尝试解答]　_________________________________________________________
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(2)直线l与椭圆交于两点M，N(M，N不同于点A)，若·＝0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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1 / 4类型1　圆锥曲线的定义及应用
“回归定义”解题的三点应用
应用1：求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用2：涉及椭圆、双曲线的焦点三角形问题，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用3：求与抛物线有关的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．
【例1】　(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　　　　　　 B．双曲线
C．抛物线 D．以上都不对
(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝________．
(1)C　(2)60°　[(1)把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝．
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
(2)双曲线方程16x2－9y2＝144，化简为＝1，
即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，
解得a＝3，c＝5，所以F1(－5，0)，F2(5，0)．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，又已知m·n＝64，
在△PF1F2中，由余弦定理知
cos ∠F1PF2＝
＝＝
＝＝．
又0°＜∠F1PF2＜180°，
所以∠F1PF2＝60°．]
类型2　圆锥曲线的方程
　求圆锥曲线方程的一般步骤
求曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是圆锥曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪条坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
【例2】　(1)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)已知直线y＝－x＋2和椭圆＝1(a＞b＞0)交于A，B两点，且a＝2b．若|AB|＝2，求椭圆的方程．
(1)C　[法一：因为双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以解得所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x．依题意，不妨设A，B到直线y＝x的距离分别为d1，d2，因为d1＋d2＝6，所以＝6，所以＝6，
解得a＝，所以b＝3，
所以双曲线的方程为＝1，故选C．
法二：因为双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以
解得如图所示，由d1＋d2＝6，即|AD|＋|BE|＝6，可得|CF|＝3，故
b＝3，所以a＝，所以双曲线的方程为＝1．]
(2)[解]　由消去y得x2－4x＋8－2b2＝0．由Δ＝16－4(8－2b2)＞0，得b2＞2．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2．
∵|AB|＝2，∴·＝2，
即·＝2，解得b2＝4，故a2＝4b2＝16．
∴所求椭圆的方程为＝1．
类型3　圆锥曲线的性质及应用
求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
【例3】　(1)已知F1，F2是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)若双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)
A．2 B．
C． D．
(1)D　(2)A　[(1)由题意易知直线AP的方程为y＝(x＋a)，①
直线PF2的方程为y＝(x－c)．②
联立①②，得P点纵坐标y＝(a＋c)，
如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝(a＋c)．
因为∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，
所以sin 60°＝＝＝，
即a＋c＝5c，即a＝4c，
所以e＝＝．故选D．
(2)由题意可知圆的圆心为(2，0)，半径为2．因为双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2，所以＝，所以＝．故离心率e＝＝2．故选A．]
类型4　直线与圆锥曲线的位置关系
1．圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)证明代数式为定值．依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形．
(3)求某线段长度为定值．利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形即可．
2．圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k间的等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
【例4】　设椭圆C：＝1(a＞b＞0)，右顶点是A(2，0)，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆交于两点M，N(M，N不同于点A)，若·＝0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．
[解]　(1)右顶点是A(2，0)，离心率为，
所以a＝2，＝，
∴c＝1，则b＝，
∴椭圆的标准方程为＝1．
(2)证明：当直线MN斜率不存在时，
设lMN：x＝m，－2与椭圆方程＝1联立，得|y|＝，|MN|＝2，
设直线MN与x轴交于点B，|MB|＝|AB|，
即＝2－m，
∴m＝或m＝2(舍)，∴直线lMN过定点；
当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线lMN：y＝kx＋b(k≠0)，与椭圆方程＝1联立，得
(4k2＋3)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，
Δ＝(8kb)2－4(4k2＋3)(4b2－12)＞0，k∈R，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2．
·＝0，则(x1－2，y1)(x2－2，y2)＝0，
即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，
∴7b2＋4k2＋16kb＝0，
∴b＝－k或b＝－2k，
∴直线lMN：y＝k或y＝k(x－2)，
∴直线过定点或(2，0)(舍去)．
综上，直线l过定点．
章末综合测评(三)　圆锥曲线与方程
(满分：150分　时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
A　[由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝，解得a＝．故选A．]
2．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)
A． B．
C．1 D．
B　[抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B．]
3．已知点F，A分别为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
D　[∵·＝0，∴FB⊥AB，∴b2＝ac，又b2＝c2－a2，∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－1－e＝0，∴e＝．]
4．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为(　　)
A． B．2
C． D．2
D　[法一：由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x．由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2．故选D．
法二：离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2．故选D．]
5．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 (　　)
A．＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．＝1
B　[椭圆9x2＋4y2＝36可化为＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＝1(a>b>0)，则c＝．又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1．]
6．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(　　)
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C． D．
B　[因为双曲线左焦点的坐标为F(－2，0)，
所以c＝2．
所以c2＝a2＋b2＝a2＋1，
即4＝a2＋1，解得a＝．
设P(x，y)，则·＝x(x＋2)＋y2，
因为点P在双曲线－y2＝1上，
所以·＝x2＋2x－1＝－－1．
又因为点P在双曲线的右支上，所以x≥．
所以当x＝时，·最小，且为3＋2，
即·的取值范围是[3＋2，＋∞)．]
7．已知双曲线＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
D　[根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，
∴
∴xy＝·＝ b2＝12，故双曲线的方程为＝1，故选D．]
8．我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
A　[设椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)．
由已知，得A(a，0)，B(0，b)，F(－c，0)，
则＝(－c，－b)，＝(a，－b)．
∵离心率e＝＝，
∴c＝a，b＝
＝＝a，
∴·＝b2－ac＝0，∴∠ABF＝90°．]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知点M(1，0)，A，B是椭圆＋y2＝1上的动点，当·取下列哪些值时，可以使·＝0(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
ABC　[设A(x0，y0)，且·＝0．
因为·＝·()＝＋·＝＝，
将A点坐标代入椭圆，得＝1，
所以＝，代入上式可得·＝＝－2x0＋2＝＋(－2x02)．
所以(·)min＝，(·)max＝9．对照选项，·可以取ABC．]
10．抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则(　　)
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
ABD　[A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，
⊙A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，
故准线l和⊙A相切，A选项正确；
B选项，P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，
由＝4xP，得到xP＝4，故P(4，4)，
此时切线长|PQ|＝＝＝，B选项正确；
C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P(1，2)或P(1，－2)，
当P(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝－2，kAB＝＝2，
不满足kPAkAB＝－1；
当P(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6，
不满足kPAkAB＝－1；
于是PA⊥AB不成立，C选项错误；
D选项，法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，这里F(1，0)，
于是|PA|＝|PB|时，P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时P点的存在性问题，
A(0，4)，F(1，0)，AF中点为，AF中垂线的斜率为－＝，
于是AF的中垂线方程为：y＝，与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个P点，使得|PA|＝|PF|，D选项正确．
法二：设点直接求解
设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|，
根据两点间的距离公式，得＝＋1，整理得t2－16t＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个解，
即存在两个这样的P点，D选项正确．
故选ABD．
]
11．已知椭圆C1：＋y2＝1过双曲线C2：＝1(a，b＞0)的焦点，C1的焦点恰为C2的顶点，C1与C2的交点按逆时针方向分别为A，B，C，D，O为坐标原点，则(　　)
A．C2的离心率为
B．C1的右焦点到C2的一条渐近线的距离为
C．点A到C2的两顶点的距离之和等于4
D．四边形ABCD的面积为
ACD　[对于A选项：椭圆C1：＋y2＝1的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，左、右焦点分别为(－，0)，(，0)，
由题意可知C2：＝1(a，b＞0)的焦点分别为(－2，0)，(2，0)，左、右顶点分别为(－，0)，(，0)，
所以a＝，c＝2，b＝1，
所以双曲线的方程C2：－y2＝1，因此C2的离心率为e＝＝，故A正确；
对于B选项：双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，
因此，C1的右焦点(，0)到直线x＋y＝0的距离为d＝，故B错误；
对于C选项：由椭圆的定义可知，点A到C2的两顶点的距离之和等于4，故C正确；
对于D选项：联立联立
所以，四边形ABCD的面积S＝4|xy|＝4×＝，
所以四边形ABCD的面积为，故D正确．]
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝________．
6　[法一：抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)．
∵N点在y轴上，设N(0，yN)．
又∵M为FN的中点，
∴M，即M．
又∵M点在抛物线y2＝8x上，
∴＝8×1，得＝32，
∴|FN|＝＝6．
法二：抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线l：x＝－2．如图，设l与x轴的交点为A，分别过N，M作直线l的垂线，垂足分别为C，B．由M为FN的中点，易知线段BM为梯形AFNC的中位线．
∵|CN|＝2，|AF|＝4，∴|MB|＝3．又由抛物线的定义得|MB|＝|MF|，且|MN|＝|MF|，∴|NF|＝|NM|＋|MF|＝2|MF|＝2|MB|＝6．]
13．设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
　[由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1，
得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，
故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝．]
14．过椭圆＝1上一点P分别向圆C1：(x＋3)2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2＋2|PN|2的最小值为________．
90　[因为圆C1：(x＋3)2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋y2＝1，
则C1(－3，0)，半径R＝2，C2(3，0)，半径r＝1，
由椭圆的方程可知a＝6，b＝3，
则c＝＝3，
所以C1(－3，0)，C2(3，0)为椭圆的两个焦点，
因为PM为圆C1的切线，PN为圆C2的切线，
故PM⊥C1M，PN⊥C2N，
则|PM|2＝＝|PC1|2－4，
|PN|2＝＝|PC2|2－1，
故|PM|2＋2|PN|2＝－4＋2(|PC2|2－1)＝|PC1|2＋2|PC2|2－6，
根据椭圆的定义可得，|PC1|＋|PC2|＝2a＝12，
设|PC2|＝t，
则a－cta＋c，即3t9，
所以|PM|2＋2|PN|2＝(12－t)2＋2t2－6＝3t2－24t＋138＝3(t－4)2＋90，
故当t＝4时，|PM|2＋2|PN|2取得最小值90．
故答案为：90．]
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
[解]　依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
∵点P在抛物线上，∴6＝2p×．∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x．
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，
∴＝1，
解方程组
得或(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1．
16．(本小题满分15分)如图所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2．证明：－|MN1|2为定值，并求此定值．
[证明]　(1)依题意可设AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，
得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，
直线AO的方程为y＝x，
BD的方程为x＝x2，
则交点D的坐标为．
又x1x2＝＝4y1，
则有＝＝＝－2，
即D点在定直线y＝－2上(x≠0)．
(2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0．
设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y，得x2＝4(ax＋b)，
即x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，
化简整理，得b＝－a2，故切线的方程为y＝ax－a2．
分别令y＝2，y＝－2，
得N1，N2，
则|MN2|2－|MN1|2＝＋42－＝8，
即|MN2|2－|MN1|2为定值8．
17．(本小题满分15分)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
[解]　(1)设双曲线C的方程为＝1(a＞0，b＞0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得解得
所以双曲线C的方程为＝1．
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则x1＝my1－4，x2＝my2－4．
联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0．
因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ＞0．
由根与系数的关系得所以y1＋y2＝y1y2．
因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，
所以A1(－2，0)，A2(2，0)．
直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，
所以＝，得＝＝＝．
因为＝
＝
＝
＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，
所以点P在定直线x＝－1上．
18．(本小题满分17分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解]　(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，
∵A在椭圆C上，
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＝2，∴a＝，b2＝a2－c2＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)假设这样的直线存在，设直线l的方程为y＝2x＋t，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，
由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，
∴y1＋y2＝，
且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，
故y0＝＝，且－3＜t＜3，
由＝，知四边形PMQN为平行四边形，
∴y0＝＝，
得y4＝，又－3＜t＜3，
可得－＜y4＜－1，∴点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l．
19．(本小题满分17分)已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)．点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为6＋4，面积为c．
(1)求E的方程；
(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，________．(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答)．
①求直线AC和BD交点的轨迹方程；
②是否存在实常数λ，使得k1＝λk2恒成立；
③过点C作关于x轴的对称点C′，连接C′D得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过定点．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解]　(1)依题意，
解得
所以椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2)设直线l的方程为x＝ty＋，
选择①，联立方程化简整理得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，
假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
得
所以ty1y2＝(y1＋y2)，
直线AC的方程：y＝(x＋3)；直线BD的方程：y＝(x－3)，
联立方程
两式相除，得＝
＝＝
＝＝
＝＝3，
即＝3，解得x＝6，
所以直线AC和BD交点的轨迹方程是直线x＝6．
选择②，联立方程化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，
假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
得
所以ty1y2＝(y1＋y2)，
于是＝·＝
＝＝
＝＝
＝＝，
故存在实数λ＝，
使得k1＝λk2恒成立．
选择③：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，C′(x1，－y1)，
联立方程化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，
得
直线C′D与x轴交于点N，说明C′，D，N三点共线，于是kC′N＝kDN，
假设N(m，0)，
即＝，
亦即－＝，
则－y1(x2－m)＝y2(x1－m)，
所以y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝＝y2＋y1－m(y1＋y2)＝2ty1y2＋(y1＋y2)＝2t＋·＝0，
解得m＝6，
所以直线l恒过定点(6，0)．
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