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3.2　双曲线
3.2.1　双曲线的标准方程
学习任务 核心素养
1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过对双曲线概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象等素养．
做下面一个实验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
知识点1　双曲线的定义
文字 语言 平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线
符号 语言 ||PF1|－|PF2||＝正常数(正常数＜|F1F2|)
焦点 两个定点F1，F2
焦距 两个焦点之间的距离|F1F2|
1．(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)双曲线的右支．
1．(1)已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(　　)
A．充分条件　　　　　 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)平面内到点F1(6，0)的距离减去到点F2(－6，0)的距离之差等于12的点的集合是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
(1)B　(2)D　[(1)根据双曲线的定义知甲 / 乙，乙 甲，因此甲是乙的必要条件，故选B．
(2)设动点为P，则|PF1|－|PF2|＝12＝|F1F2|，点P的轨迹为以F2为端点的一条射线，故选D．]
知识点2　双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
2．如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在的坐标轴？
[提示]　双曲线的焦点在x轴上 标准方程中x2项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上 标准方程中y2项的系数为正，即“焦点跟着正的跑”．这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法．
2．(1)若双曲线方程为＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________．
(2)已知a＝5，c＝10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为________．
(1)x　(6，0)和(－6，0)　(2)＝1　[(1)因为方程中x2的系数>0，所以焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝20，从而c2＝16＋20＝36，c＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．
(2)由已知得b2＝c2－a2＝75，于是双曲线的标准方程为＝1．]
类型1　双曲线定义的应用
【例1】　若F1，F2是双曲线＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解]　(1)由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则c2＝25，∴a＝3，b＝4，c＝5．
设|MF1|＝7，则根据双曲线的定义知
||MF2|－7|＝6，即|MF2|－7＝±6．
解得|MF2|＝13，或|MF2|＝1，
又|MF2|＝1因此，点M到另一个焦点的距离为13．
(2)由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝×64×＝16．
　求双曲线中焦点△PF1F2面积的两种方法
(1)方法一：(先求|PF1|·|PF2|的值)
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式＝求得面积．
(2)方法二：利用公式＝×|F1F2|×|yp|(yp为P点的纵坐标)求得面积．
提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2与|PF1|·|PF2|的关系．
[跟进训练]
1．(1)已知双曲线C的方程是＝1，其上、下焦点分别是F2，F1，点M在双曲线C上，且|MF1|＝9，则|MF2|等于(　　)
A．17 B．1 C．17或1 D．16或1
(2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8 C．24 D．48
(1)A　(2)C　[(1)由双曲线方程知a2＝16，b2＝20，则c2＝36，∴a＝4，b＝2，c＝6．
根据双曲线的定义得||MF2|－9|＝8，即|MF2|－9＝±8，
解得|MF 2|＝17或|MF2|＝1，
又|MF2|＝1(2)由题意得
解得|PF1|＝8，|PF2|＝6．
在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴＝|PF1||PF2|＝24．]
类型2　求双曲线的标准方程
【例2】　【链接教材P131例2】
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9．故所求双曲线的标准方程为＝1．
(2)双曲线＝1的焦点在x轴，
因此设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．①
∵双曲线经过点(3，2)，∴＝1．②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为＝1．
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0．
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为＝1．
【教材原题·P131例2】
例2　已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，求该双曲线的标准方程．
[解]　由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为＝1(a>0，b>0)．
已知焦点F1，F2及双曲线上一点P，由双曲线的定义可知
2a＝|PF2|－|PF1|＝－3＝5－3＝2，
因此a＝1．
又因为c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3．
因此，所求双曲线的标准方程为y2－＝1．
　用待定系数法求双曲线方程的步骤
(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
[跟进训练]
2．(1)已知动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离之差等于6，则P点的轨迹方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1(x－3) D．＝1(x≥3)
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
(1)D　(2)＝1　[(1)由题意知|PA|－|PB|＝6，则点P的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支，且2a＝6，c＝5，所以b2＝c2－a2＝52－32＝42＝16，
所以点P的轨迹方程为＝1(x≥3)，故选D．
(2)设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2，2)代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为＝1．]
类型3　方程表示双曲线的条件
【例3】　【链接教材P131例3】
给出方程＝1．
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[解]　(1)方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0，
即(k＋4)(k－1)>0，解得k>1或k<－4，
因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．
(2)方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有
解得k<－4，因此实数k的取值范围是(－∞，－4)．
【教材原题·P131例3】
例3　已知方程＝1．
(1)若方程表示双曲线，求a的取值范围；
(2)试说明(1)中的双曲线有共同的焦点．
[解]　(1)方程表示双曲线，则(4＋a)(5＋a)<0．
解得－5因此，当－5(2)由(1)可知，双曲线的焦点在y轴上，且c2＝5＋a＋(－4－a)＝1．
所以，方程表示的双曲线的焦点坐标为(0，1)，(0，－1)，显然与方程中的a无关，因此(1)中的双曲线有共同的焦点．
　方程表示双曲线的条件
(1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
[跟进训练]
3．(1)已知方程＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
(2)椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则a＝________．
(1)(－1，1)　(2)1　[(1)由题意得(1＋k)(1－k)>0，即(k＋1)(k－1)<0，
解得－1(2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a>0)．
由椭圆方程，知c2＝4－a2，
所以a＋2＝4－a2，
即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．
因此a的值为1．]
类型4　与双曲线有关的轨迹问题
【例4】　如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
在△ABC中，由2sin A＋sin C＝2sin B能得到什么结论？由此思考动点C满足的条件，进而求出轨迹方程．
[解]　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，
∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|．
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为＝1(x>a)，
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6．
即所求轨迹方程为＝1(x>)．
　求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种
(1)列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
[跟进训练]
4．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解]　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1．
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4．
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|．
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝．
故动圆圆心M的轨迹方程为＝1．
1．已知F1(－5，0)，F2(5，0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为(　　)
A．双曲线和一条直线
B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线
D．双曲线的一支和一条射线
D　[因为|F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝2a，所以当a＝3时，2a＝6<|F1F2|，轨迹为双曲线的一支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，轨迹为一条射线．]
2．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A．　B．　C．　D．(，0)
C　[将双曲线方程化为标准形式x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，于是c＝＝，故右焦点坐标为．]
3．“k>9”是“方程＝1表示双曲线”的(　　)
A．充要条件　　　　　 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件
B　[当k>9时，9－k<0，k－4>0，方程表示双曲线．当k<4时，9－k>0，k－4<0，方程也表示双曲线．所以“k>9”是“方程＝1表示双曲线”的充分而不必要条件．]
4．已知双曲线＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，设另一个焦点为F2，点P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．(用数值表示)
17或1　[由题意知，双曲线＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，所以c＝5，
又由a 2＝c2－b2＝25－9＝16，所以a＝4，
因为点P为双曲线上一点，且|PF1|＝9，
根据双曲线的定义可知||PF2|－|PF1||＝2a＝8，
所以|PF2|＝17，或|PF2|＝1．]
5．设双曲线与椭圆＝1有共同的焦点，且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4，则双曲线的标准方程为________．
＝1　[由椭圆方程得焦点坐标为(0，±3)，椭圆与双曲线的一个公共点为(，4)．
设所求的双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为＝1．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程．
[提示]　平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．
标准方程：＝1(a>0，b>0)和＝1(a>0，b>0)．
(2)方程＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n满足什么条件？
[提示]　①若表示双曲线，则满足mn>0．
②若表示焦点在x轴上的双曲线，则满足
③若表示焦点在y轴上的双曲线，则满足
(3)双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|，|PF2|的最小值分别是多少？
[提示]　|PF1|的最小值为c－a，|PF2|的最小值为a＋c．
(4)定义法求双曲线方程时，如何确定点的轨迹是双曲线，还是双曲线的一支？
[提示]　根据条件看是|PF1|－|PF2|＝2a还是||PF1|－|PF2||＝2a，
若|PF1|－|PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a，点的轨迹是双曲线的一支，
若||PF1|－|PF2||＝2a，则点的轨迹是双曲线．
课时分层作业(二十七)　双曲线的标准方程
一、选择题
1．已知平面内两定点F1(－2，0)，F2(2，0)，下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝±3
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
A　[当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以点P的轨迹是双曲线．故选A．]
2．已知双曲线＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　)
A．　　　　B．5　　　　C．7　　　　D．
D　[根据题意可知，双曲线的标准方程为＝1．
由其焦距为4，得c＝2，
则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝．]
3．已知双曲线＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　)
A．3或7 B．6或14 C．3 D．7
A　[连接ON(图略)，则ON是△PF1F2的中位线，
∴|ON|＝|PF2|，
∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，
∴|PF2|＝14或6，
∴|ON|＝|PF2|＝7或3．]
4．已知双曲线的一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程是(　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．＝1 D．＝1
B　[由线段PF1的中点坐标为(0，2)知P(，4)，
设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，
则有解得所以双曲线的标准方程为x2－＝1．故选B．]
5．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
C　[由
(|PF1|－|PF2|)2＝16，
即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1．故选C．]
二、填空题
6．若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________．
(2，＋∞)　[由题意知解得m>2．]
7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5．若2a＝8，那么△ABF2的周长是________．
26　[根据双曲线定义知，|AF2|－|AF1|＝8，|BF2|－|BF1|＝8．所以|AF2|＋|BF2|＝16＋|AF1|＋|BF1|＝16＋|AB|＝16＋5＝21．所以△ABF2的周长是|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26．]
8．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
x2－＝1　[设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)．
由题意得B(2，0)，C(2，3)，
所以解得
所以双曲线的标准方程为x2－＝1．]
三、解答题
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型．
[解]　(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
10．设声速为k米/秒，在相距10k米的A，B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差为6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．
[解]　以直线AB为x轴，线段AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系．
设炮弹爆炸点的轨迹上的点P的坐标为(x，y)，
则||PA|－|PB||＝6k<10k，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝6k，2c＝10k，
从而a＝3k，c＝5k，b2＝c2－a2＝16k2．
所以炮弹爆炸点的轨迹方程为＝1．
11．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　)
A．双曲线的一支 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
A　[设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1(0，0)和O2(4，0)，半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得
|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2．
∴|MO2|－|MO1|＝1，
又|O1O2|＝4，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．]
12．已知P为双曲线＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＝＋8，则△MF1F2的面积为(　　)
A．2 B．10 C．8 D．6
B　[设△PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5．因为＝＋8，所以(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，所以＝·2c·R＝10．故选B．]
13．已知双曲线C：x2－＝1的左焦点为F1，点Q(0，2)，P是双曲线C右支上的动点，则|PF1|＋|PQ|的最小值等于________．
6　[设双曲线的右焦点为F2，如图，连接PF2，QF2．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝|PF2|＋2，所以|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋|PQ|＋2≥|QF2|＋2，而Q(0，2)，F2(2，0)，所以|QF2|＝＝4，所以要求的最小值为6．]
14．在△ABC中，A(－5，0)，B(5，0)，点C在双曲线＝1上，则＝________．
±　[在△ABC中，sin A＝，sin B＝，sin C＝＝，R为△ABC外接圆的半径，
∴＝．
又∵|BC|－|AC|＝±8，
∴＝±＝±．]
15．已知△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
[解]　设顶点A的坐标为(x，y)，则
kAB＝，kAC＝．
由题意，得·＝m，
即＝1(y≠0，m≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)．
1 / 13.2　双曲线
3.2.1　双曲线的标准方程
学习任务 核心素养
1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过对双曲线概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象等素养．
做下面一个实验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
知识点1　双曲线的定义
文字 语言 平面上到两个定点F1，F2的距离____________为正常数(小于__________)的点的轨迹叫作双曲线
符号 语言 ||PF1|－|PF2||＝正常数(正常数＜|F1F2|)
焦点 两个定点F1，F2
焦距 两个焦点之间的距离|F1F2|
1．(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(1)已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(　　)
A．充分条件　　　　　 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)平面内到点F1(6，0)的距离减去到点F2(－6，0)的距离之差等于12的点的集合是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
知识点2　双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) ____________________________
a，b，c的关系 c2＝________
2．如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在的坐标轴？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(1)若双曲线方程为＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________．
(2)已知a＝5，c＝10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为________．
类型1　双曲线定义的应用
【例1】　若F1，F2是双曲线＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求双曲线中焦点△PF1F2面积的两种方法
(1)方法一：(先求|PF1|·|PF2|的值)
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式＝求得面积．
(2)方法二：利用公式＝×|F1F2|×|yp|(yp为P点的纵坐标)求得面积．
提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2与|PF1|·|PF2|的关系．
[跟进训练]
1．(1)已知双曲线C的方程是＝1，其上、下焦点分别是F2，F1，点M在双曲线C上，且|MF1|＝9，则|MF2|等于(　　)
A．17 B．1 C．17或1 D．16或1
(2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8 C．24 D．48
类型2　求双曲线的标准方程
【例2】　【链接教材P131例2】
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用待定系数法求双曲线方程的步骤
(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
[跟进训练]
2．(1)已知动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离之差等于6，则P点的轨迹方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1(x－3) D．＝1(x≥3)
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
类型3　方程表示双曲线的条件
【例3】　【链接教材P131例3】
给出方程＝1．
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　方程表示双曲线的条件
(1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
[跟进训练]
3．(1)已知方程＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
(2)椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则a＝________．
类型4　与双曲线有关的轨迹问题
【例4】　如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
在△ABC中，由2sin A＋sin C＝2sin B能得到什么结论？由此思考动点C满足的条件，进而求出轨迹方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种
(1)列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
[跟进训练]
4．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知F1(－5，0)，F2(5，0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为(　　)
A．双曲线和一条直线
B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线
D．双曲线的一支和一条射线
2．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A．　B．　C．　D．(，0)
3．“k>9”是“方程＝1表示双曲线”的(　　)
A．充要条件　　　　　 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知双曲线＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，设另一个焦点为F2，点P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．(用数值表示)
5．设双曲线与椭圆＝1有共同的焦点，且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4，则双曲线的标准方程为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程．
(2)方程＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n满足什么条件？
(3)双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|，|PF2|的最小值分别是多少？
(4)定义法求双曲线方程时，如何确定点的轨迹是双曲线，还是双曲线的一支？
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