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第2课时　数列的递推公式
学习任务 核心素养
1．理解递推公式的含义．(重点) 2．掌握递推公式的应用．(难点) 借助数列的递推公式求具体项或求通项，培养数学运算与逻辑推理素养．
看下面例子：
(1)1，2，4，8，16，…．
(2)1，cos 1，cos (cos 1)，cos [cos (cos 1)]，…．
(3)0，1，4，7，10，13．
请同学们分析一下，从第二项起，后一项与前一项有什么关系？
知识点1　数列的递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的第1项(或前几项)；
②任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫作这个数列的递推公式．
1．所有数列都有递推公式吗？
[提示]　不一定．例如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…没有递推公式．
1．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝，此数列的第3项是(　　)
A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．
C　[∵an＋1＝，a1＝1，∴a2＝．故选C．]
2．数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 027的值为(　　)
A． B．－1
C．2 D．1
A　[由an＋1＝1－及a1＝2，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，
至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列：2，，－1，…．
而2 027＝675×3＋2，故a2 027＝a2＝．]
知识点2　数列递推公式与通项公式的关系
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
2．仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n2，n∈N*)就能确定这个数列吗？
[提示]　不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．
3．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是(　　)
A．an＝an－1＋2(n2)
B．an＝2an－1(n2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n2)
D．a1＝2，an＝2an－1(n2)
C　[由条件可发现，n2时，an－an－1＝2，即an＝an－1＋2，又a1＝2，故选C．]
类型1　由递推公式求数列中的项
【例1】　【链接教材P136例3】
已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，后面各项由an＝an－1＋an－2(n3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
[解]　(1)∵an＝an－1＋an－2(n3)，且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8．
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8．
(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝．
故{bn}的前4项依次为b1＝．
【教材原题·P136例3】
试分别根据下列条件，写出数列{an}的前5项：
(1)a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*；
(2)a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*．
[解]　(1)因为a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*，
所以
a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4，
a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8，
a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16．
因此，数列{an}的前5项依次为1，2，4，8，16．
(2)因为a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*，所以
a2＝2－，
a3＝2－，
a4＝2－，
a5＝2－．
因此，数列{an}的前5项依次为2，．
　由递推公式写出数列的项的方法
(1)在递推公式中令n＝1，2，3，4，5，…，结合a1的值，即可求出数列的前几项．
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1．
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝．
[跟进训练]
1．已知数列{an}的第1项a1＝1，后面的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．
[解]　∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝，
a4＝，
a5＝．
故该数列的前5项为1，．
类型2　数列的单调性
【例2】　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×(n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
[思路探究]　判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设an是数列的最大项，解不等式．
[解]　法一：作差比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．
an＋1－an＝(n＋3)×－(n＋2)×．
当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an．
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，
所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝．
法二：作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．
．
又an＞0，
令＞1，解得n＜5；令＝1，解得n＝5；
令＜1，解得n＞5．
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，
所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝．
法三：假设{an}中有最大项，且最大项为第n(n2)项，则
即解得即5n6．
故数列{an}有最大项a5或a6，且a5＝a6＝．
　求数列{an}的最大(小)项的方法
一是利用函数的单调性和最值，即参照数列对应的函数的性质的研究方法，由函数的单调性过渡到数列的增减性，然后判断最值．
二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N*且k2都成立，解不等式组即可．
[跟进训练]
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n－8．
(1)数列中有多少项为负数？
(2)数列{an}是否有最小项？若有，求出其最小项．
[解]　(1)令an＜0，即n2－7n－8＜0，得－1＜n＜8．又n∈N*，
所以n＝1，2，3，…，7，
故数列从第1项至第7项均为负数，共7项．
(2)函数y＝x2－7x－8图象的对称轴为直线x＝，所以当1x3时，函数单调递减；当x4时，函数单调递增，所以数列{an}有最小项，又a3＝a4＝－20，所以数列{an}的最小项为a3或a4．
类型3　根据递推公式求通项
【例3】　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；
(2)设在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n2)，求通项公式an．
1．对于任意数列{an}，等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立吗？若数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，你能求出它的通项an吗？
[提示]　等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an成立，当n2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝1＋2(n－1)＝2n－1．
a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1．
2．能否把分式化为两项的差？
[提示]　．
3．若数列{an}中的各项均不为0，等式a1·＝an成立吗？若数列{an}满足：a1＝3，＝2，则它的通项an是什么？
[提示]　等式a1·＝an成立．
按照＝2可得＝2(n2)，
将这些式子两边分别相乘可得＝2·2·…·2．
则＝2n-1，所以an＝3·2n-1(n∈N*)．
4．×1的运算结果是什么？
[提示]　．
[解]　(1)∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝，n2，n∈N*．
以上各式累加得，
an－a1＝
＝
＝1－．
∴an＋1＝1－，
∴an＝－(n2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N*)．
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n2)，
∴．
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，
∴an＝(n∈N*)．
[母题探究]
1．(变条件)将例题(1)中的条件“a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*”变为“a1＝，anan－1＝an－1－an(n2)”，求数列{an}的通项公式．
[解]　∵anan－1＝an－1－an(n2)，
∴＝1．
∴＝n＋1．
∴＝n＋1，
∴an＝(n2)．
又∵n＝1时，a1＝，符合上式，∴an＝(n∈N*)．
2．(变条件)将例题(2)中的条件“a1＝1，an＝an－1(n2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)”，写出数列的前5项，猜想an并加以证明．
[解]　由a1＝2，an＋1＝3an，得：
a2＝3a1＝3×2，
a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，
a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，
a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，
…
猜想：an＝2×3n-1，
证明如下：由an＋1＝3an得＝3．
因此可得＝3．
将上面的n－1个式子相乘可得
＝3n-1．
即＝3n-1，
所以an＝a1·3n-1，
又a1＝2，
故an＝2·3n-1．
　由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：
(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式；
(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝·a1求通项公式．
1．数列{an}满足an＝4an－1＋3(n2)，且a1＝0，则此数列的第5项是(　　)
A．15 B．255
C．20 D．8
B　[因为an＝4an－1＋3(n2)，所以a2＝4×0＋3＝3，
a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255．]
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为(　　)
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝2n D．an＝2n－1
D　[由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15．经验证，选D．]
3．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝______．
　[∵an＋1＝，
∴an＋1＝
＝
＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3．
∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2．
而a2＝，∴a1＝．]
4．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，求an．
[解]　由题意得an＋1－an＝ln ，
∴an－an－1＝ln (n2)，
an－1－an－2＝ln ，
…
a2－a1＝ln ．
∴当n2时，an－a1＝ln ＝ln n，∴an＝2＋ln n(n2)．
当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2，符合上式，
∴an＝2＋ln n(n∈N*)．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．通项公式与递推公式有什么区别？
[提示]　通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an．
2．求数列通项公式有哪些方法？
[提示]　(1)观察法．根据给出数列的前几项观察归纳；
(2)累加法．适合类型为an＋1＝an＋f(n)；
(3)累乘法．适合类型为an＋1＝anf(n)．
课时分层作业(二十一)　数列的递推公式
一、选择题
1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　)
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n2
B　[由题可知an－an－1＝n(n2)．]
2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．6
B　[由an＋1＝＋1，a1＝1得，a2＝．故选B．]
3．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2 025＝(　　)
A．6 B．－6
C．3 D．－3
C　[a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，∴此数列周期为6，即an＋6＝an．∴a2 025＝a6×337＋3＝a3＝3．
所以C选项是正确的．]
4．在1，2，3，…，2 025这2 025个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则a50＝(　　)
A．289 B．295
C．301 D．307
B　[由题意可知an－1即是2的倍数，又是3的倍数，即an－1是6的倍数，
则an－1＝6(n－1)(n∈N*)，所以an＝6n－5，所以a50＝50×6－5＝295．]
5．数列{an}定义如下：a1＝1，当n2时，an＝若an＝，则n的值等于(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
C　[因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝，所以n＝9．]
二、填空题
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a5为________．
47　[由a1＝2，an＋1＝2an＋1，得a2＝2a1＋1＝5，a3＝2a2＋1＝11，a4＝2a3＋1＝23，a5＝2a4＋1＝47．]
7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－an－3＝0，则{an}的通项公式为________．
an＝3n－1　[因为a1＝2，an＋1－an－3＝0，
所以an－an－1＝3，
an－1－an－2＝3，
an－2－an－3＝3，
…
a2－a1＝3，
以上各式相加，则有an－a1＝(n－1)×3，
所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1．]
8．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a10的值为________．
　[法一：由an＋1＝an＋得an＋1－an＝，故a2－a1＝1－，
a3－a2＝，累加得a10－a1＝1－．
法二：由an＋1＝an＋，得an＋1＋，故a10＋＝a1＋1＝2，即a10＝．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)已知数列{an}的首项为a1＝1，递推公式为an＝1＋(n2)，写出这个数列的前5项．
[解]　由题意可知
a1＝1，
a2＝1＋＝2，
a3＝1＋，
a4＝1＋，
a5＝1＋．
10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项．
[解]　假设第n项an为最大项，则(n2，且n∈N*)
即
解得即4n5，
所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝．
11．(多选题)已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，n∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A．该数列是周期数列且周期为3
B．该数列不是周期数列
C．a2 024＋a2 025＝1
D．a2 024＋a2 025＝
BC　[；
a3＝f；
a4＝f；
a5＝f；
a6＝f；
…
∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，但数列{an}并不是周期数列，故A错误，B正确．而a2 024＋a2 025＝a5＋a3＝1．∴C正确，D错误．故选BC．]
12．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用an表示解下n(n9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，满足a1＝1，且an＝则解下4个圆环所需的最少移动次数为 (　　)
A．7 B．10
C．12 D．22
A　[由题意知a2＝2a1－1＝2×1－1＝1，a3＝2a2＋2＝2×1＋2＝4，a4＝2a3－1＝2×4－1＝7，故选A．]
13．数列{(25－2n)2n-1}的第4项是________，最大项所在的项数为________．
136　11　[令an＝(25－2n)2n-1，则a4＝(25－2×4)×24-1＝136．
当n2时，设an为最大项，则
即
解得．
而n∈N*，所以n＝11，
又n＝1时，有a1＝23＜a2＝42，
所以数列{(25－2n)2n-1}的最大项所在的项数为11．]
14．我们可以利用数列{an}的递推公式an＝(n∈N*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．
640　[a1＝1，a2＝a1＝1，
a3＝3，a4＝a2＝1，
a5＝5，a6＝a3＝3，
根据规律知当n5时只有n为偶数时才有可能取到5，
由an＝知a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝5，
故第8个5是该数列的第640项．]
15．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有ana6成立，求a的取值范围．
[解]　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，
∴an＝1＋(n∈N*)．
结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0．
(2)an＝1＋，
已知对任意的n∈N*，都有ana6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知5＜＜6，
即－10＜a＜－8．
即a的取值范围是(－10，－8)．
1 / 14第2课时　数列的递推公式
学习任务 核心素养
1．理解递推公式的含义．(重点) 2．掌握递推公式的应用．(难点) 借助数列的递推公式求具体项或求通项，培养数学运算与逻辑推理素养．
看下面例子：
(1)1，2，4，8，16，…．
(2)1，cos 1，cos (cos 1)，cos [cos (cos 1)]，…．
(3)0，1，4，7，10，13．
请同学们分析一下，从第二项起，后一项与前一项有什么关系？
知识点1　数列的递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的第1项(或前几项)；
②任一项__与它的前一项_____(或前几项)间的关系可以用一个____来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫作这个数列的____公式．
1．所有数列都有递推公式吗？
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1．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝，此数列的第3项是(　　)
A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．
2．数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 027的值为(　　)
A． B．－1
C．2 D．1
知识点2　数列递推公式与通项公式的关系
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项_____(或前几项)之间的关系 表示an与_之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
2．仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n2，n∈N*)就能确定这个数列吗？
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3．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是(　　)
A．an＝an－1＋2(n2)
B．an＝2an－1(n2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n2)
D．a1＝2，an＝2an－1(n2)
类型1　由递推公式求数列中的项
【例1】　【链接教材P136例3】
已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，后面各项由an＝an－1＋an－2(n3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　由递推公式写出数列的项的方法
(1)在递推公式中令n＝1，2，3，4，5，…，结合a1的值，即可求出数列的前几项．
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1．
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝．
[跟进训练]
1．已知数列{an}的第1项a1＝1，后面的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．
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类型2　数列的单调性
【例2】　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×(n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
[思路探究]　判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设an是数列的最大项，解不等式．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　求数列{an}的最大(小)项的方法
一是利用函数的单调性和最值，即参照数列对应的函数的性质的研究方法，由函数的单调性过渡到数列的增减性，然后判断最值．
二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N*且k2都成立，解不等式组即可．
[跟进训练]
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n－8．
(1)数列中有多少项为负数？
(2)数列{an}是否有最小项？若有，求出其最小项．
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类型3　根据递推公式求通项
【例3】　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；
(2)设在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n2)，求通项公式an．
1．对于任意数列{an}，等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立吗？若数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，你能求出它的通项an吗？
2．能否把分式化为两项的差？
3．若数列{an}中的各项均不为0，等式a1·＝an成立吗？若数列{an}满足：a1＝3，＝2，则它的通项an是什么？
4．×1的运算结果是什么？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变条件)将例题(1)中的条件“a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*”变为“a1＝，anan－1＝an－1－an(n2)”，求数列{an}的通项公式．
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2．(变条件)将例题(2)中的条件“a1＝1，an＝an－1(n2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)”，写出数列的前5项，猜想an并加以证明．
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　由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：
(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式；
(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝·a1求通项公式．
1．数列{an}满足an＝4an－1＋3(n2)，且a1＝0，则此数列的第5项是(　　)
A．15 B．255
C．20 D．8
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为(　　)
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝2n D．an＝2n－1
3．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝______．
4．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，求an．
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回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．通项公式与递推公式有什么区别？
2．求数列通项公式有哪些方法？

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