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3.1　椭圆
3.1.1　椭圆的标准方程
学习任务 核心素养
1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算素养． 2．借助轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象素养．
在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形状，如图所示．
我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径．那么，你能说说什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？
知识点1　椭圆的定义
(1)定义：平面上到两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|．
1．(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
[提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2．
(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
1．下列说法中，正确的是(　　)
A．到点M(－3，0)，N(3，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B．到点M(0，－3)，N(0，3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到点M(－3，0)，N(3，0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
D．到点M(0，－3)，N(0，3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
C　[由椭圆的定义知，C正确．]
知识点2　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＝1
(a＞b＞0)焦点 (－c，0)与(c，0) (0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
2．能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
[提示]　能．椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大．
2．(1)若椭圆方程为＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________．
(2)已知a＝5，c＝2，焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为________．
(1)x　(2，0)和(－2，0)　(2)＝1　[(1)因为10>6，所以焦点在x轴上，且a2＝10，b2＝6，
所以c2＝10－6＝4，c＝2，
故焦点坐标为(2，0)和(－2，0)．
(2)由已知得b2＝a2－c2＝21，于是椭圆的标准方程为＝1．]
类型1　求椭圆的标准方程
【例1】　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q．
[解]　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以解得
所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1．
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)．
法一：由椭圆的定义知，
2a＝
＝2，
即a＝，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
法二：因为所求椭圆经过点，所以＝1，
又c2＝a2－b2＝4，
可解得a2＝10，b2＝6．
所以椭圆的标准方程为＝1．
(3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时，
可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
依题意，有
解得
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＝1(a>b>0)．
依题意，有
解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＝1．
　用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
[跟进训练]
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＝1有相同的焦点．
[解]　(1)设椭圆的方程为
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
将两点(2，－)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
(2)因为所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16．设它的标准方程为＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16． ①
又点(，－)在椭圆上，所以＝1，
即＝1． ②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＝1．
类型2　对椭圆标准方程的理解
【例2】　(1)若方程＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－9，25)　　　　　　　 B．(－9，8)∪(8，25)
C．(8，25) D．(8，＋∞)
(2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
(1)B　(2)　[(1)依题意有
解得－9即实数m的取值范围是(－9，8)∪(8，25)，故选B．
(2)由题意知m≠0，将椭圆方程化为＝1，
依题意有解得m<－，
即实数m的取值范围是．]
　根据椭圆方程求参数的取值范围
(1)给出方程＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m>n>0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n>m>0．
(2)若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＝1，再研究其焦点的位置等情况．
[跟进训练]
2．若方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
(－4，0)∪(0，3)　[方程化为＝1，
依题意应有12－a>a2>0，解得－4类型3　椭圆中的焦点三角形问题
【例3】　(1)已知椭圆＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝(　　)
A．3∶5　　　B．3∶4　　　C．5∶3　　　D．4∶3
(2)已知椭圆＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
(1)C　(2)　　[(1)依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有|PF1|2－|PF2|2＝4c2＝16，又根据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|－|PF2|＝2，
从而|PF1|＝5，|PF2|＝3，即|PF1|∶|PF2|＝5∶3．
(2)由＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2．
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝－2|PF1||F1F2|cos ∠PF1F2，即|PF2|2＝|．①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4．②
由①②联立可得|PF1|＝．
所以＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝×2×＝．]
　1．椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a．
(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
2．焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c．
(2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos θ．(∠F1MF2＝θ)
(3)焦点三角形的面积＝|MF1||MF2|·sin θ＝b2tan ．(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
[跟进训练]
3．(1)已知F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________．
(2)椭圆方程为＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若＝，则∠F1PF2＝________．
(1)8　(2)60°　[(1)由直线AB过椭圆的一个焦点F1，
知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，
又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8．
(2)由已知得a＝2，b＝，c＝1，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，
则
①2－②得mn(1＋cos α)＝6，④
得＝，
即＝2，
∴tan ＝，
∴＝30°，α＝60°，
即∠F1PF2＝60°．]
类型4　与椭圆有关的轨迹问题
【例4】　(1)已知P是椭圆＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．
(2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，则动圆圆心P的轨迹方程为________．
求动点的轨迹方程有哪些方法？根据动点满足的条件，思考该选用哪种方法求解．
(1)x2＋＝1　(2)＝1　[(1)设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＝1．
所以＝1，即点Q的轨迹方程为x2＋＝1．
(2)设动圆P和定圆B内切于点M，
动圆圆心P到两定点A(－3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，
所以其轨迹方程为＝1．]
　求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式．
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程．
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可求得动点的轨迹方程．
[跟进训练]
4．(源自人教B版教材)已知B，C是平面内的两个定点，|BC|＝8，且平面内△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[解]　以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8，可知B(－4，0)，C(4，0)．又因为|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，所以|AB|＋|AC|＝10．
从而点A在以B，C为焦点的椭圆上，而且这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，又焦距2c＝8，因此a＝5，c＝4．从而b2＝a2－c2＝25－16＝9．
因此点A的坐标必须满足＝1，再注意到因为是三角形，所以A，B，C三点不能共线，因此可知点A的轨迹方程为＝1(y≠0)．
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　B．直线　　　C．圆　　　D．线段
D　[由|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝6知动点M的轨迹是线段F1F2，故选D．]
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
B　[椭圆方程可化为x2＋＝1，
由题意知解得k＝2．]
3．已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
A　[设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，
又P在曲线C上，
所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．]
4．方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
(－6，－2)∪(3，＋∞)　[由a2＞a＋6＞0得a＞3或－6＜a＜－2．]
5．已知椭圆＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．
48　[由题意知
由|PF1|＋|PF2|＝14得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝196，
∴2|PF1||PF2|＝96，∴|PF1||PF2|＝48．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)椭圆是如何定义的？请写出其标准方程．
[提示]　平面上到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．
其标准方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)．
(2)当方程＝1表示椭圆时，m，n满足什么条件？
当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？
[提示]　表示椭圆时：
表示焦点在x轴的椭圆时，m>n>0，
表示焦点在y轴的椭圆时，n>m>0．
(3)求动点的轨迹方程常用方法有哪些？
[提示]　直接法、定义法、相关点法(代入法)．
课时分层作业(二十四)　椭圆的标准方程
一、选择题
1．(教材P121练习T1改编)椭圆＝1的焦点坐标是(　　)
A．(±5，0)　　　　　　 B．(0，±5)
C．(0，±12) D．(±12，0)
C　[由标准方程知，椭圆的焦点在y轴上，且c2＝169－25＝144，∴c＝±12，
故焦点为(0，±12)．]
2．“2A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
B　[若方程＝1表示椭圆，
则解得23．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)
A．＝1
B．＝1或＝1
C．＝1
D．＝1或＝1
B　[∵2c＝|F1F2|＝2，∴c＝．
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2．
∴b2＝a2－c2＝9．
故椭圆C的标准方程是＝1或＝1．]
4．设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)
A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1
B　[由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B．]
5．已知椭圆＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)
A．圆　　　B．椭圆　　　C．线段　　　D．直线
B　[设椭圆的右焦点为F2，
由题意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|，
又|MF1|＋|MF2|＝2a，
所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，
故由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．]
二、填空题
6．已知椭圆＝1(a>b>0)的右焦点为F (3，0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为________．
＝1　[由题意可得
解得
故椭圆的方程为＝1．]
7．已知椭圆＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．
4　[设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，
又∵|MF|＝2，∴|ME|＝8，
又ON为△MEF的中位线，∴|ON|＝|ME|＝4．]
8．已知F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________．
　[如图，由＝1，
知a2＝9，b2＝7，c2＝2．
所以a＝3，b＝，c＝．
所以|F1F2|＝2．
设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x．
因为∠AF1F2＝45°，
所以(6－x)2＝x2＋8－4x·，所以x＝．
所以＝×2＝．]
三、解答题
9．已知椭圆M与椭圆N：＝1有相同的焦点，且椭圆M过点．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
[解]　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为＝1(a>b>0)，又椭圆M过点，则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1．
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，
得y0＝±．
又＝1，所以＝，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为．
10．(源自人教A版教材)如图所示，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合．)
[解]　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0)．由点M是线段PD的中点，得
x＝x0，y＝．
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以
＝4． ①
把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得
x2＋4y2＝4，
即＋y2＝1．
所以点M的轨迹是椭圆．
11．P是椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　)
A．60°　　　B．30°　　　C．120°　　　D．150°
A　[由椭圆的定义得
|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，
∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，
在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝，
∵0°<∠F1PF2<180°，∴∠F1PF2＝60°．]
12．椭圆＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　)
A．± B．± C．± D．±
D　[∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
∵点P在椭圆上，∴＝1，即y2＝，∴y＝±．
∴点M的纵坐标为±．]
13．已知P为椭圆＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5 B．7 C．13 D．15
B　[由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7．]
14．已知点P(6，8)是椭圆＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点．若·＝0，则椭圆的标准方程是______________，sin ∠PF1F2＝________．
＝1　　[因为·＝0，
所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，
所以F1(－10，0)，F2(10，0)，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|
＝＝12，
所以a＝6，b2＝80．所以椭圆方程为＝1．
如图所示，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
则|PM|＝8，|F1M|＝10＋6＝16，
所以|PF1|＝＝＝8，
所以sin ∠PF1F2＝＝＝．]
15．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．
[解]　(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，即|F1F2|＝2，
又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1|·|PF2|＝＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4．
(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由＝λ得x0＝，y0＝－．
又＝1，所以＝1，
化简得λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于B点，
所以λ＝－7．
(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|
4＋|BF2|，
所以△PBF1的周长4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8．
1 / 13.1　椭圆
3.1.1　椭圆的标准方程
学习任务 核心素养
1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算素养． 2．借助轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象素养．
在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形状，如图所示．
我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径．那么，你能说说什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？
知识点1　椭圆的定义
(1)定义：平面上到两个定点F1，F2的距离之和为______________________的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的____，两个焦点之间的距离__________叫作椭圆的____．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝___(常数)且2a__|F1F2|．
1．(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列说法中，正确的是(　　)
A．到点M(－3，0)，N(3，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B．到点M(0，－3)，N(0，3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到点M(－3，0)，N(3，0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
D．到点M(0，－3)，N(0，3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
知识点2　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＝1
(a＞b＞0)焦点 (－c，0)与(c，0) ___________与_________
a，b，c的关系 c2＝________
2．能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(1)若椭圆方程为＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________．
(2)已知a＝5，c＝2，焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为________．
类型1　求椭圆的标准方程
【例1】　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
[跟进训练]
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＝1有相同的焦点．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　对椭圆标准方程的理解
【例2】　(1)若方程＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－9，25)　　　　　　　 B．(－9，8)∪(8，25)
C．(8，25) D．(8，＋∞)
(2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根据椭圆方程求参数的取值范围
(1)给出方程＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m>n>0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n>m>0．
(2)若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＝1，再研究其焦点的位置等情况．
[跟进训练]
2．若方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
类型3　椭圆中的焦点三角形问题
【例3】　(1)已知椭圆＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝(　　)
A．3∶5　　　B．3∶4　　　C．5∶3　　　D．4∶3
(2)已知椭圆＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a．
(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
2．焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c．
(2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos θ．(∠F1MF2＝θ)
(3)焦点三角形的面积＝|MF1||MF2|·sin θ＝b2tan ．(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
[跟进训练]
3．(1)已知F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________．
(2)椭圆方程为＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若＝，则∠F1PF2＝________．
类型4　与椭圆有关的轨迹问题
【例4】　(1)已知P是椭圆＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．
(2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，则动圆圆心P的轨迹方程为________．
求动点的轨迹方程有哪些方法？根据动点满足的条件，思考该选用哪种方法求解．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式．
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程．
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可求得动点的轨迹方程．
[跟进训练]
4．(源自人教B版教材)已知B，C是平面内的两个定点，|BC|＝8，且平面内△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　B．直线　　　C．圆　　　D．线段
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
4．方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
5．已知椭圆＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)椭圆是如何定义的？请写出其标准方程．
(2)当方程＝1表示椭圆时，m，n满足什么条件？
当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？
(3)求动点的轨迹方程常用方法有哪些？
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