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3.1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
学习任务 核心素养
1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义．(重点) 2．能根据几何性质求椭圆方程，解决相关问题．(难点、易混点) 通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养．
已知椭圆C的方程为＋y2＝1，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出椭圆C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出椭圆C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出椭圆C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
知识点　椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a>b>0)
范围 －axa且－byb －bxb且－aya
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0，1)
(1)离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？
[提示]　(1)e越大(接近于1)，椭圆越扁，e越小(接近于0)，椭圆越圆．
(2)最大值a＋c，最小值a－c．
(1)经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为(　　)
A．＝1　　　　　　 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)已知椭圆＝1，则椭圆的离心率e＝_____．
(1)A　(2)　[(1)由题易知点P(3，0)，Q(0，2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为＝1．
(2)由题意知a2＝16，b2＝9，则c2＝7，
从而e＝＝．]
类型1　由椭圆方程研究其几何性质
【例1】　(1)椭圆＝1(a＞b＞0)与椭圆＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　)
A．相同的焦点　　　　　 B．相同的顶点
C．相同的离心率 D．相同的长、短轴
(2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
(1)C　[在两个方程的比较中，端点a、b取值均不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C．]
(2)[解]　椭圆方程可化为＝1．
①当0∴e＝＝＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，)．
②当m>4时，a＝，b＝2，
∴c＝，
∴e＝＝＝，解得m＝，
∴a＝，c＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2，0)，B2(2，0)．
　根据椭圆的标准方程研究其几何性质的基本步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c．
(4)写出椭圆的几何性质．
[跟进训练]
1．已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
[解]　(1)由椭圆C1：＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝．
(2)椭圆C2：＝1．
几何性质如下：
①范围：－8x8，－10y10；②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝，焦距为12．
类型2　由椭圆的几何性质求其标准方程
【例2】　【链接教材P124例4】
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同的离心率．
[解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3．
∴椭圆的方程为＝1．
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，解得a2＝27．
∴椭圆的方程为＝1．
∴所求椭圆的方程为＝1或＝1．
(2)设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，
∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为＝1．
(3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＝1或＝1．
将点M(1，2)代入椭圆方程得
＝1或＝1，解得b2＝或b2＝3．
故所求椭圆的方程为＝1或＝1．
法二：设所求椭圆方程为＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＝k1或＝k2，解得k1＝，k2＝，故＝或＝，即所求椭圆的标准方程为＝1或＝1．
【教材原题·P124例4】
例4　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为18，离心率为；
(2)经过点P(2，2)，Q(－3，－1)，焦点在x轴上．
[解]　(1)因为2a＝18，e＝＝，
所以a＝9，c＝3．
于是b2＝a2－c2＝81－9＝72．
椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，因此，所求的椭圆标准方程为
＝1或＝1．
(2)设椭圆方程具有标准形式＝1．将P，Q两点的坐标代入得
＝1， ①
＝1． ②
将看作未知数，则上述两个式子组成二元一次方程组．
②×4－①得＝3，即a2＝．
＝＝＝，即b2＝．
因此，所求的椭圆标准方程为＝1．
　利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
[跟进训练]
2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为________．
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
(1)＝1　(2)＝1或＝1　[(1)由题意，得解得
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＝1．
(2)因为椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的标准方程是＝1或＝1．]
类型3　求椭圆的离心率
【例3】　(1)设椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知P为椭圆＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
离心率e＝＝，因此建立a，b，c中两个量之间的关系式就可以求离心率或其范围，由此思考根据条件如何建立关系式．
(1)B　(2)D　[(1)法一：由题意知，|PF1|＝2|PF2|，且|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，
又|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，
∴(2c)2＋＝，
∴＝，即e＝＝．
法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝．又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
(2)由题意知
解得由|PF1|＝aa＋c得e≥，又0　1．求椭圆的离心率的常见思路
一是先求a，c，再计算e；二是依据条件，结合有关知识和a，b，c的关系，构造关于e的方程，再求解；三是注意e＝，可以利用a，b直接求e，注意e的范围：02．注意特殊线段在解题中的应用
在求离心率的过程中，常用到一些特殊线段、特殊值，如过F1(－c，0)垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝，A等，解题中要善于总结，应用．
[跟进训练]
3．(1)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－ B．2－
C． D．－1
(2)已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________．
(1)D　(2)　[(1)在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，
则|PF2|＝c，|PF1|＝c，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴c＋c＝2a，
∴e＝＝＝－1，故选D．
(2)由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，
所以c≥b，即c2≥a2－c2，所以ac，
因为e＝，01．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F (1，0)，离心率为，则C的方程是(　　)
A．＝1　　　　　　 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
C　[依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且c＝1，e＝＝，则a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆的方程是＝1．]
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　　)
A．(－1，0)，(1，0) B．(0，－1)，(0，1)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
D　[椭圆方程可化为x2＋＝1，焦点在y轴上，长轴端点的坐标为(0，±)．]
3．设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
A　[由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝，解得a＝．故选A．]
4．与椭圆＝1有相同的离心率且长轴长与＝1的长轴长相等的椭圆的标准方程为________．
＝1或＝1　[椭圆＝1的离心率为e＝，椭圆＝1的长轴长为4．
所以解得a＝2，c＝，故b2＝a2－c2＝6．
又因为所求椭圆焦点既可在x轴上，也可在y轴上，故方程为＝1或＝1．]
5．若焦点在y轴上的椭圆＝1的离心率为，则m的值为________．
　[由题意知0所以m＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤．
[提示]　①化标准，把椭圆方程化成标准形式；
②定位置，根据标准方程中x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置；
③求参数，写出a，b的值，并求出c的值；
④写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质．
(2)试总结根据椭圆的几何性质，求其标准方程的思路．
[提示]　已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：
①确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；
②确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数a，b，c；
③写出标准方程．
(3)试总结求椭圆离心率的方法．
[提示]　①若已知a，c的值或关系，则可直接利用e＝求解；
②若已知a，b的值或关系，则可利用e＝＝求解；
③若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式进行求解．
课时分层作业(二十五)　椭圆的简单几何性质
一、选择题
1．椭圆3x2＋4y2＝12的长轴长、短轴长分别为(　　)
A．2，　　B．，2　　C．4，2　　D．2，4
C　[把3x2＋4y2＝12化成标准形式为＝1，得a2＝4，b2＝3，则长轴长为4，短轴长为2．]
2．已知椭圆C：＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　)
A． B． C． D．
C　[∵a2＝4＋22＝8，
∴a＝2，
∴e＝＝＝．]
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
D　[由＝1可知，
所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝5，故A，C不正确；
再将点(4，0)分别代入B，D检验可知，只有D选项符合题意．]
4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
A　[依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4．又因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为＝1．]
5．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A． B． C． D．
A　[以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，
所以C的离心率e＝＝．]
二、填空题
6．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．
　[依题意，得b＝3，a－c＝1．
又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，
∴椭圆的离心率为e＝＝．]
7．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝________．
4　[将椭圆方程化为标准形式为x2＋＝1，
所以长轴长为2，短轴长为2，
由题意得2＝2×2，解得m＝4．]
8．在平面直角坐标系xOy中，若椭圆E：＝1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E的离心率是________．
　[由题意知2b＝2c，即b＝c，
∴a2＝b2＋c2＝2c2，
∴＝，
∴e＝．]
三、解答题
9．如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，|AB|＝8，|BC|＝6，以A，B为焦点的椭圆经过点C，求椭圆的标准方程．
[解]　根据题意，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，
|AB|＝8且AB的中点为O，则A的坐标为(－4，0)，B的坐标为(4，0)，即椭圆中c＝4，则a2－b2＝16．
又由|BC|＝6，故C的坐标为(4，6)，椭圆经过点C，则有＝1，
解得a2＝64，b2＝48，故椭圆的标准方程为＝1．
10．(1)求与椭圆＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
[解]　(1)∵c＝＝，
∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．
设所求椭圆的方程为＝1(a>b>0)．
∵e＝＝，c＝，
∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＝1．
(2)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＝1(a>b>0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20．
∴所求椭圆的标准方程为＝1．
11．(多选题)如图，椭圆C1：＋y2＝1和C2：＋x2＝1的交点依次为A，B，C，D．则下列说法正确的是(　　)
A．四边形ABCD为正方形
B．阴影部分的面积大于3　
C．阴影部分的面积小于4　
D．四边形ABCD的外接圆方程为x2＋y2＝2
ABC　[根据曲线的对称性，可知四边形ABCD为正方形，选项A正确；
联立椭圆方程可得：
A，B，C，D，
正方形ABCD的面积为3，所以阴影部分的面积大于3，选项B正确；
由直线x＝±1，y＝±1 围成的正方形的面积为4，所以阴影部分的面积小于4，选项C正确；
四边形ABCD的外接圆方程为x2＋y2＝，选项D错误．]
12．已知椭圆＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
D　[在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2．将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，因为013．椭圆＝1(a>b>0)短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形．若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为________．
　[由椭圆＝1(a>b>0)短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积S＝bc，周长为2a＋2c．由题意可得S＝bc＝(2a＋2c)·，
得a＋c＝5c，
所以e＝＝，
因此该椭圆的离心率为．]
14．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．若点P为椭圆上任意一点，则·的取值范围是________．
＝1　[0，12]　[因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2．
因为离心率e＝，所以c＝1，b＝＝，
则椭圆的方程为＝1，
所以点A的坐标为(－2，0)，点F的坐标为(－1，0)．
设P(x，y)，则·＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2．
由椭圆的方程，得y2＝3－x2，
所以·＝x2＋3x－x2＋5＝(x＋6)2－4．
因为x∈[－2，2]，所以·∈[0，12]．]
15．设F1，F2分别是椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|．
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos ∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
[解]　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1．
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8．
故|AF2|＝8－3＝5．
(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k．
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．
在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝－2|AF2|·|BF2|·cos ∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k＞0，故a＝3k．
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k．
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，
所以椭圆E的离心率e＝＝．
1 / 13.1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
学习任务 核心素养
1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义．(重点) 2．能根据几何性质求椭圆方程，解决相关问题．(难点、易混点) 通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养．
已知椭圆C的方程为＋y2＝1，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出椭圆C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出椭圆C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出椭圆C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
知识点　椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＝1(a＞b＞0) _________(a>b>0)
范围 __________ __________
对称性 对称轴为______，对称中心为____
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长|B1B2|＝___，长轴长|A1A2|＝___
焦点 ____________________________ ____________________________
焦距 |F1F2|＝___
离心率 e＝∈__________
(1)离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为(　　)
A．＝1　　　　　　 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)已知椭圆＝1，则椭圆的离心率e＝_____．
类型1　由椭圆方程研究其几何性质
【例1】　(1)椭圆＝1(a＞b＞0)与椭圆＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　)
A．相同的焦点　　　　　 B．相同的顶点
C．相同的离心率 D．相同的长、短轴
(2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根据椭圆的标准方程研究其几何性质的基本步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c．
(4)写出椭圆的几何性质．
[跟进训练]
1．已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　由椭圆的几何性质求其标准方程
【例2】　【链接教材P124例4】
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同的离心率．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
[跟进训练]
2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为________．
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
类型3　求椭圆的离心率
【例3】　(1)设椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知P为椭圆＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
离心率e＝＝，因此建立a，b，c中两个量之间的关系式就可以求离心率或其范围，由此思考根据条件如何建立关系式．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．求椭圆的离心率的常见思路
一是先求a，c，再计算e；二是依据条件，结合有关知识和a，b，c的关系，构造关于e的方程，再求解；三是注意e＝，可以利用a，b直接求e，注意e的范围：02．注意特殊线段在解题中的应用
在求离心率的过程中，常用到一些特殊线段、特殊值，如过F1(－c，0)垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝，A等，解题中要善于总结，应用．
[跟进训练]
3．(1)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－ B．2－
C． D．－1
(2)已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________．
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F (1，0)，离心率为，则C的方程是(　　)
A．＝1　　　　　　 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　　)
A．(－1，0)，(1，0) B．(0，－1)，(0，1)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
3．设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
4．与椭圆＝1有相同的离心率且长轴长与＝1的长轴长相等的椭圆的标准方程为________．
5．若焦点在y轴上的椭圆＝1的离心率为，则m的值为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤．
(2)试总结根据椭圆的几何性质，求其标准方程的思路．
(3)试总结求椭圆离心率的方法．
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