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3.2.2　双曲线的简单几何性质
学习任务 核心素养
1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点) 1．通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算素养． 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理等素养．
已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；
(4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点．
知识点1　双曲线的几何性质
(1)双曲线的几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x－a _________
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：______________，____________
轴长 实轴长：2a　　　虚轴长：___
渐近线 y＝±x y＝___
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c的关系 c2＝________(c>a>0，c>b>0)
(2)双曲线的中心和等轴双曲线
①双曲线的中心
双曲线的________叫作双曲线的中心．
②等轴双曲线
____和____等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为______，离心率为．
1．双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)双曲线＝1与＝1(a>0，b>0)的形状相同． (　　)
(2)双曲线＝1与＝1(a>0，b>0)的渐近线相同． (　　)
(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关． (　　)
(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线． (　　)
2．双曲线＝1的顶点坐标是(　　)
A．(±5，0)　　　　　　 B．(±5，0)或(0，±3)
C．(±4，0) D．(±4，0)或(0，±3)
知识点2　直线与双曲线的位置关系
将y＝kx＋m与＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0．
Δ的取值 位置关系 交点个数
k＝±时(此时m≠0) 相交 只有____交点
k≠±且Δ＞0 有____交点
k≠±且Δ＝0 相切 只有____交点
k≠±且Δ＜0 相离 ____公共点
2．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线相切吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．过点(0，b)的直线和双曲线＝1(a>0，b>0)只有一个公共点，这样的直线有几条？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型1　根据双曲线方程研究其几何性质
【例1】　(1)双曲线＝1的左顶点到其渐近线的距离为(　　)
A．2　　　　B．　　　　C．　　　　D．3
(2)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(3)已知双曲线＝1(a>0)的一条渐近线为y＝x，则实数a＝________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由双曲线方程研究几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定a，b的值是关键．
(2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程．
(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长．
(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．
如过双曲线＝1的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝．
(5)双曲线中c2＝a2＋b2，易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆．
[跟进训练]
1．(1)若双曲线－y2＝1(a>0)的离心率为2，则其实轴长为(　　)
A． B．2 C．　　　D．
(2)若双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)
A．－ B．－4 C．4　 　　D．
类型2　由双曲线的几何性质求其标准方程
【例2】　求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
[跟进训练]
2．求适合下列条件的双曲线的方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　求双曲线的离心率
【例3】　(1)设F为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．2　　　　D．
(2)已知F为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求解双曲线离心率的方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
[跟进训练]
3．(1)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．
(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F (c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率为________．
类型4　直线与双曲线的位置关系
【例4】　已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
类比直线和椭圆的位置关系的判断方法，如何判断直线和双曲线的位置关系？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
2．双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
3．注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
[跟进训练]
4．已知双曲线－y2＝1，求过点A(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选题)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)
A．实轴长为8　　　　　 B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为
2．若双曲线－y2＝1的焦距为8，则实数m的值是(　　)
A．　　　B．　　　C．15　　　D．17
3．点(3，0)到双曲线＝1的一条渐近线的距离为(　　)
A． B． C． D．
4．已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是________．
5．若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何根据双曲线的方程研究其几何性质？
(2)离心率e和有怎样的关系？
(3)如何用待定系数法设出与双曲线＝1有相同渐近线的双曲线方程？
(4)直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式与直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同？你能写出来吗？
1 / 13.2.2　双曲线的简单几何性质
学习任务 核心素养
1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点) 1．通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算素养． 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理等素养．
已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；
(4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点．
知识点1　双曲线的几何性质
(1)双曲线的几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x－a y－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长 实轴长：2a　　　虚轴长：2b
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
(2)双曲线的中心和等轴双曲线
①双曲线的中心
双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．
②等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为．
1．双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？
[提示]　以双曲线＝1(a>0，b>0)为例．
e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)双曲线＝1与＝1(a>0，b>0)的形状相同． (　　)
(2)双曲线＝1与＝1(a>0，b>0)的渐近线相同． (　　)
(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关． (　　)
(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线． (　　)
[提示]　(1)双曲线＝1与＝1(a>0，b>0)的位置不一样，但是形状相同．
(2)双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x；双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x．
(3)等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x．
(4)等轴双曲线的离心率是．
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．双曲线＝1的顶点坐标是(　　)
A．(±5，0)　　　　　　 B．(±5，0)或(0，±3)
C．(±4，0) D．(±4，0)或(0，±3)
A　[双曲线顶点在x轴上，且a＝5，故选A．]
知识点2　直线与双曲线的位置关系
将y＝kx＋m与＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0．
Δ的取值 位置关系 交点个数
k＝±时(此时m≠0) 相交 只有一个交点
k≠±且Δ＞0 有两个交点
k≠±且Δ＝0 相切 只有一个交点
k≠±且Δ＜0 相离 没有公共点
2．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线相切吗？
[提示]　不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但直线与双曲线相交．
3．过点(0，b)的直线和双曲线＝1(a>0，b>0)只有一个公共点，这样的直线有几条？
[提示]　4条，其中两条切线，两条与渐近线平行的直线．
类型1　根据双曲线方程研究其几何性质
【例1】　(1)双曲线＝1的左顶点到其渐近线的距离为(　　)
A．2　　　　B．　　　　C．　　　　D．3
(2)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(3)已知双曲线＝1(a>0)的一条渐近线为y＝x，则实数a＝________．
(1)C　(2)C　(3)1　[(1)由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则a＝3，b＝4，c＝5，
从而双曲线左顶点A1(－3，0)，渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0，
则左顶点到渐近线的距离d＝＝，故选C．
(2)由e2＝1＋得＝1＋，
∴＝，即＝，
又双曲线的焦点在x轴上，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选C．
(3)由双曲线方程知，双曲线的焦点在x轴上，则＝2，
即a2＝1，∴a＝±1，又a>0，∴a＝1．]
　由双曲线方程研究几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定a，b的值是关键．
(2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程．
(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长．
(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．
如过双曲线＝1的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝．
(5)双曲线中c2＝a2＋b2，易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆．
[跟进训练]
1．(1)若双曲线－y2＝1(a>0)的离心率为2，则其实轴长为(　　)
A． B．2 C．　　　D．
(2)若双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)
A．－ B．－4 C．4　 　　D．
(1)D　(2)A　[(1)由题意得e2＝1＋，即1＋＝4，解得a＝，则实轴长为，故选D．
(2)将双曲线方程化为标准形式为y2－＝1，则有a2＝1，b2＝－．由题意知，2＝，∴m＝－．]
类型2　由双曲线的几何性质求其标准方程
【例2】　求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
[解]　(1)设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，
∴＝．
由题意得解得
∴所求双曲线的标准方程为＝1．
(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
则＝． ①
∵点A(2，－3)在双曲线上，
∴＝1． ②
①②联立，无解．
当焦点在y轴上时，设所求方程为＝1(a>0，b>0)，
则＝． ③
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴＝1． ④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32．
∴所求双曲线的标准方程为＝1．
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8．
∴所求双曲线的标准方程为＝1．
　1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
[跟进训练]
2．求适合下列条件的双曲线的方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)．
[解]　(1)设所求双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为＝1．
(2)法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)．
由题意，得
解得a2＝，b2＝4，
所以双曲线的方程为＝1．
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)．
由题意，得解得a2＝－4，b2＝－(舍去)．
综上所得，双曲线的方程为＝1．
法二：设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)，
将点(－3，2)代入得λ＝，
所以双曲线方程为＝，即＝1．
类型3　求双曲线的离心率
【例3】　(1)设F为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．2　　　　D．
(2)已知F为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
(1)A　(2)2　[(1)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF．设垂足为M，连接OP，如图，
则|OP|＝a，
|OM|＝|MP|＝．
由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，
故＝，即e＝，故选A．
(2)如图，A(a，0)．
由BF⊥x轴且AB的斜率为3，
知点B在第一象限，且B，
则kAB＝＝3，
则b2＝3ac－3a2．
又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，
∴c2－3ac＋2a2＝0，
∴e2－3e＋2＝0．解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2．]
　求解双曲线离心率的方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
[跟进训练]
3．(1)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．
(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F (c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率为________．
(1)C　(2)2　[(1)设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝10，|PF2|＝＝6，则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，则e＝＝2．故选C．
(2)因为双曲线的右焦点F (c，0)到渐近线y＝±x，即bx±ay＝0的距离为＝＝b，所以b＝c，因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，所以离心率e＝＝2．]
类型4　直线与双曲线的位置关系
【例4】　已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
类比直线和椭圆的位置关系的判断方法，如何判断直线和双曲线的位置关系？
[解]　(1)联立方程
消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则解得－＜k＜，且k≠±1．
∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为
(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，
x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝．
又∵点O(0，0)到直线y＝kx－1的距离d＝，
∴S△AOB＝·|AB|·d＝＝，
即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±．
∴实数k的值为±或0．
　1．解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
2．双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
3．注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
[跟进训练]
4．已知双曲线－y2＝1，求过点A(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．
[解]　法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，
由消去y，
整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴x1＋x2＝．
∵A(3，－1)为MN的中点，
∴＝3，
即＝3，
解得k＝－．
当k＝－时，
满足Δ>0，符合题意，
∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，
即3x＋4y－5＝0．
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，
∴
两式相减，得＝，
∴＝．
∵点A平分弦MN，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2．
∴kMN＝＝＝－．
经验证，该直线MN存在．
∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，
即3x＋4y－5＝0．
1．(多选题)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)
A．实轴长为8　　　　　 B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为
ABD　[双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为．]
2．若双曲线－y2＝1的焦距为8，则实数m的值是(　　)
A．　　　B．　　　C．15　　　D．17
C　[由题意知：2c＝8，c＝4，a2＝m，b2＝1，
因为c2＝a2＋b2，所以16＝m＋1，解得m＝15，故选C．]
3．点(3，0)到双曲线＝1的一条渐近线的距离为(　　)
A． B． C． D．
A　[由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式得，点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为＝．故选A．]
4．已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是________．
　[由双曲线＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心C(0，5)，半径r＝2，
则圆心到直线的距离d＝＝，则＝2，可得e＝＝．]
5．若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
　[由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何根据双曲线的方程研究其几何性质？
[提示]　①把双曲线方程化为标准形式；
②由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
③由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
(2)离心率e和有怎样的关系？
[提示]　e2＝1＋．
(3)如何用待定系数法设出与双曲线＝1有相同渐近线的双曲线方程？
[提示]　可设为＝λ(λ≠0)．
(4)直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式与直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同？你能写出来吗？
[提示]　完全相同．直线y＝kx＋m与双曲线＝1相交，其交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝或|AB|＝．
课时分层作业(二十八)　双曲线的简单几何性质
一、选择题
1．若实数k满足0＜k＜5，则双曲线＝1与双曲线＝1的(　　)
A．实半轴长相等　　　　　 B．虚半轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
D　[由于16＋(5－k)＝(16－k)＋5，所以焦距相等．]
2．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1，2)
C　[由题意得双曲线的离心率e＝．
即e2＝＝1＋．∵a＞1，∴0＜＜1，
∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜．故选C．]
3．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
A　[双曲线C的渐近线方程为＝0，又点P(2，1)在C的渐近线上，所以＝0，即a2＝4b2，①又a2＋b2＝c2＝25，②
由①②，得b2＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为＝1，故选A．]
4．过双曲线＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率是(　　)
A． B．1＋
C．2＋ D．3－
B　[由题意知|F1F2|＝|PF2|，即2c＝，
∴2ac＝c2－a2，
∴e2－2e－1＝0，
解得e＝1±，又e>1，∴e＝＋1，故选B．]
5．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B．
C． D．
D　[根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
法一：由得5x2－16x＋12＝0，Δ>0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝，故选D．
法二：圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝，故选D．]
二、填空题
6．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________，渐近线方程是________．
2　y＝±x　[a2＝1，b2＝m，e2＝＝＝1＋m＝3，m＝2．渐近线方程是y＝±x＝±x．]
7．以y＝±x为渐近线且经过点(2，0)的双曲线方程为________．
＝1　[以y＝±x为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2，0)得λ＝4，∴x2－y2＝4，即＝1．]
8．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
－y2＝1　[法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
法二：∵渐近线y＝x过点(4，2)，而＜2，
∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，
在y＝－x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)．
由已知条件可得
解得
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．]
三、解答题
9．已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
[解]　椭圆C：＝1的两焦点为
F1(－5，0)，F2(5，0)，
故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，
且c＝5．
设双曲线G的方程为＝1(a>0，b>0)，
则G的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25．
∵圆M的圆心为(0，5)，半径为r＝3，
∴＝3，∴a＝3，b＝4．
∴双曲线G的方程为＝1．
10．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F (2，0)，离心率e＝2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
[解]　(1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝．
所以所求双曲线的方程为x2－＝1．
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立
整理得2x2－2mx－m2－3＝0．(*)
设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝x0＋m＝，所以线段MN垂直平分线的方程为y－＝－，即x＋y－2m＝0，
与坐标轴的交点分别为(0，2m)，(2m，0)，
可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l的方程为y＝x±．
11．(多选题)关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是(　　)
A．有相同的焦点 B．有相同的焦距
C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
BD　[两方程均化为标准方程为＝1和＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝±x，故D正确．C1的离心率e＝，C2的离心率e＝，故C错误．]
12．设点F1，F2分别是双曲线C：＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
D　[设F1(－c，0)，A(－c，y0)，则＝1，
∴＝－1＝＝＝，
∴＝，
∴|AB|＝2|y0|＝．
又＝2，
∴·2c·|AB|＝·2c·＝＝2，
∴＝，
∴＝＝．
∴该双曲线的渐近线方程为y＝±x．]
13．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为________．
　[法一：由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，
所以即
所以A．
＝＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即＝0，解得＝4c2．
因为点A在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝．
法二：由法一得＝4c2，所以|AF1|＝＝＝＝，
|AF2|＝＝＝＝，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即＝2a，即c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝．
法三：由＝－可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝|F2B|．设|F2B|＝3m(m＞0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m．过F1作F1D⊥AB，垂足为D(图略)，则|AB|·|F1D|＝|F1A|·|F1B|，即×5m×|F1D|＝×4m×3m，所以|F1D|＝m，所以|BD|＝＝m，所以|F2D|＝m，则|F1F2|＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝．]
14．双曲线＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
　[双曲线＝1的右顶点A(3，0)，右焦点F (5，0)，渐近线方程为y＝±x．不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，
所以B．
所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝．]
15．(1)过点P(，5)与双曲线＝1有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程；
(2)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当a为何值时，A，B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？
[解]　(1)若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝，此时直线与双曲线仅有一个交点(，0)，满足条件．
若直线的斜率存在，设直线的方程为y－5＝k(x－)，则y＝kx＋5－k，代入双曲线方程，得＝1，∴25x2－7(kx＋5－k)2＝7×25，∴(25－7k2)x2－7×2k(5－k)x－7(5－k)2－7×25＝0．
当k＝时，方程无解，不满足条件．
当k＝－时，方程为2×5x×10＝875，有一解，满足条件．
当k≠±时，令Δ＝[14k(5－k)]2－4(25－7k2)·[－7(5－k)2－175]＝0，化简后知无解，所以不满足条件．所以满足条件的直线有两条，方程为x＝和y＝－x＋10．
(2)把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1中整理，得(3－a2)x2－2ax－2＝0．①
当a≠±时，Δ＝24－4a2．
当Δ>0，即－若A，B在双曲线的同一支上，需x1x2＝>0，解得a<－或a>．故当－若A，B分别在双曲线的两支上，需x1x 2＝<0，解得－1 / 1

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