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第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
学习任务 核心素养
1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点) 2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点) 1．通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养． 2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养．
类比点与圆的位置关系，点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)有怎样的位置关系？
知识点1　点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上；
点P在椭圆内部；
点P在椭圆外部．
1．(1)点P(2，1)与椭圆＝1的位置关系是________．
(2)若点A(a，1)在椭圆＝1的内部，则a的取值范围是________．
类比直线与圆的位置关系及判断方法，直线与椭圆有哪几种位置关系？如何判断？
知识点2　直线与椭圆的位置关系
(1)判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆____；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆____；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆____．
(2)弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝，
所以|AB|＝
＝
＝，
或|AB|＝
＝
＝，
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得．
2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大． (　　)
(2)已知椭圆＝1(a>b>0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线． (　　)
(3)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＝1的位置关系是相交． (　　)
类型1　直线与椭圆的位置关系
【例1】　【链接教材P125例5】
已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　直线与椭圆位置关系的判断方法
[跟进训练]
1．在平面直角坐标系Oxy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　弦长和中点弦问题
【例2】　过椭圆＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求此弦长．
弦的中点坐标已知，则弦的两端点的横(纵)坐标之和可求，由此思考解决问题的方法．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．本例中把条件改为“点M(2，1)是直线x＋2y－4＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．把本例条件中“使弦被M点平分去掉”，其他条件不变，求弦的中点P的轨迹方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
①设点——设出弦的两端点坐标；
②代入——代入圆锥曲线方程；
③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开；
④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
[跟进训练]
2．已知斜率为2的直线l经过椭圆＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　直线与椭圆的最短距离问题
【例3】　在椭圆＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题．此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解．
[跟进训练]
3．在椭圆x2＋8y2＝8上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
[解]　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
由消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
它们之间的距离即为所求最短距离，且x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P．
故所求最短距离为d＝＝．
由得即P．
类型4　与椭圆有关的综合问题
【例4】　已知椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值．
[解]　(1)由题意可得M(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得a2＝1，b＝c，且a2－b2＝c2，解得b＝c＝1，a＝，则椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立 3x2－4mx＋2m2－2＝0，
有Δ＝16m2－12(2m2－2)>0，
即－x1＋x2＝，x1x2＝，可得AB中点横坐标为，
|AB|＝·
＝·＝，
以AB为直径的圆与y轴相切，
可得半径r＝|AB|＝，
即＝，解得m＝±∈(－)，则m的值为±．
　解决直线和椭圆综合问题的注意点
(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论．
(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单．
(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．
[跟进训练]
4．椭圆E：＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，且离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(4，0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若点P(a，1)在椭圆＝1的外部，则a的取值范围为(　　)
A．
B．
C．
D．
2．(教材P127习题3.1T7改编)已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A．相离　　B．相切　　C．相交　　D．相交或相切
3．已知F是椭圆＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　　)
A．6　　　　B．15　　　　C．20　　　　D．12
4．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是________．
5．已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为______．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？
(2)当直线与椭圆相交时，试写出弦长公式．
(3)如何处理椭圆的中点弦问题？
1 / 1第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
学习任务 核心素养
1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点) 2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点) 1．通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养． 2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养．
类比点与圆的位置关系，点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)有怎样的位置关系？
知识点1　点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上；
点P在椭圆内部；
点P在椭圆外部．
1．(1)点P(2，1)与椭圆＝1的位置关系是________．
(2)若点A(a，1)在椭圆＝1的内部，则a的取值范围是________．
(1)点P在椭圆外部　(2)(－)　[(1)由>1知，点P(2，1)在椭圆的外部．
(2)∵点A在椭圆内部，
∴＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜．]
类比直线与圆的位置关系及判断方法，直线与椭圆有哪几种位置关系？如何判断？
知识点2　直线与椭圆的位置关系
(1)判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
(2)弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝，
所以|AB|＝
＝
＝·，
或|AB|＝
＝
＝，
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得．
2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大． (　　)
(2)已知椭圆＝1(a>b>0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线． (　　)
(3)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＝1的位置关系是相交． (　　)
[提示]　(1)根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．
(2)因为P(b，0)在椭圆内部，过点P作不出椭圆的切线．
(3)直线y＝k(x－a)(k≠0)过点(a，0)且斜率存在，所以直线y＝k(x－a)与椭圆＝1的位置关系是相交．
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
类型1　直线与椭圆的位置关系
【例1】　【链接教材P125例5】
已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
[解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，
得9x2＋8mx＋2m2－4＝0．①
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144．
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
【教材原题·P125例5】
例5　对不同的实数m，讨论直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋y2＝1的公共点的个数．
分析　判断直线与椭圆的公共点的个数，即判断由直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解的个数．
[解]　由
消去y并整理得
5x2＋8mx＋4m2－4＝0．③
此方程的实数解的个数由它的判别式Δ决定，
Δ＝(8m)2－4×5×(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－0，方程③有两个不相等的实数根，代入方程①可得到两个不同的公共点坐标．此时，直线l与椭圆有两个公共点，即它们相交．
当m＝－或m＝时，Δ＝0，方程③有两个相等的实数根，代入方程①可得到一个公共点坐标．此时，直线l与椭圆有一个公共点．观察图象可知，它们在这一点相切．
当m<－或m>时，Δ<0，方程③没有实数根．此时，直线l与椭圆没有公共点，即它们相离．
综上可得：
当－当m＝－或m＝时，直线l与椭圆有一个公共点；
当m<－或m>时，直线l与椭圆没有公共点．
直线l与椭圆C的位置关系如图3.1-6所示．
　直线与椭圆位置关系的判断方法
[跟进训练]
1．在平面直角坐标系Oxy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
[解]　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，
解得k<－或k>，所以k的取值范围为．
类型2　弦长和中点弦问题
【例2】　过椭圆＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求此弦长．
弦的中点坐标已知，则弦的两端点的横(纵)坐标之和可求，由此思考解决问题的方法．
[解]　(1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0．
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝．
又M为AB的中点，∴＝＝2，
解得k＝－．
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．
法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
又M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2．
又A，B两点在椭圆上，
则＝＝16．
两式相减得＝0．
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0．
∴＝－＝－，即kAB＝－．
又直线AB过点M(2，1)，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4x＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，
∴|AB|＝·
＝·＝2．
[母题探究]
1．本例中把条件改为“点M(2，1)是直线x＋2y－4＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．
[解]　设直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2．
由＝1和＝1，
得＝－，
∴k＝＝．
又x＋2y－4＝0的斜率为－，∴＝．
∴椭圆的离心率为e＝＝＝＝．
2．把本例条件中“使弦被M点平分去掉”，其他条件不变，求弦的中点P的轨迹方程．
[解]　设弦的中点为P(x，y)，两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则
∴＝－，
从而kl＝＝．
又kl＝kPM＝，∴＝．
整理得x2＋4y2－2x－4y＝0．
故轨迹方程为x2＋4y2－2x－4y＝0．(椭圆内的部分)
　用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
①设点——设出弦的两端点坐标；
②代入——代入圆锥曲线方程；
③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开；
④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
[跟进训练]
2．已知斜率为2的直线l经过椭圆＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
[解]　因为直线l过椭圆＝1的右焦点F1(1，0)，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0．
法一：解方程组
得交点A(0，－2)，B，
所以|AB|＝
＝
＝＝．
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组
消去y得3x2－5x＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝0．
所以|AB|＝
＝
＝
＝＝．
类型3　直线与椭圆的最短距离问题
【例3】　在椭圆＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
[解]　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，
代入＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
由Δ＝9m2－16(m2－7)＝0，
得m2＝16，∴m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，显然y＝x－4，即3x－2y－8＝0距l最近，
它们之间的距离即为所求最短距离，且y＝x－4与椭圆的切点即为所求点P．
故所求最短距离为
d＝＝＝．
由得即P．
　本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题．此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解．
[跟进训练]
3．在椭圆x2＋8y2＝8上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
[解]　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
由消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
它们之间的距离即为所求最短距离，且x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P．
故所求最短距离为d＝＝．
由得即P．
类型4　与椭圆有关的综合问题
【例4】　已知椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值．
[解]　(1)由题意可得M(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得a2＝1，b＝c，且a2－b2＝c2，解得b＝c＝1，a＝，则椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立 3x2－4mx＋2m2－2＝0，
有Δ＝16m2－12(2m2－2)>0，
即－x1＋x2＝，x1x2＝，可得AB中点横坐标为，
|AB|＝·
＝·＝，
以AB为直径的圆与y轴相切，
可得半径r＝|AB|＝，
即＝，解得m＝±∈(－)，则m的值为±．
　解决直线和椭圆综合问题的注意点
(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论．
(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单．
(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．
[跟进训练]
4．椭圆E：＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，且离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(4，0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝2，又e＝＝，得c＝．
由a2－b2＝c2得b2＝a2－c2＝2．
∴所求椭圆E的方程为＝1．
(2)若存在点Q(m，0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°，
则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2．
等价于k1＋k2＝0．
依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)．
由
得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0．
因为直线l与椭圆C有两个交点，所以Δ＞0．
即(－16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，解得k2＜．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，
令k1＋k2＝＝0，
(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0，
当k≠0时，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0，
化简得＝0，所以m＝1．
当k＝0时，也成立．
所以存在点Q(1，0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°．
1．若点P(a，1)在椭圆＝1的外部，则a的取值范围为(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[由题意知>1，即a2>，解得a>或a<－．]
2．(教材P127习题3.1T7改编)已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A．相离　　B．相切　　C．相交　　D．相交或相切
A　[把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，
得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0．
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离．]
3．已知F是椭圆＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　　)
A．6　　　　B．15　　　　C．20　　　　D．12
D　[由可知a＝5，b＝3，c＝＝4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则S＝|OF|·|y1－y2||OF|·2b＝12．]
4．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是________．
　[由消去y，得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，
即－4m2＋5≥0，解得－m．]
5．已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为______．
8　[根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？
[提示]　三种位置关系：相交、相切、相离．
解直线方程与椭圆方程组成的方程组，通过解的个数判断位置关系，当方程组有两个解(Δ>0)时，直线与椭圆相交，当方程组有一个解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切，当方程组无解(Δ<0)时，直线与椭圆相离．
(2)当直线与椭圆相交时，试写出弦长公式．
[提示]　|AB|＝·
＝·．
(3)如何处理椭圆的中点弦问题？
[提示]　①根与系数的关系法：联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉其中的一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解．
②点差法：设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．即“设而不求”思想，这也是此类问题最常用的方法．
课时分层作业(二十六)　椭圆的标准方程及性质的应用
一、选择题
1．若直线y＝x＋2与椭圆＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(1，＋∞)　 B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3，0) D．(1，3)
B　[由消去y，
整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0．
若直线与椭圆有两个公共点，
则
解得
由＝1表示椭圆，知m>0且m≠3．
综上可知，m>1且m≠3，故选B．]
2．(多选题)若直线y＝kx＋2与椭圆＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A．　　　B．－　　　C．－　　D．
AB　[由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±．]
3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　)
A． B． C． D．
B　[易求得直线AB的方程为y＝(x＋)．
由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．
由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝．]
4．在椭圆＝1内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　)
A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0
C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0
C　[设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＝＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2，
因此＝－，所求直线的斜率是－，
弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，
即9x＋16y－25＝0，故选C．]
5．若直线y＝kx＋1与椭圆＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1 B．m>0
C．0D　[法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，
所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，
则0<1且m≠5，
故m≥1且m≠5．
法二：由
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0．
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5．]
二、填空题
6．直线y＝x＋2交椭圆＝1于A，B两点，若|AB|＝3，则m的值为________．
12　[由椭圆＝1，则顶点为(0，2)，而直线y＝x＋2也过(0，2)，所以A(0，2)为直线与椭圆的一个交点，设B(xB，yB)，
则|AB|＝＝|xB－xA|＝|xB|＝3，解得xB＝±3，所以B(－3，－1)或B(3，5)(舍去)，把B(－3，－1)代入椭圆方程得＝1，故m＝12．]
7．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．
2　[由题意可设椭圆的方程为＝1(a>2)，
与直线方程x＋y＋4＝0联立，
得4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
由Δ＝0，得a＝，
所以椭圆的长轴长为2．]
8．已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．
＝1　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝
两式相减得＝0，即＝0 ＝0，即a2＝2b2，
又c2＝9，a2＝b2＋c2，解得：a2＝18，b2＝9，所以椭圆的方程是＝1．]
三、解答题
9．(源自苏教版教材)我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(长轴端点中离地面最近的点)距地面439 km，远地点B(长轴端点中离地面最远的点)距地面2 384 km，AB是椭圆的长轴，地球的半径约为6 371 km，求卫星运行的轨道方程．
[解]　如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，AB与地球交于C，D两点．设椭圆方程为
＝1(a＞b＞0)．
由题意知
AC＝439，BD＝2 384，F2C＝F2D＝6 371．
a－c＝OA－OF2＝F2A＝439＋6 371＝6 810，
a＋c＝OB＋OF2＝F2B＝2 384＋6 371＝8 755．
解得a＝7 782.5，c＝972.5，
从而b＝＝≈7 722．
因此，卫星运行轨道的方程是
＝1．
10．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求实数k的值．
[解]　(1)由题意得
解得c＝，b＝，
所以椭圆C的方程为＝1．
(2)由
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝|x1－x2|
＝
＝，
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d
＝，
由＝，
化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1．
11．椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为(　　)
A． B．±
C． D．±
B　[根据椭圆的离心率为，得＝，
由x0＝b，得＝b2＝，
所以y0＝±，所以k＝＝±＝±．]
12．以F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
C　[由题意设椭圆方程为＝1，
得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，
由Δ≥0得b2≥4，
所以b2的最小值为4，
由e＝＝，
则当b2＝4时，e取最大值，此时椭圆方程为＝1，故选C．]
13．已知斜率为2的直线l被椭圆＝1截得的弦长为，则直线l的方程为________．
y＝2x±　[设直线l的方程为y＝2x＋m，与椭圆交于A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y并整理得14x2＋12mx＋3(m2－2)＝0，
所以x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2－2)．
由弦长公式得
|AB|＝·
＝·＝，
解得m＝±，
所以直线l的方程为y＝2x±．]
14．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________．
　[法一：设直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y得＋(x＋t)2＝1，
整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0．
∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0，
∴－设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝．
∴|AB|＝
＝
＝．
当t＝0时，|AB|为最大，即|AB|max＝．
法二：根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，
将y＝x代入＋y2＝1得交点坐标为A和B，
故|AB|＝．]
15．设椭圆＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，下顶点为B，过A，O，B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标．
[解]　(1)依题意知A(a，0)，B(0，－b)，
∵△AOB为直角三角形，∴过A，O，B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，
∴＝，－＝－，即a＝，b＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1．
(2)由(1)知B(0，－1)，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，
设直线BN的方程为y＝kx－1(k＜0)，
则直线BM的方程为y＝－x－1，
由消去y得(1＋3k2)x2－6kx＝0，
解得：xN＝，yN＝kxN－1，
∴|BN|＝＝
＝|xN|＝·，
在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k，即M(－k，0)，
∴|BM|＝，
在Rt△MBN中，∵∠BMN＝60°，∴|BN|＝|BM|，
即·＝·，
整理得3k2－2|k|＋1＝0，
解得|k|＝，∵k＜0，∴k＝－，∴点M的坐标为．
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